對如何培養和提升數學解題能力的幾點認識

梁付元

在初中階段，教師習慣于精耕細作，對教材中的重難點內容進行重點講解，對習題中重點題型進行反復演練，久而久之，部分學生形成了死記硬背、機械套用的學習習慣.因初中階段數學知識相對簡單，靠死記硬背和模仿可以解決大部分問題，然高中階段，內容增多，難度增大，對學生的數學思維能力提出了更高的要求，為此不少學生步入高中后常感覺不適，有的學生甚至失去了學習數學的信心，造成了解題障礙.另外，受初中教學方法的影響，不少學生對教師形成了過度的依賴，其自主學習、獨立思考、合作探究的學習習慣并未養成，處于一種被支配的學習模式.然高中數學課堂任務重，為了更好地完成教學目標，教師會要求學生課前預習，但因學生的自學能力尚未形成，所以預習常限于走馬觀花地閱讀教材，并不能有針對性地提出問題，因此學生上課時常感覺吃力，解決問題的能力難以提升.可見，若要培養和提升學生的解題能力，教師的教學方法和學生的學習方法都應做出一些改變.

其實在高中階段，學生已擁有一定的知識儲備，邏輯分析和邏輯推理能力也有了突飛猛進的發展，如何引導學生利用數學知識去解決問題，即提高解題能力已成為高中數學教學的重點.那么，如何培養，如何提升呢？

1 如何培養

分析和解決問題是發展高中生數學思維能力最有效的手段.要知道，解決一個問題往往會涉及許多知識點，因此解題有助于完成知識的系統化建構.同時，在解決問題的過程中會獲得數學經驗，學生通過對解題經驗不斷地總結概括，最終可形成解題能力.在實際教學中，培養學生數學解題能力應注意以下兩點.

1.1 利用好課本資源

充分利用好課本例習題的示范功能，重視數學思想方法的抽象和概括，逐漸培養學生的思維能力，如數形結合、轉化化歸等.教材是專家精心編寫的，具有啟發性、引領性和系統性，在培養解題能力時，一定要用好課本資源，切勿盲目求難、求新而偏離教材.

1.2 注重情境創設

高中階段大多數學題目較為抽象，學生容易出現畏難情緒，而創設合理的問題情境不僅可以淡化數學習題的抽象感，讓學生理解題意，而且可以較好吸引學生的注意力，有利于提升學生解題的積極性和解題信心.只有注意力被吸引了，學生才能更加主動地參與到解題教學中來，這是提高學生解題能力的前提.其實解題過程就是一場心理戰，需要擁有必勝的決心，為此在數學教學中有必要通過情境來提高學生的解題積極性和解題信心.

2 如何提高

2.1 提高審題能力

審題是解題的關鍵.只有正確審題，才能全面掌握已知條件、挖掘出隱含信息和設問要求，從而為問題解決打下堅實的基礎.審題影響和制約著解題能力的提升，因此若要提高學生的解題能力需先從學生的審題能力入手.根據問題反饋容易發現，出現錯解的主因就是學生審題不清，沒有弄清題意.因此，審題必須要細致，要知道已知是什么，求的是什么，會用到哪些知識點，同時要搞清已知條件和所求問題間的內在聯系，進而搞清解題方向，形成解題思路.教師在日常教學中要注重審題能力的培養，使學生可以靈活應用審題技巧快速找到解題突破口，快速地解答問題.在教學中，可以開展專項練習來培養學生的分析能力、合情猜想與合情推理能力，引導學生通過轉化化歸提取出隱含于題設中的隱蔽條件，提高解題效率.

2.2 提升運算能力

數學解題離不開數學運算，數學運算應是高中生所必備的一項基本技能.然在高中數學教學中發現，很多學生的數學運算能力不強，很多題目雖然已經形成了解題思路，但卻在計算時受阻，最終未能順利求解.在教學中，有的教師為了多講題，往往引導學生找到解題切入點，形成解題思路后就急于講解下一個問題.因此，很多學生片面地認為解題時只要形成思路就可以了，沒有必要解出來，結果在考試時栽跟頭.為此，在日常教學中，教師有必要對學生加大運算能力的培養，做到運算準確、熟練、合理，克服只動腦不動手的壞習慣.

例1 橢圓C的焦點坐標分別為（-2，0），（2，0），且橢圓C經過點52，-32，求橢圓C的標準方程.

看到例1后，很多學生不屑一顧，認為問題過于簡單.根據已知可以判斷橢圓的焦點在x軸上，為此設橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），由焦點坐標可知c=2，于是有a2-b2=4，另外將點52，-32代入橢圓標準方程，得到另外一個關于a，b的方程，兩方程聯立即可求解.學生認為只要運算的時候認真一點就沒問題了，然在解方程組時很多學生卻因運算困難而半途而廢.

