“做中學”視閾下問題鏈的設計與思考
——“數格點 算面積——發現皮克公式”教學設計與反思*

孫海鋒

(江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 214401)

2023年3月20日,江蘇省基礎教育前瞻性教學改革重大項目——“做數學:義務教育數學學科育人的創新實踐”第五次項目研究推進活動在江陰市開展.筆者在活動中開設了研究課“數格點 算面積——發現皮克公式”.課后研討由華東師范大學數學科學學院教授、博士生導師鮑建生和江蘇省著名特級教師、正高級教師趙維坤點評.下面將個人經驗與思考整理成文,供讀者參考.

1 學情分析與目標設定

授課班級的學生整體數學素養較高,對數學有著濃厚的學習興趣,有一定的探究意識與探究能力,敢于主動表達自己的觀點,數學基本功扎實,有較好的數學運算能力、推理能力以及歸納能力.但受年齡、知識結構等因素的制約,學生在推理的嚴謹性、表達的規范性、思維的深刻性等諸多方面還有待加強.

本節課探討的話題在蘇科版小學數學五年級上冊教材“綜合實踐”部分“釘子板上的多邊形”中已做了研究.學生又經歷了兩年多的成長,在思維能力、知識結構等方面已有較大的進步.筆者從學生的知識結構、心理特征、認知差異等維度進行分析,最終將教學目標確定為:①通過真實問題情境,讓學生在經歷發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題的過程中,培養學生的“三會”意識;②利用畫圖、列表等方法,經歷分析數據、尋找規律的過程,發現并驗證皮克公式,體會從特殊到一般的數學思想方法,并發展符號意識.

2 實驗工具的準備與介紹

筆者給學生準備了網格紙、釘板、橡皮筋若干.網格紙是學生熟悉的一種探究工具,給學生的實驗開展提供了便利,但也有不能重復使用的缺點.用橡皮筋在釘板上圍格點多邊形,既能直觀呈現圖形,又能動態調整圖形,從而將抽象思維顯性化.這兩類工具提供給學生,讓學生自由選擇,感受實驗工具的必要性及工具選擇的便利性.

3 教學過程與設計意圖

做中學,即以“做”為支架,學生運用相關實驗工具,通過實際操作、提出猜想、驗證結論,理解數學知識的思維活動[1].筆者以現實問題為情境、問題鏈為驅動、學生動手實驗與小組合作為組織形式、發展學生高階思維為目標設計了這節課.

3.1 創設情境,發現問題

問題1如圖1,一片排列整齊的水杉樹林中,水杉之間行距和列距相同,其中一大片水杉生長在水域中.如何估測這一片水域的面積?

圖1 圖2

生1:如果把每棵水杉都看成一個點,那么水域部分的面積可近似看成網格中多邊形的面積,只要用“割補法”求出這個多邊形的面積即可.

師:他將水杉所在行、列分別看成直線,將每一棵水杉看成是一個點,行距和列距都視為單位1,從而將實際問題轉化成數學問題“如何求網格中多邊形面積”.這就是數學的觀察,他的回答非常精彩.同學們,如圖2,行列所在直線的交點稱為格點,若多邊形的頂點都在格點上,則將該多邊形稱為格點多邊形.如果延續剛才這位同學的思考,有便捷的方法求格點多邊形的面積嗎?

生2:網格中可觀察的量只有格點數,我們是否可以通過數格點來計算這個多邊形的面積呢?

師:在這個問題中,通過兩位同學的分析,發現了很有意思的數學問題.

設計意圖(1)引導學生將生活問題抽象成數學問題,考慮到學生的數學表達能力,教師用規范的數學表達作示范,提升學生數學表達的嚴謹性.同時,向學生介紹基本的數學術語,明晰研究對象,培養學生用數學語言進行表述的良好習慣.(2)對提出的數學問題進一步分析,從找尋最優策略的角度,將問題進一步聚焦,發現與本節課研究目標相關的問題.

3.2 初步嘗試,提出問題

問題2請畫一個格點多邊形,使得多邊形內部有4個格點,邊上有5個格點,并計算出這個多邊形的面積.

師:該問題中需要大家完成幾個具體任務?

