感性拼圖 理性思考
——一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究課的教學(xué)與思考

李琳生

(江蘇省南京市第一中學(xué)江北新區(qū)分校 211899)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課就是課堂教學(xué)中為探求或驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想、解決某類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題、獲得某種數(shù)學(xué)理論,運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段,經(jīng)由數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與,在典型的環(huán)境中或特定的條件下進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)[1]．

1 教學(xué)實(shí)踐

本文基于數(shù)學(xué)活動(dòng)課“拼圖·公式”探索研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的新教學(xué)模式:“先做后思,以思助做”．“先做后思”指的是先感性拼圖,在多次嘗試后總結(jié)拼圖經(jīng)驗(yàn),理性思考出快速拼圖的方法,從形的角度快速因式分解．“以思助做”指的是繼續(xù)探索從數(shù)的角度如何快速因式分解,并以此助力快速拼圖．

實(shí)驗(yàn)課流程結(jié)構(gòu)如圖1:

1.1 活動(dòng)準(zhǔn)備,視角鋪墊

1.1.1 活動(dòng)鋪墊

前測(cè)寫(xiě)出下列圖形(圖2)能夠驗(yàn)證的等式:

圖2

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生會(huì)寫(xiě)出兩類(lèi)恒等式:(1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd和(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)和a2+2ab+b2=(a+b)2．課前完成課堂展示,并分析出現(xiàn)兩類(lèi)答案的理由,第(1)類(lèi)是先看整體再看局部,第(2)類(lèi)是先看局部再看整體.看圖的角度不一樣,得到的恒等式的順序也不一樣,為后面感悟整式乘法與因式分解的意義做鋪墊．

1.1.2 活動(dòng)材料

如圖3所示的長(zhǎng)方形和正方形紙片若干:A型、B型和C型．

圖3

1.2 感性拼圖,感悟本質(zhì)

1.2.1 拼圖與整式乘法

活動(dòng)1 如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為(a+2b)、寬為(a+b)的大長(zhǎng)方形,需要A型紙片張, B型紙片張,C型紙片張．

設(shè)計(jì)意圖憑感覺(jué)拼圖學(xué)生會(huì)出現(xiàn)很多拼法．就不同拼法提問(wèn),所有拼成的圖有一個(gè)共性,即需要A、B、C三種類(lèi)型紙片的張數(shù)是定值．進(jìn)而從數(shù)的角度思考為什么是定值,因?yàn)?a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．活動(dòng)1旨在從形的角度感悟整式乘法本質(zhì)是一個(gè)整體到局部(積化和)的過(guò)程．

1.2.2 拼圖與因式分解

活動(dòng)2 給定1張A型紙片,4張B型紙片,3張C型紙片,若能拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形,則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為,寬為.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生以感性拼圖仍然會(huì)出現(xiàn)很多拼法,不同拼法的共性是拼成的大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是定值．基于活動(dòng)1的經(jīng)驗(yàn)及拼圖中面積不變得到a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)這樣一個(gè)恒等式．活動(dòng)2旨在從形的角度感悟因式分解本質(zhì)是一個(gè)局部到整體(和化積)的過(guò)程．

1.3 理性思考,以形助數(shù)

1.3.1 對(duì)比拼法 總結(jié)方法

對(duì)比展示幾種不同拼法,如圖4,引導(dǎo)學(xué)生思考哪種拼法更好,能夠快速拼圖．

圖4

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生的直觀(guān)感受是圖4中的第一幅拼圖更好、更整齊．引導(dǎo)學(xué)生思考并總結(jié):按照一定順序拼圖可以高效快速拼圖,如圖5,可將平面分成四個(gè)區(qū)域,先在A(yíng)區(qū)將A型紙片定好,因?yàn)锳型和B型紙片有公共邊,所以接著在左下角和右上角的B區(qū)將B型紙片與A型紙片貼合,最后在C區(qū)補(bǔ)上C型紙片,即可快速高效完成拼圖．這也滲透了分類(lèi)思想．

圖5

1.3.2 由數(shù)想形 以形助數(shù)

活動(dòng)3 基于以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),分解因式: 2a2+5ab+2b2．

設(shè)計(jì)意圖基于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及拼圖方法的總結(jié),學(xué)生再看2a2+5ab+2b2這個(gè)多項(xiàng)式時(shí)會(huì)由數(shù)想形取2張A型,5張B型和2張C型去拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形,如圖6,由圖得2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)．

圖6

1.4 總結(jié)歸納,以數(shù)輔形

1.4.1 總結(jié)歸納 從特殊到一般

活動(dòng)4 選取1到6之間的任意整數(shù)填在橫線(xiàn)上:a2+ab+b2,并嘗試對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．

