點(diǎn)評 互評 賞評
——采用多元評價(jià)主體的數(shù)學(xué)文化寫作案例分析

陳文陽

(廣東省廣州市華僑外國語學(xué)校 510095)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)指出“數(shù)學(xué)承載著思想和文化”“是表達(dá)和交流的語言”[1]1,“欣賞數(shù)學(xué)美,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”是課程目標(biāo)之一[1]11．近年來,筆者在初中教學(xué)中積極開展數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)．評價(jià)是數(shù)學(xué)文化寫作的必要環(huán)節(jié),但實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),單一主體的教師評價(jià)在調(diào)動(dòng)學(xué)生的寫作積極性,提高學(xué)生的寫作能力,促進(jìn)師生之間、生生之間、家長和學(xué)生之間的數(shù)學(xué)交流等方面效果不佳．于是,筆者采用多元評價(jià)主體的方式對數(shù)學(xué)文化寫作進(jìn)行評價(jià),以增強(qiáng)數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)的實(shí)效,構(gòu)建班級、家庭數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新生態(tài)．下面以九年級數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng)“平分太極圖”為例,從教師點(diǎn)評、學(xué)生互評、家長賞評三個(gè)方面分析多元評價(jià)主體在數(shù)學(xué)文化寫作評價(jià)中的積極作用．

1 數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)文化寫作指學(xué)生從數(shù)學(xué)文化的視角探究數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用,把所思、所悟以書面形式表達(dá)出來,展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值．本文中的數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng)包含三個(gè)環(huán)節(jié):一是數(shù)學(xué)欣賞,即欣賞與數(shù)學(xué)相關(guān)的傳統(tǒng)文化;二是數(shù)學(xué)寫作,即結(jié)合數(shù)學(xué)欣賞的內(nèi)容開展寫作;三是作品評價(jià),包含教師點(diǎn)評、學(xué)生互評和家長賞評．以下是數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng)“平分太極圖”的具體設(shè)計(jì)．

1.1 數(shù)學(xué)欣賞

中國著名的“太極圖”(圖1),是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案,俗稱“陰陽魚”．實(shí)際上,它是把一個(gè)圓分成陰(黑)陽(白)兩部分,因而具有“陰”和“陽”對立統(tǒng)一的深刻含義．太極是中國古代的哲學(xué)術(shù)語,意為派生萬物的本源,該詞最早出現(xiàn)在《易傳·系辭上》中．它后來發(fā)展成中國民族圖案所特有的“美”的結(jié)構(gòu),如“喜相逢”“鸞鳳和鳴”“龍鳳呈祥”等都是這種以一上一下、一正一反的形式組成生動(dòng)優(yōu)美的吉祥圖案,在民間極受喜愛．如圖2,太極圖形在現(xiàn)代建筑(南海明珠島)中展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化又相對統(tǒng)一的形式美、和諧美．

圖1 圖2 圖3

太極圖的畫法是:如圖3,在一個(gè)大圓內(nèi)以其半徑為直徑,作兩個(gè)相外切且都內(nèi)切于大圓的小圓,然后擦掉虛線所示的兩個(gè)半圓,就畫成了一個(gè)太極圖．太極圖是一個(gè)中心對稱圖形,面對著這個(gè)神奇的圖案,試想:我們能夠引一條直線把太極圖上陰陽兩個(gè)部分的面積都平分嗎?[2]

1.2 數(shù)學(xué)寫作

寫作要求:(1)請畫出一個(gè)如圖1所示的太極圖;(2)作一條直線把圖1中所畫的太極圖上陰陽兩個(gè)部分的面積都平分;(3)說明(2)中的作圖步驟和原理,用數(shù)學(xué)的眼光觀察太極圖,談?wù)勀愕睦斫夂腕w會(huì);(4)文章題目自擬,內(nèi)容有新意．

1.3 作品評價(jià)

學(xué)生互評 同學(xué)們好!大家都認(rèn)真思考并解決了“平分太極圖”問題,寫出了自己的理解和感悟,老師也對大家的作品進(jìn)行了評價(jià)．請同學(xué)們閱讀老師推薦的優(yōu)秀作品,并在“互評本”上對你最喜愛的作品進(jìn)行評價(jià)．

家長賞評 家長,您好!孩子通過閱讀文獻(xiàn),了解太極圖的奧秘,欣賞太極圖的數(shù)學(xué)之美,學(xué)習(xí)了太極圖的作圖,探究了用一條直線平分太極圖上陰陽兩個(gè)部分的面積的作法及其原理,學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察太極圖,并書寫了個(gè)人的理解和體會(huì)．請您閱讀和欣賞孩子的作品,并給予書面評價(jià),感謝您的參與!