在數學解題中，不少看似簡單的問題其運算并不簡單，為此在解題訓練時一定要關注解題的完整性，關注學生運算能力的培養.

2.3 提升思維活力

數學問題是靈活多變的，即使是同一個問題，其思考的角度不同也可能會有不同的解法.然在實際解題中，受思維定勢的影響，學生的多角度觀察和分析能力并沒有得到良好的發展，致使解題思路單一，當思維受阻時不能靈活調整解題策略，最終影響解題效果.為此，在教學中，應為學生創造一定的條件，引導學生從不同的角度去思考和解決問題，從而對問題形成更加全面、深刻的認識.這樣既能發散學生的數學思維，又能優化解題方案，有助于解題能力的提升.

例2 已知x2+y2=9，求2x+y的最大值.

解法1：局部換元法.

令z=2x+y，則y=z-2x，將其代入x2+y2=9中，可得x2+（z-2x）2=9.展開后化簡，得5x2-4zx+z2-9=0.此方程有解，則Δ=（-4z）2-4×5×（z2-9）≥0，即z2≤45，解得-35≤z≤35.所以2x+y的最大值為35.

解法2：三角換元法.

令x=3cos θ，y=3sin θ，θ∈［0，2π］，

則2x+y=6cos θ+3sin θ=35sin（θ+φ），其中tan φ=2，故當sin（θ+φ）=1時，2x+y取最大值35.

以上兩種解法是解決此類問題的常規思路，學生能夠理解并掌握以上解法已經足夠了，但為了拓展學生的數學思維，教師鼓勵學生繼續探究.

解法3：數形結合法.

令2x+y=z，作與直線l：2x+y=0平行的直線，若使目標函數z=2x+y取最值，則直線與圓x2+y2=9相切.于是可設與直線l平行的圓的切線方程為2x+y+C=0，則|2×0+0+C|22+12=3，得C=±35，所以2x+y的最大值為35.

當然還可以引導學生從目標函數的特點出發，聯想數量積，通過構造向量求最值.令m=（2，1），n=（x，y），那么2x+y=m·n≤|m||n|=5×3=35.其實，應用構造向量法求函數最值，簡潔巧妙，是一個非常好的解題方法.

這樣，通過“多解”不僅優化了學生的解題方案，而且有效地溝通了各種數學知識，優化了學生認知結構；同時也開闊了學生的視野，培養了思維的靈活性，有助于分析和解決問題能力的提升.

2.4 注重解后反思

在日常教學中，教師需多鼓勵并給學生一定的時間進行總結和反思，進而將解題方法、解題策略轉化為解題經驗，最終形成解題能力.同時，通過反思，將解一道題的經驗推廣至解一類題中，進而提升解題能力.

例3 已知函數f（x）=2x+1+1-x，求該函數的最大值.

解：函數f（x）的定義域為x-12≤x≤1，f′（x）=12x+1-121-x.

令f′（x）≥0，則-12≤x≤12，即函數f（x）在-12，12上單調遞增.

令f′（x）≤0，則12≤x≤1，即f（x）在12，1上單調遞減.

故f（x）的最大值為f12=322.

利用常規思路求解后，再鼓勵學生對例3進行反思，重新觀察函數的結構特點，發現除應用上面的求導思路外，還可以應用柯西不等式求解.對于一些基礎較為薄弱的學生來說，應用導數法解決問題容易讓學生出現畏難情緒，尤其例3求導后還需進行討論，更容易造成思維障礙.為此，有必要帶領學生進行反思，尋找另外一種解題方案.

由（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2），得ax+by≤（a2+b2）（x2+y2），當且僅當ay=bx時等號成立.

于是有2x+1+1-x=2×x+12+1×1-x≤［（2）2+12］·x+12+（1-x）=322，當且僅當2×1-x=1×x+12，即x=12時等號成立.

在平時教學中，教師要鼓勵學生經常“回頭看”，對審題過程、解題方法進行再思考，這樣不僅可以深化對知識的理解，有時還可以收獲意外的驚喜.例如，對例3重新審題，發現其結構符合柯西不等式的求解條件，因而發現了另外的解題方法，優化了解題方案，提高了解題效率.

總之，學生解題能力的提升需要教師有目的、有計劃、有針對性地進行培養，為此教師要充分發揮好其主導者的作用，有效引導和拓展，讓學生的解題能力在觀察、探究、反思中不斷提升.