斜拉橋塔-索-梁耦合面內整體動力學模型與1:1內共振影響性分析1)

陳柯帆 李 源,?, 賀拴海,? 宋一凡,? 徐珂瑤

* (長安大學公路學院,西安 710064)

? (長安大學舊橋檢測與加固技術交通行業重點實驗室,西安 710064)

引言

斜拉橋整體剛度低,受載荷作用產生全橋振動時,將同時存在以拉索振動模態為主導的結構局部模態和以主塔或主梁振動模態為主導的結構整體模態[1].研究表明,隨著拉索參數變化,當結構局部模態頻率靠近某一階結構整體模態頻率時,系統將出現明顯的局部-整體模態耦合共振,此時系統能量在拉索與其他構件間周期性轉換,進而產生復雜的非線性內共振[2-5].已有研究表明斜拉橋普遍存在此類特征的全橋共振[6],有的甚至已經嚴重影響到橋梁結構的安全性能與使用壽命[7],引起了國內外學者的廣泛關注.

在部分非線性共振研究中,通過把塔、索和梁等構件等效為質量塊[8],或將主梁對拉索的激勵作用等效為簡諧載荷[9-12],認為拉索自身模態與激勵作用模態間相互獨立,彼此間無影響作用.然而在斜拉橋這類塔-索-梁耦合結構的內共振中,對拉索模態的激勵作用主要來源于主梁或主塔的振動模態,由于索-梁端、索-塔端存在動態協調關系,拉索的振動模態與主梁或主塔振動模態間存在相互耦合的關系,兩者模態間實時變化且相互影響,其內共振機理非常復雜[13].因此,為了能更貼近工程實際結構,Fujino 等[14-15]和Gattulli 等[16-17]從試驗和理論角度出發,研究并建立了考慮局部-整體模態間相互作用的索-梁耦合動力學模型,提出了振型局部化系數的計算方法,并觀察到了由于整體模態和局部模態線性耦合的模態失真現象.康厚軍等從連續介質力學角度出發,建立了索-梁[18-19]、索-拱[20-21]、索-塔[22]、索-曲線梁[23]等動力學模型,基于彈性體與柔性體間的非線性關系,得到了各自約化動力學控制方程,并就其非線性動力學行為進行了系列的理論與試驗研究.

關于斜拉橋內共振的現有研究絕大多數以索-梁耦合結構為主[1-19,23-24],其通過假設拉索上端固結而忽略了主塔振動模態對結構整體模態的耦合作用,此時與拉索振動模態產生耦合關系的整體模態完全以主梁模態為主導.然而在目前實橋或試驗觀測到,全橋共振時斜拉索、主梁和主塔均發生了大幅振動,且后兩者模態的參與將改變斜拉索的某些非線性動力特性[5,13,25].極少數考慮了主塔激勵的研究或將其視為理想激勵[26-28],或通過模態截斷僅考慮了主塔的一階模態[29],這些研究模型及結果顯然不能全面揭示斜拉橋的動力學行為.因此,考慮塔-梁模態耦合作用建立的塔-索-梁耦合結構更契合工程實際結構體系,其研究結果才能更準確反映斜拉橋內共振機理.

本文基于參數質量離散方法,建立了考慮塔-梁模態耦合作用的塔-索-梁耦合動力學模型,通過有限差分法將參數體系的動力平衡微分方程轉換為代數方程,采用模態拖拽法得到了結構面內運動方程和模態函數,并與數值模擬結果進行了對比驗證.在此基礎上,采用4～5 階Runge-Kutta 方法編寫了振動方程的數值仿真程序,重點分析和討論了塔-梁間模態耦合作用對結構整體模態和結構1:1 內共振的影響.

1 斜拉橋面內動力學模型

忽略主塔和主梁軸向振動位移,基于參數質量體系離散方法[2,30-31],將斜拉橋主塔及主梁分別按照db,dp等間距劃分為參數質量體系,以此建立固結體系斜拉橋的面內離散動力學模型如圖1 所示.

