數形結合 妙解三角函數

陳亞囡

(江蘇省如皋第一中等專業學校,江蘇 如皋 226500)

數學和幾何學一直以來都是人們探索和研究的重要領域,三角函數是以角度為自變量,以其對應的任意角的終邊上任意一點坐標,或坐標比值為函數值的一種函數表達.數形結合是一種幾何作圖方法,可以將三角函數和幾何相互融合,是研究幾何形狀和角度的重要工具,兩者在解決實際問題中具有廣泛的應用[1].因此,教師可以帶領學生挖掘三角函數的性質和公式,以及幾何形狀的特點,幫助學生探索解決幾何難題的新思路.

1 依托三角函數線,探索基礎內涵

三角函數線是指由正弦函數、余弦函數、正切函數等所表達的一類曲線,這些函數都是以單位圓的角度為輸入,并輸出對應的三角比值.教師在介紹三角函數的同時,可以為學生引申三角函數線的意義,幫助學生以數形結合的形式理解三角函數的部分知識,通過函數線上的圖像,理解代數式中的函數,呈現出一系列特征,包括周期性、對稱性、振蕩等.

課堂中,教師可以指出三角函數的基礎內容,介紹指出正弦函數是用sin(x)表示的,其中x是角度,描述了一條振蕩的曲線,且取值范圍在[-1, 1]之間;余弦函數是用cos(x)表示的,其中x是角度,描述了一個類似正弦函數的曲線,取值范圍也在[-1, 1]之間;正切函數是用tan(x)表示的,其中x是角度,描述了一條具有無限個極值點的曲線,其定義域的周期為π.在學生了解正弦余弦和正切概念的基礎上,教師可以引申至三角函數線,指出三角函數線是正弦、余弦、正切、正割線的總稱,是三角函數的基礎內容,借助三角函數線,學生可以以作圖的方式,直觀地看出任意角在特殊條件下的取值范圍.簡單地,教師可以在黑板上寫出例題,讓學生求出當sinα>1/2時,α的取值范圍,教師可以提示學生利用三角函數線解題,為學生的解題提供“撥云見日”的感覺.在一段時間的思考后,教師可以提問了解學生的想法,有學生回答:“當α為30°時,sinα=1/2,這樣說來,我們可以用臨界的思維將三角函數線的起始安置在點A,此時的OA線與x軸的夾角為30°,轉化一下也可以寫成π/6.”教師肯定了學生的思路,并詢問是否還有補充,另一學生回答:“正弦值在三角函數與象限中,不只有第一象限為正數,第二象限對于正弦值來說同理,也是正數,這樣一來,sinα的取值為1/2就出現了兩種情況,即α為5π/6同樣符合題意,然后將三角函數線補充完整,即可得出答案.”教師將學生的思維展示在投影儀上(見圖1),綜述道:“在π/6與5π/6的以逆時針的方向圈定范圍,并用表達式表示出來,即可得出正確答案為{α|π/6+2kπ<α<5π/6+2kπ,k∈Z}.”

圖1 三角函數線示意圖

通過教師介紹三角函數線的方式,學生可以以形會意,在初步學習三角函數的過程中,發現圖像和特殊節點的基礎含義,將圖像特征與代數式的計算聯系起來,從而找到數形結合中,三角函數所具備的基礎意義.同時,數學教學中,教師幫助學生提前了解函數的特質,以及介紹其在解決實際問題中的應用方法,均為至關重要,可以為學生的數學學習提供思維邏輯上的助力.

2 利用數軸單位圓,挖掘幾何意義

在數學中,單位圓是指的半徑為1,圓心位于坐標系的原點(0, 0)的圓,單位圓在數學中扮演著重要的角色,且具有特殊的性質和應用.單位圓與三角函數密切相關,不僅可以聯結復雜概念與圖形的關系,還可以為三角函數的冗雜的代數計算,找到簡潔的突破口[2].因此,教師可以借助單位圓與三角函數數形結合的圖像,幫助學生挖掘三角函數的幾何意義.

在直角坐標系上,教師可以以單位圓的圓心為頂點,以x軸正方向為初始邊,逆時針旋轉一個角度θ,對應于單位圓上的一個點P(x,y),那么,點P的橫坐標x就是角度θ的余弦值,縱坐標y就是角度θ的正弦值,這被稱為三角函數的單位圓定義.接著,教師可以指出單位圓的方程是x2+y2=1,其中(x,y)是單位圓上的任意一點,并提醒這個方程表示所有位于單位圓上的點滿足的條件,可以用來表示角的度量.接著,教師可以引入單位圓的作用,指出單位圓也可以幫助學生理解正切函數的幾何意義,因為正切函數可以用單位圓上沿切線方向的斜率來表示,當教師在黑板上畫了一條從圓心到單位圓上某點的線段,并將該點延長至與單位圓的切線相交時,教師可以提示學生注意觀察,指出切線和x軸之間的夾角就是該點的角度.在這種情況下,點的縱坐標除以橫坐標即是該角度的正切值,通過單位圓,教師可以引領學生直觀地看到正切函數在不同角度下的增減變化.之后,教師可以為學生準備一道例題,幫助學生更好地理解單位圓與三角函數的幾何關系,教師可以提問,如果π/4<α<π/2,那么不等式cosα

