求簡單多面體外接球的兩妙招

田向紅

摘要：在高三復習備考中，有很多求簡單多面體外接球表面積、體積的問題，這類題最終的落腳點就是求外接球的半徑，本文中結合歷年高考試題，重點介紹常用的補形法和交軌法兩種妙招.

關鍵詞：補形法；交軌法；多面體的外接球；立體幾何

簡單多面體外接球問題是高考中的重點和難點問題，近年來在高考考查中呈上升的趨勢，涉及到的題型主要是求多面體外接球的表面積、體積以及球心到指定截面的距離等問題.

1 考情分析，明析方向

通過表1對2016-2023年全國卷高考試題進行分析，發現關于棱錐（臺）的外接球問題基本上每年都會出現，題型集中在選擇題、填空題.試題有一定的綜合性，高考命題的角度主要有：求三棱錐（臺）外接球的體積、表面積以及球心到某個截面的距離等問題.解決此類問題的實質是通過化歸與轉化思想，最終轉化為求外接球半徑R.這類題能有效培養學生的空間想象能力、邏輯推理能力和數學思維品質，更好地加強學生直觀想象、數學建模、數學運算等數學核心素養的落實.

2 妙招展示，解類旁通

下面給出求簡單多面體外接球的兩個妙招.

妙招一：找支架

所謂找支架，就是把所給幾何體補形為一些比較容易求出外接球半徑的幾何體.該方法也叫補形法，適用的幾何體主要有正方體、正四面體、長方體、墻角型三棱錐（三條側棱兩兩互相垂直）.求解此類題的要點是，正方體和長方體的體對角線為其外接球的直徑.

引例 已知長、寬、高分別為3，4，5的長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點都在同一球面上，求該球的表面積.