結構優化視域下《新思路數學》教學實驗探究
——以七年級上冊第二章“代數式”為例

李思頡 楊花 朱家正 張嫌

一、 引言

李尚志教授主編的讀本《新思路數學》是張景中院士教育數學思想物化的產物,該讀本于2020年出版。我校有幸參與到讀本《新思路數學》的教學實驗研究中,如何在當下“減負”的時代背景下將實驗教學更好地與常規教學進行融合,并符合2022年版義務教育數學課程標準?文章依據以上問題,在結構優化視域下對《新思路數學》教學實驗進行探究,并以七年級上冊第二章“代數式”為例,從教學實驗背景、讀本知識架構、讀本對教學的優化作用等方面進行闡述。

二、 《新思路數學》的教學實驗背景分析

(一)問題的提出

數學作為基礎教育階段的重要學科,因其學科內在特點,學生的學習并不容易。如何學好數學,一直是困擾教師和學生的問題。如何改造數學使其更適宜于我們的教學和學習?把難學的數學變容易,成為張景中院士長期的研究目標。1989年他提出了介于數學和教育學之間以數學為主的交叉研究方向——教育數學,努力為每個難點尋找簡單路徑,從而讓數學變得更容易,讓更多的學生對數學感興趣,樹立起學好數學的自信心。

教育數學發現了三角在小學數學知識基礎上的生長點,提出用面積關系定義正弦,實現了國際上著名的數學教育大師弗賴登塔爾提出的“提前兩年學正弦,讓數學能配合物理進度”的設想,此研究始于1974年,1980年研究成果發表,2012年正式進入整體全學段教學實踐。2020年由北京航空航天大學數學與系統科學學院李尚志教授主編的讀本《新思路數學》出版,標志著教育數學教學實踐載體的誕生。

(二)現實的意義

《義務教育數學課程標準(2022年版)》中指出課程目標要以學生發展為本,以核心素養為導向,進一步強調學生獲得數學“四基”“四能”,形成正確的情感、態度和價值觀。而基于教育數學思想編寫的讀本《新思路數學》,通過把難的知識變容易,探索學生學習的特點和規律,使學生能得到全面的發展,利于核心素養的落實,對推動初中數學教育的改革具有重要意義。

新課標指出:“課程內容的組織,重點是對內容進行結構化整合,探究學生核心素養的路徑,重視數學結果的形成過程,處理好過程與結果的關系。”提出了結構化教學理念。《新思路數學》不僅限于對數學教材進行教學法加工,更致力于對數學本身進行再加工、再創造,增強了知識間的聯系性與整體性,讓邏輯性更加突出。

三、 《新思路數學》的知識架構分析

在教學實驗中,《新思路數學》讀本的知識架構與人教版存在差異,下面將以七年級上冊第二章“代數式”為例進行分析。

義務教育教科書七年級上冊《數學》七年級上冊《新思路數學》第二章 整式的加減第二章 代數式2.1 整式閱讀與思考 數字1與字母X的對話2.2 整式的加減信息技術應用 電子表格與數據計算數學活動小結復習題22.1 字母表示數2.2 整式2.3 整式的加減2.4 冪的運算2.5 整式乘法2.6 零指數與負指數2.7 整式的混合運算本章小結上下求索數列分解與組合

第一節“字母表示數”是全章的開篇,讀本從五個方面來闡述了用字母表示數的優勢:“字母運算識破玄機”“字母才能算無窮”“規律指揮案例”“字母表示公式”“字母表示運算律”。通過五個具體的案例學生能夠感受到字母的神奇魔力,從而為本章的學習創造良好的興趣基礎。

第二節“整式”內容與人教版的基本一致,但知識點的引入順序不同。人教版從“單項式”“多項式”,最后得到“整式”的概念,其邏輯結構按“分-總”式來展開。而《新思路數學》按照“整式”“單項式”“多項式”的順序來闡述,是從總體到局部的邏輯結構。

第三節“整式的加減”與人教版相比增加了更多的探究內容,除了“合并同類項”“去括號”“求代數式的值與基本概念”,還增加了“探與究 探索與驗證規律”“恒等式與面積”兩個項目式探究問題,其中“探與究 探索與驗證規律”揭示了找規律的基本方法,而“恒等式與面積”為之后整式乘法的幾何意義奠定了基礎。