生3:兩個,先畫出符合條件的格點多邊形,再求出該格點多邊形的面積.

(學生獨立操作并計算;如圖3,學生展示自己畫的圖形,并說出所畫格點多邊形的面積.)

圖3 圖4

師:有沒有哪位畫出了符合條件且面積不等于5.5的格點多邊形?

生4:我畫出的格點多邊形面積是6.(圖4)

師:請你展示一下格點多邊形,說說計算過程.(生4回答略)

師:你們認同嗎?

生(眾):不同意,他畫的圖形是正確的,但面積計算錯誤.

師:請大家小組合作、共同探尋,能否發現符合條件且面積不等于5.5的格點多邊形呢?

……

生5:老師,我們組將內部4個格點分為一行4個格點、兩行且每行2個格點、兩行且第一行 1個格點第二行3個格點等情形,畫出符合條件的格點多邊形并計算其面積,發現所畫格點多邊形的面積都等于5.5.

師:為便于大家研究格點多邊形,我為同學們準備了兩種工具——方格紙若干、釘板與皮筋.你們小組選用哪種實驗工具?為什么會選擇這種工具呢?

生5:我們小組選用的工具是釘板與皮筋.在操作過程中我們發現,在方格紙中操作,若畫出的格點多邊形不符合條件,則重新修正很麻煩.但若用釘板與皮筋,修正起來就非常方便.

師:工欲善其事,必先利其器,數學實驗同樣如此.在該環節的整個探究活動中大家有何發現?

生6:可能內部格點數、邊上格點數都確定,格點多邊形的面積就確定了.

師(問生4):根據你原先的計算,能得出這樣的猜想嗎?

生4:不可能,錯誤的計算會對實驗結果的猜測產生很大的困擾.

師:是的,準確的運算是獲得正確實驗結果的前提.

設計意圖(1)通過給定內部格點數、邊上格點數畫圖并計算格點多邊形的面積,發現面積是一定值,從而引導學生提出本節課的核心任務,即是否可以通過數格點得到格點多邊形的面積,同時激發學生主動探究的欲望;(2)通過幾個關鍵性細節引導學生主動感受良好學習習慣的重要性,譬如審題時須厘清條件與要求、運算須準確等;(3)在數學實驗中,選擇合適的數學工具能更好地幫助我們進行數學探究.

3.3 合作探究,分析問題

問題3小組討論,代表展示:設計一個實驗方案,探究格點多邊形內部格點數、邊上格點數以及多邊形面積之間的關系.

小組1:任意畫格點多邊形,數出內部格點數、邊上格點數,并計算該多邊形的面積.多列舉一些數據,發現三者之間的關系.

小組2:小組1的方案實施難度較大,因為任意三個變量,即便有很多組數據,也很難發現三者之間的關系.不如先讓其中一個量不變,以內部格點數為例,發現面積與邊上格點數之間的關系.然后再改變內部格點數,探尋三者之間的關系.

小組3:小組2的操作方案是可行的,但通過問題2的探究,猜想三者之間有某種關系.不妨設格點多邊形的面積為S、內部格點數為N、邊上格點數為L,那么可以設S=aN+bL+c.取三組值代入該關系式,得到一個三元一次方程組,解該方程組得到a,b,c的值,從而求出S的面積.

師:目前有三種方案,請各小組再次討論,評價三種方案的可行性及優越性.

生7:將第一、第二種方案比較,明顯第二種方案更好.第三種方案好像行不通,為什么S與N、L之間一定是這樣的關系呢?為什么不是S=aN2+bL2+c這一關系式或者其他關系式呢?

師:小組3能給出答復嗎?

小組3:確實考慮欠佳,認同小組2的方案.

師:目前第二個方案有了基本方向,可否設計一個完整、細致可行的操作流程呢?

小組2:我們可以選擇確定N不變,由于格點多邊形內部格點數最少可以為0,根據從特殊到一般的數學思想,我們不妨從N=0時開始探究,從而設計了如下方案.

第一步:探索N為0時,格點多邊形S與L之間的關系.

(1)多畫幾個N為0的格點多邊形,填表:

圖形序號SL①②③…

(2)當N為0時,如何用含有L的代數式表示S?

第二步:探索N為1時,格點多邊形S與L之間的關系(表格省略).