圖1 離散化的斜拉橋面內整體動力學模型Fig.1 The in-plane full bridge dynamic model of a cable-stayed bridge

本文約定下標“p,c,b”分別代表塔、索和梁的相關參數,其中r和j分別表示對塔段和梁段的計數(r∈[1,R],j∈[1,J]),i表示拉索的計數(i∈[1,I]),定義Ci#和Bj#分別表示小里程至大里程方向的第i根拉索和第j個梁段,Pr#表示豎直由上至下方向的第r個塔段,而Pri#和Bji#對應拉索錨固處的塔段及梁段;θci表示拉索與主梁大里程方向夾角.需要說明的是,為方便計算,將P0#的質量歸于P1#,其余邊界質點無位移,故忽略其質量對結構整體運動的影響.對Ci#及其連接的Pri#和Bji#開展受力分析如圖2 所示.

圖2 Ci#振動子系統受力分析示意圖Fig.2 The forced diagram of the Ci# dynamic subsystem

圖中zpr,xci和xbj分別表示Pr#,Ci#和Bj#在各自軸向的坐標;mpr和mbj分別表示Pr#和Bj#的質量,另有mci表示Ci#的單位長度質量;wci,vci和uci分別簡寫自wci(xci),vci(xci,t) 和uci(xci,t),其中wci為拉索的靜平衡線形,vci為拉索的橫向振動位移,uci為拉索的軸向振動位移;s0ci為Ci#靜平衡長度,sci為Ci#振動弧長;vpr和vbj分別簡寫自vpr(zpr,t),vbj(xbj,t),分別表示Pr#的橫向振動位移及Bj#的豎向振動位移.βb(j-1,j)表示Bj-1#和Bj#面內運動的轉角,Fb(j-1,j)與Nb(j-1,j)分別表示為Bj-1#與Bj#間的剪力與軸力,同理如βp(r-1,r),Fp(r-1,r),Np(r-1,r)之于Pr#.試驗表明[32],張緊弦的低階模態是自由振動時的主導模態.若僅考慮拉索的低階模態,則其軸向慣性效應可以忽略(準靜態近似),此時拉索的軸向動力學將通過靜態縮聚的形式被其橫向動力學所控制[33].在此基礎上,假設拉索質量沿弦向均勻分布,建立拉索面內靜平衡方程及靜平衡附近的橫向非線性振動方程分別如式(1)和式(2)所示

式中,g表示重力加速度,取9.806 m/s2;Tci和τci分別表示Ci#在切向的初始索力與索力動增量,其與弦向的初始索力(Hci)與索力動增量間(hci)存在近似關系[7,19]

拉索橫向運動的單位動應變表達式為

對式(4)沿xci方向積分,代入式(3)并簡化后,可以得到拉索弦向的索力動增量表達式為

式中,lci表示Ci#上下端錨固點的弦向距離,Lci表示Ci#靜平衡長度;Uci表示Ci#軸向振動伸長量.fci為Ci#的垂度,表示靜平衡狀態下的索中點與弦向中點的橫向距離[19,24,31].Ci#軸向振動伸長量由其上下邊界處連接的Pri#和Bji#運動分量構成

為了使對稱拉索的兩端邊界條件符號一致,認為塔段的右側位移、梁段的向上位移、拉索沿軸線順時針橫向振動位移為正.基于此,拉索振動時邊界條件為

根據牛頓定律和圖2 的受力分析,并考慮到狄拉克函數性質(δ),分別建立任意Pr#橫向及Bj#豎向動力平衡方程

式中,參數上標“·”表示對時間t求偏導;ηpk和ηbk分別表征固結體系斜拉橋中主塔及主梁運動通過索-梁固結點相互影響作用,下標“k”表示與該點相關參數,下同.對于任一塔段而言,Pr#左右側軸力表達式為

對于任一梁段而言,Bj#左右側軸力表達式為

任意相鄰的塔段或梁段間存在平衡關系

式中,參數上標“'”表示對軸向坐標求偏導;Mpr和Mbj分別表示Pr#和Bj#處的彎矩;Epr和Ebj分別表示Pr#和Bj#的彈性模量;Ipr表示Pr#的面內橫向彎曲慣性矩;Ibj表示Bj#的面內豎向彎曲慣性矩.假設質量體系分布較密,相鄰梁段間的相對位移較小,采用差分法將對位移的偏微分多項式轉換為差分代數方程[2,31]

對于塔-梁固結斜拉橋,索-梁固結點處離散段同時為橋塔和主梁的一部分,塔與梁振動模態間存在相互影響,且通過該點進行傳遞.截取索-梁節點受力示意圖如圖3 所示.