1.4 活動(dòng)實(shí)施

教師印制數(shù)學(xué)欣賞和數(shù)學(xué)文化寫作紙,以周末作業(yè)的形式在任教班級布置以上寫作活動(dòng)．學(xué)生完成寫作后,教師對全班作品逐份批閱,并在教室的宣傳欄和家長微信群展示優(yōu)秀作品．學(xué)生利用課余時(shí)間閱讀同學(xué)的作品,然后在班級“寫作互評本”上對最喜愛的作品進(jìn)行評價(jià)．同時(shí),學(xué)生將自己的作品帶回家,給家長閱讀,與家長交流,請家長對作品給出書面評價(jià)．

2 作品節(jié)選以及教師點(diǎn)評

2.1 作品1——太極圖中的數(shù)學(xué)思想

這是學(xué)生甲的作品．如圖4,與直徑CD夾角為45°的直線AB平分太極圖上陰陽兩個(gè)部分的面積,理由如下:

圖4

作圖步驟:先作直徑CD的垂直平分線EF,再作平分CD和EF的夾角的直線AB,則直線AB為所求．

畢達(dá)哥拉斯說,在一切平面圖形中,圓是最美的圖形．古人誠不欺我也!從一個(gè)在數(shù)學(xué)作業(yè)中“悲情掙扎”的學(xué)生的角度而言,圓簡直是太美了!轉(zhuǎn)化的思想在圓中被展現(xiàn)得淋漓盡致．如本題中,我們就能把求面積的問題轉(zhuǎn)化為對半徑、角度的探究．太極圖是多個(gè)圓的組合排列,因此具有對稱美與曲線美,并有一種動(dòng)態(tài)的美感．我想這也是圓經(jīng)常被用于圖標(biāo)設(shè)計(jì)的原因吧．或許,下次的寫作主題可以設(shè)計(jì)成用一條直線平分校徽(圖5)的綠色部分(圖5中左右對稱的2塊類似葉片形狀的深色區(qū)域)．

圖5

教師點(diǎn)評 作品圖文并茂,語言風(fēng)趣,令人賞心悅目．能清楚地說明作圖步驟以及作圖的原理,能分析轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的運(yùn)用．通過寫作,感悟了太極圖中所蘊(yùn)含的對稱美,并能聯(lián)想到平分校徽的綠色部分,開拓思維,富有創(chuàng)意．若能對平分校徽圖案有進(jìn)一步的探討,將帶給讀者更多的啟發(fā)．

2.2 作品2——對稱中的數(shù)學(xué)美

想要平分太極圖,我們就要先了解太極圖．如圖6,兩個(gè)小圓內(nèi)切于大圓,兩個(gè)小圓也外切,我們有以下結(jié)論:大圓與小圓的兩個(gè)內(nèi)切點(diǎn)、兩個(gè)小圓的外切點(diǎn)、兩個(gè)小圓的圓心五點(diǎn)共線;①與②、③與④、⑤與⑥成中心對稱．可推出①+③+⑤與②+④+⑥成中心對稱,即太極圖上陰陽兩個(gè)部分成中心對稱,因此過對稱中心且平分一個(gè)部分的直線也必平分另一個(gè)部分．

圖6 圖7

如圖7,設(shè)兩個(gè)小圓與大圓內(nèi)切于A,B兩點(diǎn),大圓圓心O是兩小圓的外切點(diǎn)．作OC⊥AB交⊙O的左側(cè)于點(diǎn)C,則OC平分半圓ACB,即S扇形OAC=S扇形OBC．設(shè)平分陰陽兩個(gè)部分的直線為OD,則S①+S扇形OAC-S扇形OCD=S扇形OBC+S扇形OCD-S②,可得2S扇形OCD=S①+S②．因?yàn)镾①=S②,所以S扇形OCD=S①=S②．

因此,我們只需要在弧AC上作點(diǎn)D,使∠COD=45°,那么直線OD將同時(shí)平分太極圖上陰陽兩個(gè)部分．

生活中處處有數(shù)學(xué)美,太極圖就蘊(yùn)含了對稱中的數(shù)學(xué)美,愿每個(gè)人都能有一雙善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的眼睛!