第四節“冪的運算”、第五節“整式乘法”是人教版八年級上冊第十四章“整式的乘法與因式分解”的內容,而第六節“零指數與負指數”對應人教版八年級上冊第十五章“分式”中整數指數冪,以上內容都提到了七年級上冊來完成,縮短了知識學習的跨度。

第七節“整式的混合運算”將初中階段整式的所有運算綜合起來,并對分式的引入埋下了伏筆。

“上下求索”是讀本中的特別之處,本章的“上下求索”是探究“數列分解與組合”,利用“平方數列巧分解”和“猜數列不靠譜”兩個問題,深入探究數列的分解與組合,其中高中數學思想方法的滲入為今后的學習做好鋪墊。

以上分析不難發現,《新思路數學》讀本在第二章“代數式”的內容上進行擴充與整合,體現從數到式邏輯思維的逐級遞進;結構上進行優化,體現大單元教學設計的整體思想。因此《新思路數學》讀本利于教學整體結構的優化,增加了知識鏈接的緊密性,使數學變得更容易。

四、 《新思路數學》教學優化分析

(一)《新思路數學》利于內容結構優化

對比人教版,《新思路數學》在內容結構上進行了系統的優化。第二章“代數式”在人教版的基礎上增加了“冪的運算”“整式的乘法”“零指數與負指數”“整式的混合運算”,將整式的部分內容前置,并統一編排到一個章節,實現以大概念為抓手,幫助學生從整體上來理解整式的運算結構,促進學生能夠自主構建知識體系,實現知識之間的遷移與應用,落實學生的數學核心素養。此外,在“上下求索”中增加了“數列分解與組合”,為做好初高中的銜接打下堅實的基礎。

(二)《新思路數學》利于邏輯結構優化

《新思路數學》不僅致力于對內容結構優化,還在邏輯結構上進行了優化,呈現更簡單的邏輯結構認知。

新思路“代數式”的第一課時是字母表示數,而人教版并沒有單獨的章節呈現。新思路以字母的引入,實現小學算式到初中代數式的過渡,通過“字母運算識破玄機”“字母才能算無窮”“規律指揮案例”“字母表示公式”和“字母表示運算律”五個有趣的案例,充分說明了字母表示數的優越性,使學生體會從具體到抽象的認識過程,發展符號意識,感受“抽象”的數學思想。以“字母運算識破玄機”為例:

(手機號碼泄露你的年齡)有人設計了一個算法,用你的手機號碼算出你的年齡。

算法如下:將你的手機號碼加20,乘25,再乘4,再加23,再減去你的出生年份。末兩位就是你的年齡。

解:設你的手機號碼為a。加20等于a+20。

乘25得25(a+20)=25a+500(分配律)。

再乘4得4(25a+500)=100a+2000(分配律)。

再加23得(100a+2000)+23=100a+(2000+23)=100a+2023(加法結合律)。

下一步減去你的出生年份。因為每個人的出生年份不同,不能用一個固定的數表示,因此只能用字母表示。出生年份與手機號碼無關,不能再用a表示,可以用與a不同的任意字母表示,比如用b表示,得到100a+2023-b。

100a是手機號碼這個整數a的100倍。不論a是多少,100a的末兩位都是00,對計算末兩位不起作用。因此,100a+2023-b的末兩位就是2023-b的末兩位,與a無關。知道了出生年份,理所當然就知道了年齡,沒有任何神秘之處。字母運算這個很簡單的科學知識將它解釋得清清楚楚,根本不是“科學不能解釋”。所以字母運算利用運算律解答問題,就是用最大的規律來得出這個問題的小規律。

除此之外,在“字母表示公式”這部分內容中,用字母表示圓的面積時,對為什么要用π來表示進行了解釋說明。因為圓周率是無限不循環小數,寫得太少精確度不夠,寫得再多也不能完全表示圓周率,為了方便起見,專門用一個字母π代表它的精確值,能更好地讓學生認識到用初中階段π與小學的不同之處!

