2022年高考立體幾何的命題考查與分析

蔡建華

摘要：作為高考考查的一大主干知識，立體幾何部分在2022年高考數學試卷中的設置層次鮮明，對于立體幾何知識的考查以及高考命題的區分選拔起著重要的作用，體現高考改革要求，貫徹德智體美勞等全面發展的教育方針.結合高考真題實例，從不同視角就立體幾何試題的考查加以剖析，以此指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：立體幾何；正方體；教材；基本圖形；聯系

筆者對2022年全國甲、乙卷，新高考卷以及自主命題的北京卷的立體幾何試題進行分析，發現2022年高考中立體幾何部分的試題更加關注場景設計與設問技巧，合理倡導回歸教材、教學銜接與教學指導，為進一步落實數學核心素養與教學改革指明方向.

1 緊扣教材，引導教學回歸

例1 （2022年高考數學全國甲卷理科·15）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為___________.

分析：根據題意，由組合數公式計算“從正方體的8個頂點中任選4個”的取法種數，特別關注其中“4個點在同一個平面”的情況，由古典概型公式計算可得答案.

解析：根據題意，從正方體的8個頂點中任選4個，不同的取法種數有C48=70種.

記A=“這4個點在同一個平面”，則A包含底面2種和側面4種、對角面6種，一共12種情況.

所以P（A）=1270=635.

故填答案：635.

點評：試題以古典概型的求解來創新設置，而實際考查的是正方體的幾何性質與圖形結構特征，利用正方體中點、線、面等相關元素的位置關系進行直觀分析，結合合理的計數問題來解決，實現知識的交匯，強化數學思維的開拓與應用.而問題考查的實質還是正方體、長方體、圓柱、球等這些基本空間幾何體的結構特征以及對應的幾何性質，要求學生對這些基本圖形、基本性質、結構特征等“爛熟于心”，并會加以直觀想象與實際應用.

2 依托基本圖形，落實“四基”“四能”

例2 （2022年高考數學新高考Ⅰ卷·9）（多選題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（? ）.

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

分析：根據題意，以基本的正方體為圖形背景，通過正方體的幾何性質，結合線線垂直、線面垂直的性質與判定等判斷選項A，B；結合直線與平面所成角的概念與性質來分析并判斷選項C，D.

解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，于是BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故選項A，B正確.

設A1C1∩B1D1=O.因為A1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO.在Rt△C1BO中，sin∠C1BO=C1OBC1=12，可得∠C1BO=30°，故選項C錯誤.

而直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°，故選項D正確.

綜上分析，故選擇答案：ABD.

點評：試題命制意圖在于依托正方體這一基本圖形，借助異面直線所成的角、直線與平面所成的角等概念與性質的應用，考查基礎知識與基本能力.此類依托基本圖形的立體幾何問題，借助基本概念與基礎知識的考查與應用，注重通性通法，淡化特殊解題技巧，全面落實數學的“四基”與“四能”，也為高中數學教學與改革指明方向.

3 注重幾何聯系，凸顯幾何直觀

例3 （2022年高考數學北京卷·9）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區域的面積為（? ）.

A.3π4

B.π

C.2π

D.3π

分析：根據題設條件，設點P在底面ABC內的投影為點O，根據正三角形的性質求得OA的長，并結合勾股定理求得OP的長，結合幾何直觀，進而知動點Q表示的區域是以O為圓心，1為半徑的圓及其內部，從而得以分析與求解.

解析：如圖1，設點P在底面ABC內的射影為點O.

依題意可得，AO=BO=CO=23，而PA=PB=PC=6，則PO=62-（23）2=26.

若PQ=5，則知OQ=52-（26）2=1.

所以動點Q的軌跡是底面ABC內以O為圓心，半徑為1的圓及其內部區域，

則其對應的面積為πr2=π.

故選擇答案：B.

點評：試題命制意圖在于從一些基本、熟悉、關聯或類比的創新情境中，借助數學的眼光，以數學視角來切入，構建對應的數學模型，尋找相應的研究對象與目標元素，發現數量或圖形的性質、數量關系或圖形關系等，探索解題的途徑與方法.此題結合集合語言考查學生的空間想象能力及轉化劃歸思想，引導教學要從立足學生核心素養出發，從基礎“有圖用圖”上升到“無圖想圖”，突出立體幾何的直觀想象能力，以及立體幾何中“觀察、判斷、計算、證明”的基本解題途徑與基本步驟.

4 關注素養考查，強調能力立意

例4 （2022年高考數學全國乙卷理科·9）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（? ）.

A.13

B.12

C.33

D.22

分析：根據題意分析，當四棱錐為正四棱錐時其體積最大.設出四棱錐底面邊長，結合勾股定理的應用確定棱錐的高并得出棱錐體積的表達式，利用均值不等式來確定對應的最值，進而求解體積取最值時對應的參數值.

解析：由題意可知，當四棱錐為正四棱錐（如圖2）時，其體積最大.設棱錐的底面邊長為a，底面外接圓的半徑為r，則r=22a.

易得該四棱錐的高h=1－a22.

于是，該四棱錐的體積

V=13a2h

=13a21－a22

=43×a24×a24×1－a22

≤43×a24+a24+1－a2233

=43×133

=4327，

當且僅當a24=1－a22，即a2=43時，等號成立.

所以該四棱錐的體積最大時，其高h=1－a22=33.

故選擇答案：C.

點評：該題為球內四棱錐體積的最大值問題，考查直觀想象與邏輯推理等核心素養，要求學生有較強的空間想象能力和分析問題的能力，將問題轉化為三次函數的最值問題，可以利用均值不等式來處理，也可以通過函數的構建，利用導數來求解.

總體上來看，通過對全國甲、乙卷，新高考卷以及自主命題的北京卷等相關試卷的命題分析，發現2022年高考立體幾何試題的命制繼續遵循《中國高考評價體系》，貫徹高考改革與創新，立足“立德樹人”，彰顯其特殊的育人價值.2022年高考試題中立體幾何部分的考查穩中有變，變中有新，更加突出空間想象能力與直觀想象素養，同時關注邏輯推理與數學運算，更加關注數學素養與數學品質，以及數學關鍵能力等各方面的綜合與考查.