設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)4旨在讓學(xué)生在拼圖中體會(huì)關(guān)于a,b的二次三項(xiàng)式的系數(shù)需要滿(mǎn)足一定的關(guān)系才能因式分解．進(jìn)而引發(fā)思考:滿(mǎn)足什么關(guān)系?先采用控制變量法將a2的系數(shù)定為1,對(duì)應(yīng)在A(yíng)區(qū)取1張A型紙片擺放,接下來(lái)考慮ab和b2兩項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系．基于拼圖,如圖7,引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖思考得出ab的系數(shù)是兩個(gè)B區(qū)紙片的個(gè)數(shù)之和,b2的系數(shù)恰是這兩數(shù)之積．總結(jié)得a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)．

圖7

1.4.2 利用公式 以數(shù)輔形

活動(dòng)5 計(jì)算:(x+2)(x+3)=;(x+m)(x+n)=．

分解因式:x2+7x+12=;x2+(m+n)x+mn=.

設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)3是利用拼圖,從形的角度快速分解因式,基于活動(dòng)4總結(jié)的規(guī)律,在活動(dòng)5中利用公式a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)從數(shù)的角度快速分解因式．基于活動(dòng)1和活動(dòng)2的感悟,整式乘法和因式分解是一個(gè)互逆的過(guò)程,從而得出(a+mb)(a+nb)=a2+(m+n)ab+mnb2,利用這個(gè)公式也可快速進(jìn)行整式乘法的運(yùn)算．當(dāng)學(xué)生能夠利用公式快速因式分解后即可快速將多項(xiàng)式的和轉(zhuǎn)化成積的形式,從而得到大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,進(jìn)而以數(shù)輔形,快速拼圖．

2 教學(xué)思考

初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦,以“做”為支架的活動(dòng)方式,是在教師引導(dǎo)下,學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具,通過(guò)實(shí)際操作,在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動(dòng)[2]．

這節(jié)課的設(shè)計(jì)旨在探索數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的新教學(xué)模式:“先做后思,以思助做”．先感性地“做”,再理性地“思”,最后將得到的一般性結(jié)論應(yīng)用到“做”中,在探索中經(jīng)歷“是什么—為什么—怎么做”這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)問(wèn)題的邏輯思維過(guò)程．

新課標(biāo)倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課使學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦,從做數(shù)學(xué)再到思數(shù)學(xué),發(fā)展核心素養(yǎng)．在“前測(cè)”中,以不同的視角得到不同的公式,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀(guān)．活動(dòng)1與活動(dòng)2使學(xué)生分別從數(shù)和形兩個(gè)角度感悟整式乘法與因式分解的意義,培養(yǎng)抽象能力．關(guān)于分區(qū)快速拼圖方法的思考培養(yǎng)學(xué)生的模型觀(guān)念．活動(dòng)3和活動(dòng)5應(yīng)用拼圖快速因式分解培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．活動(dòng)4從特殊到一般,從數(shù)的角度思考能夠因式分解的二次三項(xiàng)式的系數(shù)的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和創(chuàng)新意識(shí)．

值得注意的是,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)的研究中不是一種主流方法,因?yàn)閿?shù)學(xué)真理的確定性依賴(lài)論證[2]．比如在“拼圖·公式”這節(jié)實(shí)驗(yàn)課的最后需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)a,b只能取正數(shù),也就是說(shuō)拼圖可以幫助我們思考探索新知,但只能算是合情推理,而不是演繹推理,是驗(yàn)證而不是證明．在“拼圖·公式”這節(jié)關(guān)于形的活動(dòng)課后可以繼續(xù)“十字相乘法因式分解”的教學(xué),從數(shù)的角度嚴(yán)格證明a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)這個(gè)公式對(duì)任何數(shù)a,b都成立．但是從教育的角度看,把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種教學(xué)方法引入課堂,具有獨(dú)特的教育功能和價(jià)值[2]．有了這節(jié)活動(dòng)課的鋪墊,學(xué)生可以更形象地理解為什么十字相乘法因式分解中“畫(huà)十字”是交叉的,如圖8,因?yàn)槊恳粋€(gè)區(qū)域的長(zhǎng)方形都是縱橫相乘得到,最后把局部面積相加得整體．從數(shù)的角度,整式乘法是用一個(gè)括號(hào)里的每一項(xiàng)乘另一個(gè)括號(hào)的每一項(xiàng),再把所得積相加．這些都解釋了十字相乘中湊中間項(xiàng)時(shí)為什么是“交叉相乘再相加”．

圖8