圖3 塔-梁固結點處的受力分析示意圖Fig.3 The forced diagram of the pylon-beam connection joint

如圖3 所示,根據離散模型的假設,該點處橫向及縱向振動位移為零,而其水平、豎向的剪力與軸力表達式間分別存在相互作用

圖1 中,主塔上端自由、下端固結,主梁左右側均為簡支端,其邊界條件分別為

式中,e+,e-分別表示大小里程邊界.考慮邊界條件式(27)～式(30)后,整理式(15)～式(26)并分別代入式(13) 和式(14),可以得到面內的Pr#橫向及Bj#豎向運動方程.

2 結構整體模態定義與模態分析

2.1 運動方程與模態函數

為便于找到系統的內共振形式,采用模態拖拽法定義第n階斜拉橋塔、索、梁自由振動位移表達式[31,34]

式中,加粗符號表示矩陣或向量(下同),基本形式列于附錄A.式(31)是一個含有多維向量(塔/梁)和連續函數(索) 的混合表達式,其中,元素為φpr(n),φbj(n)的向量分別表示塔、梁在第n階面內振動模態下的振動模態振型向量;qnpr簡寫自qpr(t)(n),表示與時間相關的主塔第n階振動模態形狀變化因子,同理如qnci與qnbj;元素為fpi(xci),fbi(xci)表示與邊界條件式(10)和式(12)關聯的模態拖拽函數向量,定義其基本形式為[34]

對于圖1 所示的主塔與主梁離散參數質量體系,Pr#和Bj#的形狀變化因子已包括了各自各階振動模態下的振型函數.因此,Pr#和Bj#的振動位移表達式可以簡寫為

式中,Apr(n)(zpr)表示Pr#在結構第n階振動模態下的振幅,同理如Aci(n)(xci)和Abj(n)(xbj).為簡化表達,選取三角函數作為式(31)中拉索振動方程的振型基函數[19,26-27]

基于此,可以得到Ci#橫向振動方程為

將上式連同式(34)和式(35)分別代入整合后的式(2)、式(13)和式(14),使用Galerkin 方法進行模態截斷可得圖1 所示固結斜拉橋的面內整體運動方程.考慮到張緊弦的低階模態是其自由振動時的主導模態,為簡化計算,在此僅考慮了拉索一階振動模態,并將qnci簡寫為qci,得到結構方程如下所示

式中,對角矩陣Ωpr,Ωnci和Ωbj是主塔、拉索與主梁振動模態的特征對角矩陣,其主元參數量綱與頻率相同.其中,Ωpr和Ωbj表達式為

式中,矩陣S,D,C,G分別表征了剪力效應、軸力效應、拉索的彈性支承效應與重力效應對Pr#或Bj#振動模態的影響,各參數表達式詳見附錄B.從式(38)～式(40)可以看出,Pr#,Ci#和Bj#的運動方程存在耦合項,表明離散的塔段或梁段運動并不彼此獨立,其通過剪力與軸力效應相互影響,共同參與結構的整體運動.此外,線性化后的式(38)～式(40)實質是關于結構固有振動模態頻率ωN的K階齊次超越方程

式中,下標“N” 的參數表示結構面內固有振動模態參數;EN表示結構整體運動的特征矩陣,QN表示結構形狀變化因子向量,其表達式如下所示

式(44) 中,除塔、索和梁特征矩陣外,存在Πbj,3等耦合項系數,表征了塔、索、梁等構件振動模態在結構振動模態下的耦合作用.式(43)存在非零解的前提須EN行列式為零.因此,對EN進行特征值求解可得結構的振動模態參數

