對一道高三質(zhì)量檢測題錯(cuò)解的剖析與思考

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學(xué),安徽 合肥 230000)

皮亞杰說過:“錯(cuò)誤是有意義的學(xué)習(xí)所必不可少的.”當(dāng)代科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾認(rèn)為:“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”教學(xué)活動中學(xué)生的錯(cuò)解展現(xiàn)了學(xué)生的思維活動過程,是教師了解學(xué)情的重要途徑.教師命題中也可能會出現(xiàn)“正題錯(cuò)解”(正確的試題和錯(cuò)誤的解析),洞悉“不露痕跡”的錯(cuò)解需要解題者具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),如對相關(guān)概念、關(guān)系、結(jié)構(gòu)有明確的認(rèn)識和理解,對解答過程中各步驟有清晰的邏輯分析等.

1 試題呈現(xiàn)

例1 (2021-2022學(xué)年度福州市高三期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第19題)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c．已知c=acosB+ccosA．

(1)試判斷ΔABC的形狀,并說明理由;

2 解答呈現(xiàn)

對于第(1)小題,參考答案分別從正弦定理、余弦定理入手,得出結(jié)論:ΔABC為(A為頂角的)等腰三角形或(A為直角的)直角三角形,此處略.對于第(2)小題,參考答案給出兩種解法:

又因?yàn)閟in∠ADB=sin∠ABC,

所以sin(π-∠ADB)=sin∠C.

即sin∠BDC=sin∠C.故∠BDC=∠C.

所以∠A=∠DBC.

兩式相乘,得AC·DC=BC2(也可通過△ABC∽△BDC得到AC·DC=BC2).

又CD=AC-AD=AC-BC,

所以b(b-a)=a2,

又因?yàn)閟in∠ADB=sin∠ABC,

所以sin(π-∠ADB)=sin∠C.

即sin∠BDC=sin∠C.故∠BDC=∠C

所以∠A=∠DBC.

又因?yàn)锳D=BD,所以∠A=∠DBA.

3 問題剖析

通過對特殊情況的補(bǔ)充,完善了解法1與解法2.為什么會出現(xiàn)漏解呢?命題人借助形的直觀,默認(rèn)畫出的圖形(圖形的一般情形)為全部狀態(tài),遺漏了特殊情形,出現(xiàn)了形的誤導(dǎo).通過數(shù)的精準(zhǔn)凸顯理性思維,將sin∠ADB=sin∠ABC等量代換得sin∠ADB=sin∠ACB,將目標(biāo)由遠(yuǎn)及近(由B?AC到D∈AC),結(jié)合∠ADB,∠ACB的范圍及條件“點(diǎn)D在邊AC上”對點(diǎn)D的位置進(jìn)行確認(rèn).若命題者強(qiáng)化對“三角形的邊”概念的推敲,也能避免上述錯(cuò)解.因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言敘述的嚴(yán)謹(jǐn)性;在數(shù)學(xué)解題中一定要深化對條件的理解,確保所求結(jié)論的等價(jià)性.

4 其它解法

又因?yàn)閟in∠ADB=sin∠ABC,

所以sin∠ADB=sin∠ACB.

所以∠ADB=∠ACB或π-∠ADB=∠C.

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合時(shí),由AD=BD=BC=a,記∠BAC=α,則∠ABD=α.

所以∠BDC=∠BCD=2α.

由b=c,可知∠ABC=∠BCD=2α.

故由(1)可得B=C.

由sin∠ADB=sin∠ABC=sin∠ACB,得

∠ADB=∠ACB或∠ADB=π-∠ACB.

5 類似問題鏈接

例2已知平面向量a,b滿足a·b=0,|a-b|=2,則3|a|+2|b|的值可能是( ).

解析由已知可得|a-b|2=|a|2+|b|2=4.

故選BC.

當(dāng)a=0時(shí),r(x)=-4x+5在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞減,s(x)=log2x在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3

所以-1≤a<0.

所以0

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,1].

綜上所述,當(dāng)a≤1時(shí),g(x)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞減.

解得-1≤a≤1.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,1].

類似的問題還有很多,如集合中的空集,區(qū)間的開閉對參數(shù)取值范圍的影響,“非零向量a與b的夾角為銳角”等價(jià)于“a·b>0且a與b不同向”等,請讀者自行整理.學(xué)生只有在平時(shí)的學(xué)習(xí)中弄清楚各個(gè)定理、性質(zhì)的內(nèi)容、條件和適用范圍,遇到相關(guān)問題時(shí)才不會望文生義,通過審題敏銳地發(fā)現(xiàn)題目中關(guān)鍵詞、情境等變化.存在錯(cuò)解的數(shù)學(xué)問題往往觸及學(xué)生的知識盲區(qū)或能力不足之處,此類問題是學(xué)情的“晴雨表”,是教師珍貴的教學(xué)資料和備課素材. 對于此類問題,教師應(yīng)當(dāng)抓住教學(xué)契機(jī),引領(lǐng)學(xué)生深刻剖析錯(cuò)誤根源,引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地思考問題,把握事物之間的關(guān)聯(lián),形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神[1].面對錯(cuò)解,教與學(xué)時(shí)不能簡單地采取直接糾正的方式,還要弄清楚錯(cuò)解產(chǎn)生的深層次原因,努力扭轉(zhuǎn)學(xué)生解題“對號入座”的現(xiàn)象,深化對問題的理解,切實(shí)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,遇到問題時(shí)才能以不變應(yīng)萬變.