基于多色集合理論的機內測量規劃研究＊

胡思博 喬 虎 張 力 李繼航

（西安工業大學機電工程學院，陜西 西安 710021）

諸如航空航天、汽車、精密電子等數字化、集成化程度高的行業中，在保證加工質量的同時，降低生產成本及縮短生產周期也是制造企業需要考慮的問題。為了提高生產效率及設備使用率，數控加工與精密測量為一體的生產模式便應運而生。這一模式可以降低二次裝夾產生的誤差，同時減少工件因檢測更換設備所耗費的時間。當前針對機內測量路徑規劃問題，Heo E Y 等[1]提出一種傾斜旋轉式的機輔助測量技術來劃分測量區域，并以大型葉輪為例劃分多個測量區域的方法完成測量工作。Corrado A 等[2]選取三坐標測量機，利用接觸式測頭上的力敏感電阻器，通過所回饋的探測力在有限元分析，使得在檢測工件結構時測量坐標可得到有效的修正。趙文強等[3]通過激光三角法測量原理，實現了復雜三維模型二維化，并規劃了在機測量路徑，再結合有向包圍盒算法，使得掃描過程的穩定性提高，這兩種算法的結合實現了在機測量精度與效率的結合。針對汽輪機在檢測過程中，自動化程度低，檢測規劃時間長等缺點。趙霞等[4]等提出了基于模型的葉片檢測路徑法，該方法在葉片結構與檢測工業的基礎上，提高了檢測規劃效率，對提高企業生產效益、工件檢測效率有著重要的意義。張虎[5]分別基于蟻群算法和模擬退火算法對測點數量和點分布進行對比，并以Microsoft Visual Studio 2012 為平臺開發出一款三坐標測量機路徑規劃平臺。陳大偉等[6]提出先進行自由曲面測量路徑規劃，通過確定路徑優化的目標函數，并結合了旅行商的蟻群算法。屈力剛等[7]對測頭進行分類，分別對不同測頭位姿的檢測進行路徑規劃，采用集合中心點投影于蟻群算法獲取檢測路徑。

上述研究對復雜工件測量的排序問題中，仍存在獲取最優路徑慢、獲取路徑并非最佳值等問題。本文以測量用時最短為標準，基于測頭選取、特征依附面、測頭偏轉方向為依據進行分類，結合多色集合理論與遺傳算法進行測量順序的規劃，以此降低測量時間，獲取最優的測量路徑。該研究對機內工件的路徑檢測與提高機床加工生產效率有著重要意義。

1 測量規劃順序問題

在測量中對工件檢測并非根據最短路徑作為判斷依據的，而需要對待測工件整體做測量運動軌跡評估。路徑規劃包括測頭、測點選取、測量順序的確定、測量路徑的優化等一系列相關問題，選取測量時間最短的待測路徑。對于局部路徑規劃，在單一特征內部進行提前設定的路徑進行測量，標志著一次局部路徑規劃結束。本文暫不考慮待測元素內部測量點的分布狀況與分類待測元素的關系，僅將待測幾何元素作為對象，完成全局測量排序任務。圖1 所示為機內測量路徑規劃示意簡圖。

圖1 機內測量路徑規劃示意簡圖

路徑規劃最終是為了尋取檢測最短路徑，然而在實際的機內測量中，只考慮最短路徑會導致測頭與測量角度的頻繁更換，其規劃出的路徑反而不是最優解。因此減少測頭更換頻率和測頭偏轉角度變換次數，也是路徑規劃所需解決的問題之一。

關于測頭可達性的分析，由于工件特征所依附的平面不同，因此在測量過程中，測頭的偏轉角度是關乎測量檢測效率的重要因素。根據測頭所需測量偏轉角度進行劃分，以此確立測量角度的集合。如圖2 所示，測量工件特征時，由于在測量中會涉及測量特征方向不同而導致的測頭方向改變，因此需要測頭偏轉來滿足不同的測量任務。

圖2 檢測中測頭偏轉

特征面1 與特征面2 之間由于測量任務不同，需要調整測頭的偏轉角度來完成任務。在機內測量中基準面和輔助面法矢量方向即為測頭在測量過程中旋轉方向。因此，特征面2 的測量角度 β可以通過公式計算獲得：

同時在測頭可達性的分析中，對于圖2 中平面檢測，測頭方向向量與平面法向量之間夾角 β應滿足：

當上一特征測量完成后，若測量下一個特征需要測頭偏轉，測量偏轉角 β越大，偏轉消耗的時間就越長。

2 測量排序優化模型

在機械生產加工中，需要按照一定規則對加工特征進行分類，特征表達定義要便于計算機識別。在測量過程中，也可根據工件加工特征的分類原則對測量特征進行分類。但由于研究的領域不同、工程實際應用存在差異，因此通過對產品建模研究進行參考[8]。將幾何特征做出圖3 所示的分類，對待測特征的簡化便于后續測量排序的模型優化。

