“數”與“形”巧妙融合，“動”與“靜”綜合應用

張瑜

向量是銜接代數屬性與幾何圖形的一個重要紐帶，合理溝通“數”（代數）與“形”（幾何）之間的聯系，是數形結合的典范之一.而巧妙將向量知識融入到立體幾何中，動靜直觀，數形結合，是數學知識交匯、數學思維融合、數學能力綜合等方面表現突出的一個創新點，倍受命題者青睞.

1 問題呈現

問題 （2023年上海市春季高考數學試卷·12）已知OA，OB，OC為空間中的三個單位向量，且OA⊥OB，OA⊥OC，OB與OC夾角為60°，點P為空間任意一點，且|OP|=1，滿足|OP·OC|≤|OP·OB|≤|OP·OA|，則|OP·OC|的最大值為___________.

本題以空間向量為問題背景，結合空間向量的長度關系與位置關系，以及數量積的絕對值的不等關系進行創設，有“動”的展示、“靜”的確定，動靜結合，數形直觀，綜合考查學生在動態變化情境中的直觀想象、空間想象能力等，以及對空間向量投影的理解，進而選擇相應的技巧與方法來分析與解決問題.

作為空間向量的綜合應用問題，可以從代數運算“數”的視角切入，結合坐標思維來處理；也可以從幾何圖形“形”的視角切入，結合數量積的幾何意義或空間圖形的幾何特征等來處理.由于視角多變，方法多樣，因此在處理過程中需要耐心、細心，以及空間想象能力與數學運算能力的綜合顯現.