式中,ωN(K)表示結構前K階固有振動模態頻率.其中第n階頻率ωN(n)對應的特征向量AN(n)表示該階振動模態下的塔、索和梁構件振動模態的振幅向量.將結構第n階固有振動模態頻率ωN(n)和對應的特征向量AN(n)代入式(34)、式(35)和式(37)后,可以得到塔、索、梁的振動位移表達式.由于本文僅考慮了拉索的一階頻率,則式(46)的K個解中包含了C1#～C4#的1 階局部模態頻率,其余為結構的整體振動模態頻率,此時

若將主梁和拉索無限細分,且使用拉索的前N階模態進行截斷,則式(46)有N個解,此時K=N,按照ωN(k)數值大小升序排列即為結構的第1 階至第N階固有振動模態頻率.

2.2 基于FEM 的斜拉橋整體模態驗證

參考中國西北地區一座斜拉橋設計參數,建立一座單塔四索斜拉橋的動力學簡化模型,構件參數如表1 和表2 所示.

表1 拉索參數Table 1 Parameters of cables

表2 主塔及主梁參數Table 2 Parameters of the pylon and beam

為辨別結構模態,引入模態局部化程度系數Λc(n),Λp(n)和Λb(n)[1,24-25]以定義構件的振動模態在第n階整體模態下的模態參與度

基于上式獲取的結構模態參數僅包含結構整體模態的特征值與特征向量.將本文方法(EMP)與有限元方法(FEM)得到的G1st～G5th整體模態振型及頻率匯總如表3.

表3 兩種方法得到的結構體系整體模態振型Table 3 Global modal shapes obtained via these two methods

表3 中,兩種方法得到的結構整體模態振型幾乎一致,表4 中模態頻率誤差隨離散間距d取值減小而減小,這與式(21)～式(24)中有限差分法應用假設相關.采用本文方法求解復雜塔-索-梁結構體系模態參數,在誤差可接受范圍內確定離散間距d及結構特征矩陣(式(44))元素的取值,借助MATLAB,Excel 等工具即可高效率獲取結構體系固有振型及頻率,無需進行大量細化的有限元建模分析.本文后續研究為避免較大計算量,離散間距取值為4 m.

表4 兩種方法得到的結構體系整體模態頻率Table 4 Global modal frequencies obtained via these two methods

2.3 主塔振動模態對整體模態的影響

表3 顯示,在本文塔-索-梁耦合模型中,結構的整體模態不再完全以主塔或主梁的振動模態為主,而是存在由兩者共同參與的混合整體模態,如G1st,G4th等.為開展進一步研究,建立了3 個動力學模型,如表5 所示.

表5 3 種索-支撐簡化動力學模型Table 5 Three dynamic models reduced from the cable-support structures

表5 中DM2#被廣泛采用于索-梁模態耦合的相關非線性振動研究[2,15-18,26-27,31].采用本文方法對表5 中的3 個模型進行特征值求解,剝離其整體模態頻率匯總如圖4 所示.

圖4 3 個結構的整體模態頻率Fig.4 The global modal frequencies of these three structures

圖4 中Bnth表示以梁第n階局部模態為主的整體模態;Pnth表示以塔第n階局部模態為主的整體模態.上圖表明,DM1#的整體模態由塔和梁的振動模態組成.在數值大于10 Hz 的高階模態中,DM1#整體模態頻率數值上分別與DM2#中梁的振動模態頻率和DM3#中塔的振動模態頻率相等,表明塔-梁振動模態間的耦合作用無法影響結構的高階整體模態頻率;而在低階整體模態中,三者模型的模態頻率數值上存在一定差異.為進一步研究,取圖4 中陰影部分的G1st～G9th階模態參數如圖5 所示.