第三步:探索N為2時,格點多邊形S與L之間的關系(表格省略).

第四步:根據前面的探究,猜想格點多邊形的面積、內部格點數、邊上格點數三者之間的關系.

第五步:任意取N≥3的格點多邊形,驗證三者之間關系是否滿足前面的猜想.

師:小組2的方案中,研究三個量之間的關系,先確定其中一個量不變,研究另兩個量之間的關系,稱為控制變量法.將該實驗分為5個步驟進行,下面請大家根據該方案開展探究活動.

設計意圖(1)小組合作商討、制定研究方案,由成員分享本小組設計方案,讓全體學生甄別、評價,使學生的思維在寬松、自主的氛圍中逐步深入,從而形成大家認可的研究方案;(2)在本環節中向學生介紹控制變量法,其本質與從特殊到一般的數學思想方法一致,即將復雜問題簡單化后進行研究;(3)讓學生感受數學符號語言的優越性,促進學生對字母表示數的深度理解.

3.4 動手實驗,解決問題

本環節由學生根據上述方案動手實驗,從而發現格點多邊形面積與邊上格點數、內部格點數之間的關系,教師向大家介紹皮克公式的歷史,滲透數學文化.

3.5 回顧反思,凝練升華

問題4回顧本節課的探究過程,談談你的收獲.(教師最后歸納總結,形成如圖5的基本框架.)

圖5 基本框架

4 教學反思

“做中學”即學習者在具身操作的過程中,大腦對事物的認知在逐漸深入,結合已有的認知結構,對體驗到的信息進行再加工,從而建構新的知識體系.“做中學”視閾下的問題鏈則承擔驅動有序“做”、深入“學”的功能,促進認知深維建構.

4.1 真實情境為問題鏈的起點

史寧中教授提出,數學教學中一方面需保持“雙基教學”合理的內核,另一方面又能創設合適的教學情境,讓學生感悟基本思想,積累基本活動經驗,形成發展學科的核心素養[2].與學生已有經驗相聯系的真實的問題情境有較強的代入感,引導學生自發地走入情境,尋找解決問題的策略及問題的答案,從而激發學生的求知欲,這是引起學生自主實驗探究的前提,讓自發的“做”變為學生的精神需求.尤其是,當問題情境讓學生感受其解決的必要性及社會價值時,能激發學生的學習責任,促使他們形成高度的責任意識與社會擔當,確保他們在“做”的過程中不輕易因受挫而放棄,從而讓“做”在連續的活動中持續向深度探究.

4.2 驅動活動為問題鏈的任務

本課例用4個主問題驅動教學活動的開展:問題1以生活情境為背景,引導學生提出問題;問題2通過數學實驗得到一個基本研究方向,即“如果格點多邊形內部格點數、邊上格點數確定,則可能格點多邊形的面積就確定”;問題3設計并操作實驗,尋找格點多邊形的面積與內部格點數、邊上格點數之間的關系,并驗證發現的關系;問題4對整節課進行總結與回顧.4個問題形成問題鏈,每個問題承擔各自功能,形成如圖6的課堂流程.整個問題鏈驅動數學實驗的開展,從而讓學生在有序的“做”中探究、學習.

4.3 思維進階為問題鏈的內核

“做中學”的“做”是活動方式,“學”是目的,通過具身體驗讓學生充分體驗,從活動經歷中抽象出具體經驗,為后繼活動的開展埋下伏筆.學生在“做”的過程中,從具象的操作到抽象的分析與綜合、活動評價等,思維從低階走向高階,從而實現通過“做中學”達到啟智增慧的育人目標.

本課例中,學生嘗試解決問題1時能發現新問題;借助問題2的數學實驗提出問題;問題3在充分分析問題的基礎上,設計數學實驗解決問題;問題4引導學生在回顧總結的過程中,歸納出重要思想與方法.在問題鏈搭建的支架中,思維進階式發展,學生的數學核心素養得以落實.

5 結束語

“做中學”視閾下積極發揮問題鏈的功能,“用問題鏈驅動學習活動接續,推動學生經驗條理化;借問題鏈推進探究過程深入,促使思維路徑階序化”[3],從而體現數學學科的育人價值.