圖2 單位圓表示三角函數的示意圖

通過單位圓的圖形示意,學生可以更好地理解三角函數的性質、周期性以及它們與角度之間的關聯,同時,單位圓與三角函數的數形結合,還可以讓學生以清晰的方式觀察和解釋正弦、余弦和正切函數,找到數學代數與幾何意義之間的隱藏聯系,豐富學生對三角函數的認知,從而深化對三角函數的理解,并在幾何問題的求解中運用它們.

3 借助正弦余弦圖,應用實際問題

正弦函數圖像表現出周期性的振蕩,可以幫助我們研究周期性現象、震蕩和波動,余弦函數的圖像與正弦函數的圖像形狀相似,共同展示了三角函數的對稱性,諧振現象和周期性運動.并且,正弦和余弦圖像在解決三角函數問題中具備許多便利之處,可以展示三角函數的周期性、振蕩性和相位差特性,因此,教師可以引領學生觀察這些圖像,更好地理解三角函數的性質和特點,應用在實際問題中[3].

教師可以引導學生回憶生活中的三角函數圖像,有學生思考想到了擺動的掛鐘,掛鐘上的振動可以用正弦函數來描述,當掛鐘振蕩到達極端位置時,它會以最大速度通過中心位置,并在離開中心位置時減速,再次返回中心位置.這個過程會一次又一次地重復,形成一個周期性的運動.這時,教師可以讓學生再次觀察正余弦函數圖像,學生通過觀察正弦函數圖像能夠更好地理解這種周期性運動,學生可以發現,當鐘擺通過中心位置時,正弦函數的值為0,這代表鐘擺在這一時刻沒有速度,正好處于最高和最低點之間.當鐘擺移動到最高或最低點時,正弦函數的值達到最大值,表示鐘擺速度最快.結合三角函數相關的應用題,教師可以舉例,已知函數f(x)=2sin(x)+3cos(x),其中x為弧度.求函數f(x)的最小值及對應的x值,教師可以提示,函數f(x)=2sin(x)+3cos(x)可以寫成標準的三角函數形式f(x)=Asin(x)+Bcos(x),其中A=2,B=3,為了求函數f(x)的最小值,可以利用三角函數的性質,關注f(x)函數的最大值和最小值出現的位置,也就是關注它的圖像.在教師的提示下,有學生領悟:“經過觀察,我們可以發現,在sin(x)和cos(x)的圖像中(見圖3),sin(x)的圖像是一個周期為2π的正弦函數,最小值為-1,最大值為1,同樣,cos(x)的圖像也是一個周期為2π的余弦函數,最小值和最大值也為-1和1.因此,我們可以推斷f(x)的圖像是一個幅度不超過|A|+|B|=2+3=5的正弦函數.換句話說,f(x)的最小值就是-5,最大值是5.”不多時,另有學生補充:“接下來我們需要找出函數f(x)取到最小值時的x值,為了達到最小值,我們需要在sin(x)和cos(x)的圖像重疊的部分找到最小值,實際上,在它們兩者都取到最大值的時候,它們的和f(x)就會取到最小值.所以,我們解方程組可以得到x=π/4+2kπ,其中k是任意整數.”

圖3 正弦余弦函數圖像

通過觀察正余弦的函數圖像,教師可以從多角度介紹三角函數的周期、振幅、相位差等概念,幫助學生學會預測和分析周期性問題,解決波動、振動、頻率和相位等相關的數學問題,為學生的三角函數學習鋪墊理論性的基礎.教師也可以在具體例題中,為學生提供創新性的解法,從而鼓勵學生自主研究,深入探索三角函數在實際問題中的深刻應用.

總之,借助數形結合解決三角函數問題,可以深化學生對三角函數概念及其應用的理解,并將其與幾何形態聯系起來,這不僅能夠幫助我們發現數學中的美妙關聯,提升問題解決的能力,還可以幫助學生拓展數學思維的廣度和深度.同時,教師運用數形結合,不但可以為學生提供更多的三角函數的解題思路和方式,而且,許多三角函數的性質和定理都可以通過數學推導或證明得出,這還可以幫助學生發現更多直觀且巧妙的解題方法,簡化計算過程,提高問題解決的效率.