圖5 G1st～G9th 結構的整體模態頻率變化曲線Fig.5 The trends of the structural global modal frequencies of G1st～G9th

圖5 中在G1st,G3rd,G4th,G5th,G7th和G8th階等低階反對稱整體模態中,DM1#與其他兩個模型得到的模態頻率存在較大誤差,且局部化程度系數顯示主塔振動模態參與了以主梁振動模態為主導的整體模態運動,使得該階整體模態由完全以主梁模態為主導的完全整體模態轉為塔-梁振動模態耦合的混合整體模態.而對于低階的對稱整體模態(如G2nd,G6th)、高階整體模態(G9th及以上),塔-梁模態耦合作用對結構整體模態沒有明顯影響,此時塔或梁的振動模態完全主導了該階整體模態.這表明,在考慮了主塔振動模態以后,斜拉橋等塔-索-梁耦合結構的整體模態可以進一步被細分為完全整體模態和混合整體模態,其細分流程如圖6所示.

圖6 斜拉橋面內固有振動模態的細分流程Fig.6 The reduced process of the in-plane natural vibration modes of cable-stayed bridges

上述研究結果表明,主塔振動模態參與度決定了結構整體模態的動力特性,在斜拉橋這類塔-索-梁耦合模型中,考慮主塔振動模態對研究因局部-整體模態耦合激勵產生的內共振現象具有重要意義.

3 斜拉橋1:1 內共振分析

3.1 模態翻轉與1:1 內共振動力特性

為排除起振閾值影響以更清晰觀測內共振響應變化規律[6],本文以“1:1”內共振為主要研究對象.在考慮拉索前2 階振動模態的基礎上,從純數值角度變化斜拉索索力與垂度參數,匯總結構第5 階固有振動頻率(N5th)至結構第9 階固有振動頻率(N9th)變化規律如圖7 所示.

圖7 結構N5th～N9th 整體模態頻率隨C1#的垂度與索力變化曲線Fig.7 The trends of the global modal frequencies from N5th to N9th with the sag and force of C1#

圖7 中,隨著C1#垂度及索力參數變化,當結構局部模態頻率臨近某一階結構整體模態頻率時,兩者模態振型發生了快速且連續的交換(Veering 現象[1]).此時局部-整體模態間發生耦合,結構能量在拉索與系統內其他構件間進行周期性地轉換,容易激勵產生1:1 內共振.研究表明,內共振完全由系統非線性特性決定[35].為進一步研究這種現象并驗證本文結構的非線性動力特性,引入系數σci表示Ci#拉索局部頻率(ωci)增量,Θci(n)表示Ci#拉索局部模態頻率與結構第n階整體模態頻率(ωG(n))的靠近程度[24,31]

采用4～5 階Runge-Kutta 積分方法對式(38)～式(40)進行數值仿真.為清晰展示系統構件在達到穩態后一個振動周期內的動力特性,提高仿真效率,本文的數值仿真過程設定固定步長為0.001 s,迭代時間為100 s.在塔頂(P1#)、梁小里程端點(B1#)附近同時設置了0.02 m 的初始位移,改變σci至分別與第G6th與G8th模態頻率滿足“1:1”比例關系.由圖5 可知,G6th為以主梁模態為主導的整體模態,而G8th為以主塔模態為主導的混合模態.對獲取的拉索振動響應曲線進行快速傅里葉分析(FFT),匯總拉索中點振動響應及對應頻譜圖如圖8 所示.

圖8 局部-整體模態耦合激勵產生“1:1”內共振現象Fig.8 The phenomenon of the 1:1 internal resonance excited by the local-global modal interactions

圖8(a) 與圖8(b) 顯示,C1#分別與G6th和G8th整體模態“1:1”耦合并產生了“拍”特性明顯的內共振.這表明,拉索局部模態與HGM 和EGM (定義見圖6)兩者“1:1”耦合都可以激勵拉索產生“1:1”內共振.而這樣“拍”特性明顯的內共振現象同樣驗證了本文推導方程及數值仿真方法可以有效進行非線性動力響應分析.

此外,對比圖8(a)與圖8(b)后可得,在同等的初始條件下,由兩種不同主導模態激勵產生的內共振響應的“拍”頻及幅值不同,表明拉索的內共振動力特性隨主導模態變化而變化.實際上在塔-索-梁耦合模型中,除局部-整體模態存在交換現象外,還存在主導模態間的交換現象.以表5 中DM1#和DM2#為例,變化主塔單位長度質量而使主梁構造參數保持不變,計算DM#中G7th模態參數如圖9 所示.