教師點(diǎn)評 “太極圖的陰陽兩個(gè)部分成中心對稱”的推導(dǎo)直觀明了,發(fā)現(xiàn)的結(jié)論“平分陰部分的直線也必平分陽部分”是作圖的關(guān)鍵原理．能利用圓的對稱性轉(zhuǎn)化圖形面積,探究所求直線需滿足的條件,并從中感悟到太極圖中的對稱美,很棒!若文章對問題解決中所用的主要知識與方法加以歸納,作品將更完美．

2.3 作品3——太極圖的秘密

我們都知道,太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,它向我們展現(xiàn)了一種對稱的美．有沒有一條可以把太極圖上陰陽兩個(gè)部分的面積都平分的直線呢?答案是肯定的．

圖8

其實(shí),要想平分太極圖并不難．我們面對這個(gè)問題時(shí),應(yīng)有整體思想,可將大圓的面積看作1,再根據(jù)已知條件找到部分(扇形)和整體(大圓)之間的關(guān)系,便能輕松得出答案．這就是太極圖的秘密．

教師點(diǎn)評 文章語言簡潔,推理思路清晰,所得結(jié)論“所求直線必經(jīng)過圓心”是作圖的重要依據(jù)．靈活運(yùn)用整體思想,使得解決問題的思路簡單明了,讓人輕易理解作圖方法．若文章開頭增加對太極圖的對稱性的分析,文末拓展介紹整體思想在其他數(shù)學(xué)問題中的遷移運(yùn)用,內(nèi)容會(huì)更為豐富．

3 多元評價(jià)主體作用分析

《課標(biāo)2022》指出,評價(jià)方式應(yīng)具有多元化的特征,包括評價(jià)形式的多元化、評價(jià)維度的多元化及評價(jià)主體的多元化[1]89-90．多元評價(jià)主體是指由教師、學(xué)生、家長等根據(jù)評價(jià)內(nèi)容以不同的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)結(jié)而成的,對學(xué)生學(xué)習(xí)后的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀各方面獲得發(fā)展進(jìn)行價(jià)值判斷的有機(jī)整體．在數(shù)學(xué)文化寫作評價(jià)中,發(fā)揮多元評價(jià)主體的作用,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和寫作動(dòng)力,促進(jìn)師生之間、生生之間、家長和學(xué)生之間的交流,促使教、學(xué)、評有機(jī)銜接,形成育人合力．

3.1 教師點(diǎn)評,關(guān)注亮點(diǎn),給予激勵(lì)和指導(dǎo)

教師是數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng)的設(shè)計(jì)者與實(shí)施者,最為清楚評價(jià)的目的和要求．相對其他評價(jià)主體而言,教師具有更為專業(yè)的評價(jià)知識與理論,能夠客觀、科學(xué)地評價(jià)學(xué)生的寫作．

首先,教師點(diǎn)評要關(guān)注學(xué)生作品的亮點(diǎn)．評價(jià)中,教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生寫作中的“閃光點(diǎn)”,留下欣賞性的評語．例如,對于作品1,教師指出其版面設(shè)計(jì)和語言表達(dá)優(yōu)美,肯定學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用,贊賞學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際、發(fā)散思維、聯(lián)想到平分校徽圖案的創(chuàng)意;對于作品2,教師認(rèn)同學(xué)生證明太極圖中心對稱性的嚴(yán)謹(jǐn)推理,肯定學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平分陰部分的直線也必平分陽部分”的重要性,表揚(yáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了對稱中的數(shù)學(xué)美;對于作品3,教師贊揚(yáng)學(xué)生能用簡潔的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行推理,對學(xué)生在解決問題過程中能靈活運(yùn)用整體思想給予贊賞．

其次,教師點(diǎn)評要注意對寫作策略的指導(dǎo)．教師要客觀指出學(xué)生作品需要改進(jìn)之處,提出合理的修改建議,幫助學(xué)生提高寫作技巧．如指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)與反思、拓展與延伸等,使文章的思想得到升華．

教師點(diǎn)評是師生交流的渠道,是鼓勵(lì)和指導(dǎo)學(xué)生寫作的有效方式．不管肯定優(yōu)點(diǎn)還是指出不足,教師都應(yīng)讓學(xué)生感受到教師對自己的認(rèn)可和幫助,讓學(xué)生因有老師的賞識而更加自信,更加喜歡數(shù)學(xué)文化寫作．

3.2 學(xué)生互評,引導(dǎo)欣賞,促進(jìn)交流和學(xué)習(xí)