可見《新思路數學》體現了從數到式邏輯思維的逐級遞進,揭示了從數到式學習的必要性,讓數學從真正意義上變得容易。

(三)《新思路數學》利于情境創設優化

新課標強調:“加強知識學習與學生經驗、現實生活、社會實踐之間的聯系,注重真實情境的創設,增強學生認識真實世界、解決真實問題的能力。”有效的情境創設能夠激發學生學習的主動性和積極性,不僅有利于營造高效的初中數學教學課堂,拓展學生的數學思維,還有利于發展學生的數學核心素養,達到全面育人的目的。

新思路在情境創設上也給我們提供了很好的借鑒。這里以“去括號”法則教學為例,以“幾何圖形求面積”為情境作為“去括號”的導入:如圖1所示,長為am,寬為bm的長方形鐵片,四角上剪去邊長為xm的小正方形,且在中央部分又剪去邊長為ym的小正方形。求這塊鐵片剩下的面積。

圖1

首先,要表示鐵片剩下的面積,有如下兩種方法:

解法一:鐵片剩下的面積=鐵片原來的面積-剪去的總面積

即,鐵片剩下的面積=ab-(4x2+y2)。

解法二:鐵片剩下的面積=鐵片原來的面積-四個角邊長為xm的小正方形的面積-中央部分邊長為ym的小正方形的面積

即,鐵片剩下的面積=ab-4x2-y2。

學生通過不同的方法表示鐵片剩下的面積,最終得到ab-(4x2+y2)=ab-4x2-y2。

通過讓學生觀察等號的左右兩邊,發現去掉括號與括號前面的“-”號時,括號內各項全變號,使學生對“去括號”有了初步的感知,再通過運算律進行說理。這樣的情景創設優化設計,不僅激發學生的學習動機,而且增強了學生的學習動力,使學生從中享受到整個學習過程帶來的樂趣,從而揭示“去括號”的本質,讓深度學習有效發生。

(四)《新思路數學》利于習題設計優化

習題設計是日常教學的重要組成部分,不僅可以檢查學生對知識點的掌握情況,而且還可以促進學生基本技能的形成。精巧的習題優化設計,能夠使得不同層次的學生在數學上得到不同的發展,有效提升了學生的數學核心素養。

《新思路數學》在習題設計上堅持素養導向,注重學生素養能力的提升。在“整式的加減”這一節中加入了“探索與驗證規律”,設計了以“火柴棒搭正方形”為背景的習題:如圖2所示,用火柴棒從左到右搭若干個同樣大小的正方形(搭一個正方形需要四根火柴棒),回答下列問題:

圖2

(1)第一個正方形需要補充幾根火柴棒,才能得到第2個正方形?(2)前兩個正方形需要補充幾根火柴棒,才能得到第3個正方形?(3)前(n-1)個正方形需要補充幾根火柴棒,才能得到第n個正方形?(4)搭10個正方形需要多少根火柴棒?(5)搭n個正方形需要多少根火柴棒?(6)搭100個方形需要多少根火柴棒?

此習題設置了由易到難,由特殊到一般的問題串,讓學生學會觀察、分析,通過特殊的問題來歸納總結出一般規律,立足核心素養,將“探”與“究”緊密結合,一方面讓學生利用字母運算,從已有的可靠規律推出新規律(3n+1);另一方面學生也可以從數據的來源去尋找規律,在本題中數據來源是火柴搭成的正方形,就保證了每增加1個正方形需要增加3根火柴。這樣的習題設計優化使學生的思維能力、自主探索能力和創新能力得以培養與發展。

此外,在本節中還增加了以“數列中的裂項相消法”和“求數列的前n項和”為背景的習題,選取學生能借助新知識解決“跳一跳能夠到”的問題,給足其探究空間,將高中的內容在初中適當滲透,為學生后面學習高中的知識與方法奠定了基礎,充分體現了教育數學“一線串通”的思想。

五、 結論

在“代數式”章節的精細解讀和教學實踐研究中,可以發現《新思路數學》的部分內容設計雖然理解起來有一定難度,但是不可否認,其中一些章節內容的調整與呈現,都值得我們思考和借鑒。并且從讀本的案例中可以看出,《新思路數學》所提供的內容體系呈現出嚴謹的邏輯與透徹的詮釋,很好地揭示了數學的本質,值得我們在教學中深入研究和繼續推進。同時《新思路數學》讀本在整體結構優化、內容結構優化、邏輯結構優化、情景創設優化和習題設計優化五個方面獨具特色。因此該讀本的推廣以及開展的教學研究具有應用價值。

正如張景中院士所說:“把學數學比作吃核桃,數學教育研究的是如何砸核桃和吃核桃,而教育數學是研究改良核桃的品種,使核桃更美味、更營養、更容易砸開吃凈。”教育數學思想的理論和應用需要我們不斷探索和實踐,希望我們都能把“改良核桃的品種”研究得更透徹,真正讓數學變得容易。