圖9 結構G7th 模態參數隨主塔單位長度質量變化規律Fig.9 The trend of the G7th-order modal property varied with the mass per unit length of the pylon

上圖顯示,隨著塔單位長度質量變化至6.72×103kg/m 附近,DM1#模型的G7th主導模態發生了快速且連續的交換,由以主梁模態為主導的HGM 變化為以主塔模態為主導的HGM,各構件的模態局部化程度系數也隨之發生變化.此時,DM1#模型中主導模態的變化將進一步影響拉索內共振響應的動力特性,其變化規律與圖8 中一致,在此不過多贅述.

3.2 HGM 耦合內共振的參與度分析

不同于以往EGM 耦合內共振的相關研究,在塔-索-梁耦合系統中,當某階HGM 與某根拉索的局部模態“1:1”耦合時,主塔和主梁的振動模態將同時參與“1:1”內共振.為研究以主梁模態為主導的HGM內共振動力特性,設定了1#研究工況.

1#研究工況(RC1#): 僅考慮拉索1 階模態,針對DM1 與DM2 模型,在主梁小里程樁號附近增加0.02 m 初始位移,改變σc1至分別與G7th,G9th模態頻率滿足“1:1”關系.

匯總RC1#工況條件下的C1#振動響應曲線如圖10 所示.

圖10 RC1#工況下拉索時程曲線Fig.10 The time histories of C1# under RC1#

圖10(a)和圖10(b)中,DM1#模型的G7th是以主梁振動模態為主的混合整體模態,主塔振動模態參與了整體模態運動,同時也影響了拉索的內共振動力特性.圖10(c)和圖10(d)中,G9th是完全以主梁振動模態為主的整體模態,此時DM1#與DM2#系統拉索的內共振時程曲線動力特性相同.為進一步明晰混合模態內共振時的能量傳遞路徑,采用無相位濾波法分離RC1#中C1#及其相連的塔段(P1#)和梁段(B2#)在主共振頻率附近的振動響應信號,匯總如表6所示.

表6 DM1#中發生G7th 和G9th 內共振時,C1#振動子系統構件在各自主共振頻率附近的分離響應信號Table 6 The separated signals around the main resonance frequency in the dynamic sub-system of C1# when the internal resonance of G7th-order or G9th-order occurring in DM1#

表6 中,前25 s 的分離信號存在濾波延遲,以后75 s 的濾波信號為研究對象.當C1#局部模態與G7th混合模態“1:1”耦合時,P1#,C1#和B2#在主共振頻率附近的響應信號此起彼伏、互相耦合,表明共振時能量在三者間來回轉換.當與G9th混合模態“1:1”耦合時,C1#與B2#的振動響應曲線互相耦合,而P1#與C1#的振動特性相同且其響應幅值與B2#存在數量級差異,表明P1#的振動響應僅來源于塔-索端點耦合而未參與內共振,此時系統能量在拉索與主梁間來回轉換.采用上述同樣的濾波方法,獲取在各自主共振頻率下運行時刻t1的結構振型如圖11 所示.

圖11 DM1#和DM2#模型在RC1#工況下主共振頻率對應的結構振動形態Fig.11 The structural dynamic configuration corresponding to the main resonance frequency in DM1# and DM2# under RC1#

圖11(a) 顯示,由主塔第3 階面內模態和主梁第5 階面內豎向模態共同構成的混合整體模態激發了塔-索-梁耦合內共振,此時主塔或主梁振動模態參與度系數Λp和Λb與原G7th的局部化程度系數誤差較小.而在圖11(b)～圖11(d)中,由主梁的第5 階或第6 階面內豎向模態為主的整體模態激發了索-梁耦合內共振,拉索與主梁間存在能量交換作用,而主塔未參與整體運動.為研究主塔振動模態對內共振的影響,設定了2#研究工況.

2#研究工況(RC2#): 針對DM1 與DM3 模型,在塔頂增加0.02 m 初始位移,改變σc1至分別與G8th,G11th模態頻率滿足“1:1”關系.

為簡化表達,匯總RC2#工況條件下的C1#振動響應曲線,及其在各自主共振頻率下運行時刻t1的結構振動形態分別如圖12 所示.