學(xué)生互評有助于學(xué)生傾聽與理解他人的思路,提高數(shù)學(xué)交流與表達(dá)的能力．本次寫作活動(dòng)中,要求學(xué)生閱讀和評價(jià)同學(xué)的作品,引導(dǎo)學(xué)生相互欣賞、相互學(xué)習(xí),營造了良好的班級學(xué)習(xí)氛圍．例如,對于作品1,學(xué)生有如下評價(jià):

學(xué)生1我最為欣賞的就是甲同學(xué)的作品．首先,她介紹了作圖的原理和步驟,很好地運(yùn)用圓的有關(guān)知識分析和解決了問題．接著,她以畢達(dá)哥拉斯的名言引出對圓和太極圖的評論,用風(fēng)趣幽默的語言將自己的思想表露無遺．最后,她舉一反三,提出“如何用一條直線平分校徽綠色部分的面積”,拉近了數(shù)學(xué)與生活的距離．對比她的寫作,我感受到了差距,意識到自己對數(shù)學(xué)圖形的理解不夠．我要向她學(xué)習(xí),特別要學(xué)習(xí)她那有趣的語言和理性的思考．

學(xué)生2在滿墻的數(shù)學(xué)作文中,最吸引眼球的就是甲同學(xué)的作品了．從整體上看,排版清晰,圖文并茂,賞心悅目;從內(nèi)容上看,甲同學(xué)詳細(xì)地分析了自己平分太極圖的思路,解題方法簡潔,易于理解;從表達(dá)上看,她能引用名言,且語言風(fēng)趣,使一篇看似枯燥的文章變得十分生動(dòng)．她的文章充分體現(xiàn)了優(yōu)秀傳統(tǒng)文化以及數(shù)學(xué)文化對我們生活的影響,這一點(diǎn)我要向她學(xué)習(xí)．

學(xué)生3群星薈萃中,甲同學(xué)的作品無疑是十分亮眼的．總的來說,使之脫穎而出的是工整的字跡與精美的圖畫,這能吸引讀者認(rèn)真閱讀文章的內(nèi)容;讀后發(fā)現(xiàn),作品并非徒有其表,其文字內(nèi)容也十分豐富且條理清晰,可謂是“漂亮的皮囊”與“有趣的靈魂”并存．甲同學(xué)這種圖文并茂的展示讓人嘆為觀止,值得我們學(xué)習(xí)．

學(xué)生互評為他們提供了數(shù)學(xué)交流的平臺,使學(xué)生在交流中學(xué)會(huì)分析、鑒賞,相互取長補(bǔ)短,不斷提高數(shù)學(xué)寫作水平．案例中,學(xué)生認(rèn)真閱讀并理解甲同學(xué)的作圖步驟及其數(shù)學(xué)原理,發(fā)現(xiàn)和欣賞甲同學(xué)作品的優(yōu)點(diǎn),如優(yōu)美的版面設(shè)計(jì)、生動(dòng)的文字語言、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评怼⑿路f的數(shù)學(xué)問題等．同時(shí),學(xué)生能從甲同學(xué)的作品中得到啟發(fā),獲得改進(jìn)寫作的方法．

3.3 家長賞評,增進(jìn)了解,激發(fā)情懷和期待

家長賞評是校內(nèi)評價(jià)的延伸與互補(bǔ),是家長助力校內(nèi)教學(xué)的重要途徑,主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面．

第一,能增進(jìn)家長對孩子學(xué)習(xí)的了解．比如,有家長這樣評價(jià):“在評價(jià)之前,我讓孩子給我復(fù)述了她的解題思路,發(fā)現(xiàn)她確實(shí)有認(rèn)真思考題目中的問題,也充分理解了老師的意圖,值得表揚(yáng)．希望能繼續(xù)打開思路,多角度、多方法深入探索,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇妙,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美!”也有家長這樣評價(jià):“通過孩子的作品,我重溫了這幅起源于華夏上古時(shí)期的太極圖,并去思考這道題的解法．然后,發(fā)現(xiàn)自己不會(huì)做,哈哈……所幸,孩子通過自己的努力,把作圖的思路表述得清晰明了．于是,我看懂了平分太極圖上陰陽兩個(gè)部分的面積的直線的畫法．非常同意孩子最后的總結(jié),即合理運(yùn)用多方面知識,積極思考,層層推理,才能最終找到答案．”以上案例中,家長閱讀了孩子的作品,與孩子深度交流,能發(fā)現(xiàn)孩子勤于思考的精神、巧妙解題的智慧和富有邏輯性的表達(dá),會(huì)用欣賞的眼光看待孩子的學(xué)習(xí),將激起孩子善于感悟、樂于表達(dá)的寫作熱情．