圖3 部分待測特征種類

2.1 多色集合的約束矩陣模型

多色集合理論是由俄羅斯學者Pavlov 提出的系統模型理論。作為一種信息處理的數學工具，多色集合理論利用圍道矩陣描述系統元素的組成結構及元素之間的映射關系[9]。該理論同樣能用于復雜機械系統的分析與處理，利用同一標準的數學模型處理具有差異的對象[10]。針對機內測量環境中各待測特征之間條件復雜的問題，多色集合理論能有效地解決。

本文將工件的待測特征要素視為A，測頭類型、測頭偏轉角度、待測特征依附平面作為統一顏色集合F(A)，其中F1～Fj為測頭類型，Fj+1～Fk為測頭所需偏轉角度，Fk+1～Fn為待測特征依附平面。ai作為集合A 中的第i個待測要素，可以將三者的關系利用圍道矩陣表示為

式中：ci(j)表示特征之間是否存在基準約束，當ci(j)=1 時，則表明行與列存在基準約束關系；(μi(j))mm表示待測工件特征群矩陣，可宏觀地表達待測特征群的分類情況，且μi(j)∈{0,1} ，μi(j)表示是否符合Fi的特征要素，0 表示不屬于，1 表示屬于。

圖4 為機內測量系統建立的待測特征三維模型。該模型中共有8 個待測特征，通過多色集合理論建立測頭種類、測頭偏轉角和待測平面三者間的規劃與約束關系模型。

圖4 機內測量中工件待測特征路徑規劃流程

表1 是圖4 中待測特征三維模型所需要測量的特征，其中RMP60M、RMP60 系列表示測球不同的直徑。

表1 零件檢測工藝信息

2.2 構建測量排序問題的約束模型

在表2 中，個人顏色P1～P13表示待測特征演示模型中的所有待測特征，統一顏色；F1、F2表示測頭的類型；F3、F4、F5表示待測特征所依附的測量面；F6表示測頭需要偏轉。表2 中，“○”表示待測特征與測頭類型、依附平面、測頭偏轉角度之間匹配關系，帶有“○”表示待測對象與其統一顏色存在關聯，反之則無關聯。

表2 圍道矩陣

對表2 中的統一顏色Fi進行合取運算，并對待測要素進行分組編號，見表3。

表3 合取圍道矩陣

2.3 測量排序問題函數建立

測量過程的數學模型如下：P={P1,P2,···,Pn}作為工件的待測特征的集合，在該集合中共有13 個待測特征。在實際測量過程中，會受到特征之間位置約束及測頭選取的約束，因而在測量過程中必然存在優先級關系，其測量順序可以表示為x={x1,x2,···,xi}，表示從測量x1開始，以測量xi結束的測量步驟序列。

優化目標是在滿足測量任務的前提下，測量耗時最短。相應的時間包括更換測頭時間、測頭偏轉時間、在三坐標軸方向快速移動到待測特征區域所需的時間。因此，測量的時間p(x)由以下三部分組成：

式中：p1(x)表示更換測頭時間總和；p2(x) 表示測頭偏轉時間總和；p3(x)表示在三坐標軸方向快速移動到待測特征區域所需的時間總和。

數控機床中，當下一次的測量步驟需要更換測頭時，待換測頭會提前轉置換刀位置，設換測頭所用時間為T測頭更換，則p1(x)可表示為

在機測量中，當待測特征需要更換測頭時，會提前更換到換刀位置，由于機床自動換刀時間穩定，在測量過程中更換測頭時間基本相同，簡化函數T測頭更換為定值。此外，在式（5）中，若待測特征xi和待測特征xi+1使用相同測頭時，認為xi,i+1=0，表示測量無需更換測頭；若待測特征xi和待測特征xi+1使用不同測頭時，則認為xi,i+1=1，表示在下一次測量需要更換測頭。

當測量步驟xi到步驟xi+1時，由于工件外形等因素，需要在測量過程中測頭產生一定的偏轉角度才能完成所需測量任務，此時測頭旋轉的時間為x′i,i+1，其偏轉時間與測頭的旋轉角度有關，則p2(x)可表示為

測量中，測頭由起始點出發按照檢測需求到達規劃的下一待測特征要素，這一過程需要的時間為x′′i,i+1，因此p3(x)可表示為

在以上的敘述中，p(i)作為整個測量路徑上完成第i個待測特征要素點后所用的時間，需要在該測量過程中尋求最佳的測量順序x*，使其在滿足工件測量規則下測量時間最短，最終可得測量排序的目標函數：

則該式最終可表示為

3 測量規劃算法

機內測量的路徑規劃問題中，對工件特征的檢測規劃如圖4 所示，輸入待測工件，對工件整體的待測特征進行測量的順序規劃（全局規劃）；根據待測特征的幾何結構安排測量點位置與測點數量進行單一特征內的測量（局部測量）。本文僅考慮前者的規劃問題，即全局規劃測量中：