圖12 RC2#工況下C1#時程曲線與對應的結構振動形態Fig.12 The time histories of C1# and the corresponding the structural dynamic configuration under RC2#

圖12 結果再次驗證了在HGM 中,非主導的主梁振動模態將參與由主塔振動模態主導的內共振能量轉換,并將改變拉索內共振響應曲線的“拍”頻及振幅,此時各構件的整體模態局部化程度系數是重要的量化因素.

3.3 HGM 耦合內共振的影響性分析

為研究非主導的主梁振動模態在混合整體模態內共振下的影響效應,設定了3#研究工況.

3#研究工況(RC3#): 針對DM1 與DM2 模型,在主梁小里程樁號附近增加0.02 m 初始位移,分別改變σc1,σc2,σc3和σc4至與以主梁振動模態為主導的整體模態(G1th,G2th,G4th,G6th,G7th,G9th,G10th)頻率滿足1:1 比值關系.

拉索的振動響應曲線(Aci)能一定程度上反映內共振時拉索動能變化規律,定義分別表示在EGM 和HGM 模型中拉索振動響應的最大值.同時為盡量減少多自由度系統內復雜組合內共振引起的響應誤差,采用無相位濾波法分離各子工況下主共振頻率附近的拉索響應,匯總其響應振幅最大值曲線如圖13 所示.

圖13 DM1#和DM2#模型在RC3#工況下拉索主共振頻率附近的振幅最大值Fig.13 The maximum response of cables in DM1# and DM2# under RC3#

圖13 中,對于不同階次的整體模態內共振,DM1#模型中的拉索共振響應最大值與DM2#的計算結果存在較大差異,表明非主導的主塔振動模態參與并影響了HGM 模態內共振,其影響效應隨階次變化而不同.其中,對稱布置的C1#與C4#(或C2#和C3#)基礎構件參數、錨固位置對于整體模態振型有效質量相同,因此對稱索的各階振幅最大值曲線趨勢、誤差數值基本一致.對于同一側的C1#與C2#(或C3#與C4#)各階振幅最大值曲線變化趨勢相似度較高但差值不同,表明各階非主導主塔模態對于任意拉索內共振的影響效應類型一致,但影響效應大小隨拉索變化而變化.對于兩種模型計算C1#(圖13-A點) 或C4#(圖13-B點) 結果差值較大的G6th內共振,結合對應的響應與頻譜圖可得,DM1#中較長的C1#或C4#在整體模態激勵作用下發生了組合內共振,故而其主共振頻率附近的模態響應弱于DM2#計算結果.為研究非主導的主塔振動模態在混合整體模態內共振下的影響效應,設定了4#研究工況.

4#研究工況(RC4#): 針對DM1 與DM4 模型,在塔頂增加0.02 m 初始位移,分別改變σc1,σc2,σc3和σc4至與以主塔振動模態為主導的整體模態(G3rd,G5th,G8th,G11th)頻率滿足1:1 比值關系.

同樣采用無相位濾波法分離各子工況下主共振頻率附近的拉索響應,匯總其響應振幅最大值曲線如圖14 所示.

圖14 結果與圖13 結果規律基本一致,即非主導模態的影響效應隨階次變化而變化,且基本以DM3#模型的計算結果較大,表明在相同初始條件下,非主導構件模態的參與會減弱拉索的內共振響應,且對于各階的影響效應也隨拉索錨固位置與基礎參數的不同而不同.為了能更進一步明晰HGM內共振模式的影響效應,定義ηci(n)表示Ci#在第n階EGM(AciE)和HGM(AciH)兩者模型中振動響應最大值的誤差率,如下

ηci(n)＞ 0 表明非主導模態的影響效應為抑制作用,反之為激勵作用.為了對比EGM 和HGM 兩種模式內共振下的影響效應,匯總C1#和C2#在G1st～G11th中兩種模式的響應誤差率如圖15 所示.

