基于可控域的定點返回軌道全局敏感性分析

王 奇, 陸 林, 李海陽,*, 楊路易

(1. 國防科技大學空天科學學院, 湖南 長沙 410073;2. 空天任務智能規劃與仿真湖南省重點實驗室, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

月球作為距離地球最近的天體,是人類進行深空探測的重要中轉站[1-2]。近年來,隨著航天探測技術的不斷進步,月球的應用價值和開發潛力逐步顯現,世界各主要航天國家紛紛將下一步的航天目標投向月球[3-4],其中包括“阿爾忒彌斯”計劃[5]、“嫦娥工程”計劃[6-8]等。新一輪探月熱潮將主要目標集中在載人月球探測,并最終進行月球基地的建設[9]。在任務過程中,對于從月球返回地球的航天器,不僅需要確保航天員可以安全返回地球,同時為了最小化回收資源,以便對航天員進行快速搜救、開展航天器回收工作,客觀上要求航天器可以準確地返回指定的著陸場。由于定點返回軌道涉及到較多的約束參數,并且各參數之間的影響程度各不相同,這對定點返回軌道的進一步認識和理解帶來了困難。因此,針對定點返回軌道的相關參數進行深入的參數敏感性分析對于未來的月球探測任務具有重要意義。

參數敏感性分析是一種基于數學統計來研究數學模型的方法,通過對系統數學模型進行研究,可用于確定系統的各個不確定性輸入對模型不確定性輸出的影響程度[10-11],廣泛運用于水文過程模擬[12]、材料結構分析[13]、風險評估[14]等領域。運用參數敏感性分析方法可以進一步對定點返回軌道的參數敏感性特性進行分析,確定對返回軌道影響較高的參數,從而為后續的軌道優化設計提供參考。

目前,已有諸多學者對月地返回軌道問題進行了研究,文獻[15]基于雙二體假設動力學模型,對月地返回軌道特性進行了一定程度的分析。文獻[16]利用非線性規劃算法優化求解了不同機動方案的月球逃逸軌道。文獻[17]結合三體問題模型,運用蘭伯特算法求解了航天器在環月飛行階段的返回問題。文獻[18]針對月地返回飛行任務,提出了一種雙重優化算法的兩層串行求解策略。文獻[19]提出了一種利用單脈沖和三脈沖機動方案構造月地返回軌道的方法。文獻[20]針對返回近地空間站的月地轉移軌道優化問題,提出了一種基于改進的多圓錐曲線的高精度軌道設計方法。文獻[21]在考慮滿足給定約束條件的情況下,通過一種返回軌跡的構建算法構建了從月球返回地球大氣層再入點的單脈沖和三脈沖軌道機動方案。上述研究大多基于一般月地轉移軌道,在定點返回軌道的研究方面。文獻[22]采用多起點算法對單脈沖定點返回軌道進行了優化求解,但搜索近乎遍歷,效率不高。文獻[23]針對載人月球極地探測任務,對定點返回軌道優化設計問題進行了研究。文獻[24]提出了一種解析方法來快速生成單脈沖定點返回軌道的初始解。文獻[25]針對三脈沖返回軌道方案,提出了一種從初步計算到精確計算的串行求解策略。文獻[26]基于單脈沖月地返回軌道的可達域分析,推導了返回軌道存在性判據,并給出了單脈沖定點返回軌道的多層快速迭代設計方法。上述研究針對定點返回軌道的設計方法和軌道參數相關特性進行了分析,但尚未對定點返回軌道的可控域問題進行深入的研究。

