含五次非線性剛度超結構中彈性波的傳播特性研究

蔣戴宇，張 晨，章 寧，劉 帽

（江蘇大學 土木工程與力學學院，江蘇 鎮江 212013）

0 引言

在研究彈性波傳播特性之前，我們需要知道彈性波的固有特性，首先便是彈性波帶隙。目前關于彈性波帶隙的形成機理主要有兩種，一種是布拉格散射（Bragg Scattering）機理，另一種是局域共振（Locally Resonance）機理。關于布拉格散射，早在2000 年，劉正猷[1]用硅橡膠包圍的三維鉛球來組成新的結構，并發現了發現新的帶隙所對應的波長遠遠大于晶格常數。而關于彈性波帶隙的理論解決方法，在2009 年由溫淑花[2]等學者提供了聲子晶體及其應用說明。

Ozkaya 和Yilmaz[3]研究了渦流阻尼對局域共振聲子晶體帶隙結構的影響。Lei[4]提出了局域共振聲子晶體的結構可以調整帶隙共振聲子晶體，研究了原胞接觸狀態對局域共振帶隙的影響，發現通過設計復合提出了復合局域。

其次我們需要了解的便是彈性波的局部共振機理。而關于局部共振機理，Wang[5]提出了具有低頻局域共振帶隙特性的五模超材料，可以做到利用較小幾何結構對長波長進行管控。Vakakis 等[6]考慮外力和地彈簧的非線性鏈，識別出了傳播和衰減區域基于長波長連續性假設和多尺度攝動方法研究。

本文在前人研究三次非線性傳播規律的基礎上，利用多尺度法研究其五次傳播特性位移解。利用多尺度法展開方程并得到一次近似解與非線性的修正量。利用MATLAB 畫出頻率與波數圖像。充分反映其頻率間隙的差異大小，利用該規律為工程實踐提供理論指導，取得相應的社會經濟效益。

1 彈性波在非線性結構的傳播模型的參數設計與性能分析

非線性聲學超材料用質量-振子鏈表示，如圖1所示。每個單元格由一個剛性質量m1、一個非線性彈簧，以及一個由質量m2和一個線性彈簧k2組成的內部振子。非線性彈簧其剛度由一個線性剛度k1和一個五次方非線性參數Γ控制。單元格的長度為a。對于弱非線性彈簧，我們引入了一個小參數ε，使非線性彈簧中的恢復力fr可以表示為

圖1 具有非線性內剛度的振子的質量系統

圖2 用解析方法和數值方法預測的色散曲線

其中，δ為每個單元格產生位移。質量-振子鏈在無外力情況下的歸一化運動方程可以寫為：

其中，un和vn分別表示第n個外質量和內部振子的位移，（·）表示對時間t的導數。=Γk1，ωd=同時，為了方便計算。根據精度的需求，本文非線性參數最高階次取1，設

其中，T=εt，將對T0求導記為D0，對T1求導記為D1，即

將式（4）（5）（6）（7）帶入式（2）（3）中，可以得到如下方程兩個方程

這里我們分離出式（10）中ε0和ε1系數，可得到兩個方程，將ε0對應的方程作為控制方程，即

根據式（10）（11）可以假設

其中i=，κ=qa為無量綱波數，q為波數，a為相鄰兩單元之間的距離，c.c表示前面所有項的共軛復數，A和B分別代表單元外質量和內質量的波幅。將式（12）（13）帶入式（11）中經化簡可以得到

將式（12），（13），（14）帶入（10）中可以得到

對其使用歐拉公式可求得決定ω0和κ之間關系的線性方程

不難確認，上述方程有兩個正實根，將得到的較小實根對應系統的聲學分量，記為ω0ac，較大實根對應系統的光學分量，記為ω0op。將式（8）（9）含有ε一階的數的系數提取出來，形成修正方程，并將（12）帶入可得

為了避免久期項的存在，令einκ eiωT0的系數為0，可得到方程

令b=（2 -e-iκ-eiκ）3，根據式（19）可以將D1A用b表示出來

將A用復數形式設出

其中α和β均為T1的函數。將A對T0，T1求導，可以得到

因為A是T1的函數，所以，D0A= 0，將式（20）帶入式（22）中，并分離實部和虛部，得到α和β的一階常微分方程

我們可以得到非線性頻率ω與κ之間的方程

圖中可以發現聲學分量的最大值與光學分量最小值之間存在一段頻率間隙，范圍是（0.9025 <ω <1.4142）。

2 非線性波動行為分析

2.1 非線性波動行為分析方法

考慮一個有500 個單元的不含阻尼非線性系統，如圖3 所示。鏈兩端采用PML（perfect matched layer）。

圖3 500 個單元的不含阻尼非線性系統

在PML 上n從1 開始，到Npml結束，Cmax為PML上的最大阻尼系數。輸入信號為一個Hann 調制的Ncy周期脈沖，初始位移和速度的函數為：

在這里，我們選擇初始速度剖面來抑制左向波，H（n）是Heaviside 函數，U（n）函數為

2.2 非線性波動的空間特征

為了監測輸入信號的波空間演化，考慮瞬態波在有限長度的不含阻尼非線性系統中的傳播，初始條件采用式（27）（28）（29）（30）和式（32）（33）表示，用ODE45 對非線性系統進行模擬計算，計算模擬時間t= 500 s 后得到了模擬后不含阻尼非線性系統的聲學波包。

如圖4 所示。其中系統幾何參數為：單元長度L=0.1，不含阻尼非線性系統的材料參數為：質量塊質量m1= 1，線性剛度k1= 1，振子質量m2= 1，線性剛度k2= 1，振子激振角頻率ωd= 1 rad/s。垂直坐標是標準化位移u/A0，水平坐標則是不含阻尼非線性結構系統單元格數。藍色曲線、紅色曲線、橙色曲線3 條曲線分別對應于初始波數為κ= π/9，κ= π/2，κ= 7π/9的波包。3 個圖分別對應非線性參數4= 0（不含阻尼線性系統），4= 0.01 和4= 0.02 三種情況。對于非常小的波數κ= π/9，波包不受色散的影響，在系統中傳播時沒有任何失真。非線性對波包的影響在這一區域也是可以忽略的。當波數增加到κ=π/2 時，非線性對波包的影響同樣很小。當波數增加到κ= 7π/9 時，表現為波包的伸長和振幅的降低。

圖4 對聲學波包的空間剖面進行了不同值的非線性模擬

3 結語

通過MATLAB 對質量-振子系統繪制了色散曲線，由圖中可得與聲波模相比，光模對剛度非線性更為敏感，特別是對較高的波數。在對聲學波包進行模擬后，對于非常小的波數，隨著非線性參數的增大，振幅也增大，當波數變大，非線性參數對波包的影響變大，振幅增大。