（1）檢測特征先后檢測順序問題

（2）如何規劃使得測量時間最短問題

在檢測中，特征群矩陣僅改變特征所屬個數與組成，而不會改變約束條件。結合這一特點，本文選擇遺傳算法解決這一問題，該算法在求解復雜問題時具有良好的收斂性、魯棒性高、計算耗時少等特點。

3.1 遺傳算法檢測特征組內規劃

遺傳算法由John Holland 于20 世紀70 年代提出，該算法借鑒自然選擇與生物遺傳機制，模擬生物繁殖，進化產生新的種群，通過不斷循環這一過程求得最優解[11]。本文將工件的待測特征與基因值對應，使用實數進行編碼。

（1）編碼鏈

視目標尋優函數中自變量為基因編碼，在編碼生成后隨機生成一條初始的編碼鏈。

（2）產生初始種群

在群體規模的設置中，應根據測量特征的數量分段的對應設定?？梢噪S機抽樣或局部選擇產生初始種群，從這些初始種群開始模擬至最后得到目標個體滿足優化要求。

（3）適應度與選擇

為了提高全局收斂性同時避免因基因缺失導致的適應度降低的個體，需要考慮在路徑規劃中，測量用時越少意味著測量效率越高，適應度函數與測量用時成反比。因此適應度函數為檢測時間的倒數：

（4）交叉操作與變異算子

根據生物學中雜交原理，在基因鏈中任意一個點位發生斷裂，父代基因鏈在斷點位置交替或重組的現象稱為交叉行為。其過程可能生成更優秀的個體使得遺傳算法搜索能力提升。

表4 為片段交叉變異的執行過程，設兩條父代為D1和D2，在D1和D2交叉產生子帶個體S，其中z1和z2為D1隨機生成的交叉變異的點位；判斷z1和z2兩個位置的基因是否具有相同的測頭類型、測頭偏轉角、待測特征依附平面。如果不滿足則重新選擇新的變異點位；在D1中找出z1和z2之間的基因m[]、D1中0～z1之間的基因n[]。再在D2中找出包含m[]的最短基因片段w[]，設該片段在D1中起始位置為p，結束位置為q；在D2中設0 到p之前的基因片段為x[]，q之后的基因片段為y[]，之后在初始種群隨機選取一條染色體按照交叉流程得到子代S。其中γ[]包含在n[]；δ[]包含在r[]中，當γ[]位于m[]與δ[]之間時，則稱發生變異算子執行過程。

表4 交叉流程圖

（5）迭代終止

當迭代次數達到所設置值時，迭代終止，然后輸出最終測點排序。

3.2 檢測特征組間順序規劃

根據多色集合理論集合的約束模型，通過遺傳算法進行如下操作。

根據待測特征進行基因編碼，生成兩條父類染色體D1和D2，然后兩條染色體進行交叉操作，見表5。

表5 父代染色體

選擇產生交叉位置點，并判斷兩交叉點間的基因測面是否相同，若不相同則重新選擇。設z1=1，z2=11，按照交叉法則得到子代染色體，見表6。

表6 子代染色體

3.3 測量特征驗證

按照遺傳算法流程對圖5 所給的三維模型進行求解，根據算法設置參數如下：將種群規模定為100，最大進化代數為100，交叉概率選擇為0.85，并定義變異概率值為0.05。在編碼過程中，將上述約束條件及參數添加。最終，該工件測量中待測特征最優路徑排序為2→1→3→4→5→7→11→13→12→10→9→8→6。

圖5 交叉流程圖

在Matlab 仿真中，將遺傳算法與本文的算法進行比較。如圖6 所示，當迭代至48 次獲得最優解，最優解為70.3 s（不包含更換測頭時間）。對比結果表明，本文所采用的方法相較于無約束遺傳算法具有收斂速度更快、運行時間更短的優勢，證明了在多色集合理論約束下，路徑規劃算法在處理路徑規劃問題方面具有一定的優勢。

圖6 遺傳算法與本文算法迭代對比圖

4 實例驗證

本文以圖4 所示的待測特征演示模型為例，利用3.3 節生成的待測特征順序規劃得到最終的全局路徑，圖7 所示為待測特征排序。利用機內測量軟件生成.cls 文件導入西門子工業軟件NX12.0，生成測量路徑如圖7b 所示。

圖7 試驗件檢測程序編制

5 結語

針對機內測量路徑規劃問題，本文建立了一種基于多色集合理論下的特征測量排序約束模型，以工件特征測量時間最短為優化目標，采用遺傳算法作為路徑規劃算法，最終獲得合理可行的特征測量順序，并由實驗驗證了多色集合理論約束下的遺傳算法同無約束下的遺傳算法相比，本文提出的算法測量時間更短，測量效率更高，為機內測量中路徑規劃提供了一種新的思路。