第二,能激起家長對孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的期待．比如,有家長這樣評價(jià):“孩子從貌似很不規(guī)則的太極圖中找到簡單的平分方法,核心依據(jù)是小圓的一半等于大圓的八分之一,整個(gè)推斷邏輯嚴(yán)密,環(huán)環(huán)相扣,體現(xiàn)了較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．從數(shù)學(xué)方面看,這篇文章對于一個(gè)中學(xué)生來講是難能可貴的,但對于孩子我還是想從其他方面找一些不足,以利于孩子以后的成長．一是太極圖可以加一些色彩渲染,線條可采用虛實(shí)線表示,可視性會(huì)更好,也更加形象;二是文字書寫要工整一些．總之,希望孩子再接再厲,發(fā)揚(yáng)長處,努力彌補(bǔ)不足,一步一個(gè)腳印地前進(jìn)．”以上案例中,家長對孩子的數(shù)學(xué)寫作提出了合理的建議,同時(shí)也對孩子提出殷切的期待,能促進(jìn)孩子養(yǎng)成積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)態(tài)度．

第三,能引發(fā)家長參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的互動(dòng)．比如,有家長這樣評價(jià):“孩子能利用整體思想分析和解決問題,值得表揚(yáng)．但推理過程缺少必要的數(shù)據(jù)支持,解答需要邏輯清晰,讓別人更容易看懂,可以按如下作答．

圖9

以上案例中,家長在肯定孩子積極思考的同時(shí),也提出了中肯的寫作建議,并主動(dòng)向孩子分享了自己的解法,這將促進(jìn)孩子更勤于思考、更熱愛數(shù)學(xué)．

第四,能激發(fā)家長的數(shù)學(xué)情懷．家長對孩子數(shù)學(xué)文化寫作的評價(jià)過程,是一個(gè)欣賞與反思的過程,能在家長的心中掀起數(shù)學(xué)情感的波瀾．比如,有家長這樣評價(jià):“我常跟女兒提到,我們現(xiàn)在 學(xué)到的數(shù)學(xué)知識是人類經(jīng)過幾千年的探索和積累而獲得的,因此對于數(shù)學(xué)知識我們要多幾分尊敬和熱愛．今日抽空看了女兒有關(guān)‘平分太極圖’的文章,頗有幾番感受,用一首詩來表達(dá)我的感 受吧——

在你我之間,隔著多少粒子?

就像五指和星辰之間,隔著多少位數(shù)字．

在漣漪和指紋之間,有多少的相似和相離?

就像兩人的軌跡,有多少的同行和背馳．

一個(gè)方程是否有解?在虛與實(shí)之間讓人無所適從．

如果每一次選擇是不同的結(jié)局,搜尋一個(gè)函數(shù)就可能耗盡一生．”

以上案例中,學(xué)生的作品勾起了家長對數(shù)學(xué)的深情思考,家長通過創(chuàng)作詩歌的形式表達(dá)了自己對數(shù)學(xué)的理解,能啟發(fā)孩子發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真、善、美,提高孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情．

與其他評價(jià)不同,家長在對孩子數(shù)學(xué)文化寫作的評價(jià)過程中經(jīng)歷了對數(shù)學(xué)文化的欣賞、對數(shù)學(xué)知識的回顧與思考,能激起家長對數(shù)學(xué)的重新認(rèn)識,促進(jìn)了親子交流,有助于發(fā)揮家長在學(xué)生成長中的作用,構(gòu)建和諧的家庭數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生態(tài)．

4 結(jié)語

基于欣賞的數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng),能促進(jìn)學(xué)生了解優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,讓數(shù)學(xué)變得生動(dòng)、有趣和有用．?dāng)?shù)學(xué)文化寫作評價(jià)是寫作活動(dòng)的必要環(huán)節(jié).教師點(diǎn)評,目的是激發(fā)學(xué)生的寫作熱情、提高學(xué)生的寫作能力;學(xué)生互評,目的是促進(jìn)學(xué)生之間的數(shù)學(xué)交流,營造良好的班級學(xué)習(xí)生態(tài);家長賞評,目的是增進(jìn)家長與學(xué)生的了解,引起家長對孩子數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的更多關(guān)注,發(fā)揮家長的學(xué)習(xí)助力．可見,多元評價(jià)主體能從不同的角度促進(jìn)數(shù)學(xué)文化寫作活動(dòng)的高效開展,構(gòu)建新型數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體．