圖15 同側拉索在兩類GM 下振動響應最大值的誤差率Fig.15 The error coefficient of same-side cables’ maximum response in these two GMs

圖15 中,除15(a)中的G6th外,EGM 模態下的影響系數數值上接近零,表明EGM 模態下的內共振響應不受非主導構件的振動模態影響,此時拉索模態與主導的主梁或主塔模態“1:1”耦合并激勵產生劇烈內共振.而在HGM 模態下,兩索的影響系數變化趨勢基本相同,且除G1st外基本表現為抑制作用,此時非主導模態參與了內共振并分走了一部分系統能量,所以拉索的內共振響應幅值隨之減小.

4 結論

本文基于離散的參數質量體系,考慮了塔-索、索-梁間的動態關系與斜拉索初始垂度、大位移振動引起的幾何非線性影響,建立了新的塔-索-梁耦合面內整體動力學模型.通過有限差分法代數轉換了參數體系動力平衡方程的偏微分多項式,采用模態拖拽法獲得了結構運動方程與模態函數,精細化分析了塔-梁模態耦合作用對整體模態的影響,首次提出了完全整體模態和混合整體模態兩種模式,考慮拉索一階模態并通過數值仿真開展了混合整體模態下的1:1 內共振影響性分析,得到結論如下.

(1)塔-梁模態耦合作用對本文結構的低階對稱及高階整體模態無影響作用,此時結構的整體模態完全由主塔或主梁振動模態主導,為完全整體模態;對結構的低階反對稱整體模態具有顯著影響,此時主塔以及主梁振動模態共同參與了該階整體模態,為混合整體模態.

(2)拉索局部模態與兩種整體模態“1:1”耦合都將激勵產生內共振,而主塔主導或主梁主導的兩種拉索內共振響應動力特性不同.在同一階混合整體模態下,當主導模態的局部化程度系數靠近非主導模態局部化程度系數時,該階整體模態的主導模態將出現快速且連續的交換,而拉索振動響應的動力特性也將隨之改變.

(3)構件的模態局部化程度系數是兩種模式內共振參與度的重要量化因素.在完全整體模態內共振中,非主導模態局部化程度系數接近0,因此系統能量轉換僅發生在拉索與主導模態間,非主導模態不參與內共振;而在混合整體模態內共振中,系統能量轉換發生在塔、索和梁局部模態間,主導與非主導模態的結構振型參與度與各自局部化程度系數一致.

(4)針對本文固結體系四索結構的內共振分析發現,由于各階整體模態能量總數恒定,混合整體模態內共振下非主導的結構模態參與了系統能量轉換并將改變拉索振動響應的動力特性,其影響效應隨整體模態階次與拉索構件參數變化而變化.

(5)本文建立的塔-索-梁耦合動力學模型為深入開展斜拉橋大系統非線性動力特性研究提供了一種可靠途徑,下一步將結合構件幾何參數、各階整體模態頻率和振型以更準確研究和定義模態能量,進而深入開展斜拉橋內共振的參數敏感性分析.

附錄A

式(31)中,vpr,vci,vbj,φpr(n),φci(n),φbj(n),qpr,qpr,qpr,fpi(xci),fpi(xci),fpi(xci)等皆為形式相同的列向量,為避免贅述,在此僅展示vpr

依據式(1)和拉索邊界條件,可得拉索的靜平衡線形為二次拋物線線形,其表達式為[19,24,26-27]

附錄B

式(38)～式(40)中,q相關參數表示為相同形式的R維、I維、J維的列向量,為避免贅述,僅取如下所示

除 Πpr,1,Πci,1和 Πbj,1外,其余 Π 相關參數矩陣表示為相同形式的R階、I階、J階的對角矩陣.為避免贅述,僅取Πpr,1,Πci,1和 Πbj,1如下所示

?ci為拉索的局部模態對角矩陣,其主元形式為

相關參數矩陣的主元具體形式如下所示

為簡化表達,定義Ppm,Ppm,n,γpi,γbi,μpi和μbi表達式分別為

Spr與Sbj,Dpr與Dbj,Cpr與Cbj形式相同,僅角標(p,r或b,j)不同,限于篇幅,在此僅展示Spr,Dpr,Cpr為

塔的重力影響矩陣Gpr為