定點返回軌道可控域表征了可行解的空間范圍,可作為可達域問題[27]的逆問題進行求解,相關結果可直接用于相關的空間任務分析和設計。對于地月空間的可達域問題,文獻[28]提出了精確可控域數值延拓方法,系統研究了載人登月各階段軌道的可達域問題。文獻[29]對從地月南向近直線暈軌道出發的載人奔月軌道到達月面的可達域特性進行了分析。文獻[26]基于近月偽參數對一般月地返回軌道的可達域進行了分析,但未進一步分析定點返回軌道的可達域。可以看出,目前關于可達域問題的研究較多,而較少有針對可控域問題進行研究。由于近月點參數的可控域直接決定了定點回軌道的可行解范圍,因此直接基于定點返回軌道的可控域進行參數敏感性分析,可以得出在可行的空間范圍內各參數之間的影響程度。同時,目前關于區間的全局敏感性分析方法大多基于空間采樣進行計算,而定點返回軌道的可控域為在約束條件下的有限區間范圍,直接采用空間采樣方法會對結果造成較大的誤差,因此需要進一步發展一種針對可控域的敏感性分析方法,從而更準確的反映出可控域范圍內的參數敏感性特性。

基于上述考慮,本文針對給定約束條件下的定點返回軌道,具體分析了近月點參數的可控域分布范圍。并在定點返回軌道可控域分析的基礎上,以參數可控域集合點為初始計算點,提出了一種基于可控域的參數敏感性分析方法。在仿真分析中,給出了定點返回軌道近月點參數的可控域分布規律,并基于提出的可控域敏感性分析方法,詳細分析了在可控域空間范圍內各主要參數間的影響程度,給出了各參數間的敏感性大小順序。本文的相關研究結果可幫助工程人員進一步了解定點返回軌道的相關特性,同時也可為進一步的定點返回軌道的優化設計提供參考。

1 問題描述

對于定點返回軌道,還需要同時滿足工程約束和軌道約束,其中月地返回軌道的終端特征點如圖1所示, 圖中A為返回軌道升交點,R為再入點,V為真空近地點,I為月球反垂點,S為著陸點。

圖1 月地返回軌道終端特征點

軌道約束主要包括出發環月軌道約束、地球終端約束和返回窗口約束,環月軌道約束主要為環月軌道高度約束。

(1)

(2)

(3)

(4)

地球終端約束需要滿足著陸點位置要求:

(5)

(6)

2 基于可控域的全局參數敏感性分析方法

2.1 可控域計算模型

可達域通常指在如式(7)的動力學系統中,t∈[t0,tf]系統連續,給定t0時刻初始狀態x(t0)∈Θn,存在控制量u(t)=Um,使得tf時刻終端狀態x(tf)∈Πn,則稱集合Πn為初始狀態集合Θn對應的可達域。

(7)

式中:(·)為對時間進行微分;y(t)為t時刻的狀態。在有些情況下,終端狀態可達域并不直觀,也不是所有參數都需要關注,轉而求解對應的可達域Yk。在本文所研究的定點返回軌道,其可控域是在給定返回軌道終端約束的情況下,由初始時刻的近月點軌道參數組成的多維參數集,實際上是上述可達域問題的逆問題。飛行器在tf時刻的約束為

(8)

則飛行器在t0時刻的參數可控域可以用一般化的數學描述為

(9)

在實際中對定點返回軌道進行分析設計時,主要關注近月點的設計參數在初始時刻的分布范圍,其對應的可控域可以表示為

(10)

在可控域計算中,首先給定返回時刻以及約束條件,然后對返回窗口進行判斷,若當前時刻滿足定點返回軌道窗口約束,則遍歷近月點偽參數,通過圓錐曲線拼接法對定點返回軌道進行求解,得到轉移軌道的終端參數,然后判斷該軌道是否滿足當前時刻的約束條件,若滿足定點返回軌道要求,則輸出近月點參數以及對應的轉移軌道參數,若不滿足則選擇下一組近月點參數進行計算,直至近月點參數遍歷完成。計算可控域的流程圖如圖2所示。

圖2 可控域計算流程圖

2.2 全局參數敏感性計算方法

對于本文的定點返回軌道問題,可將計算模型在數學上描述為一個函數映射:

Y=Y(X1,X2,…,Xd)=Y(X)

(11)

式中:X=[X1,X2,…,Xd]為用向量表示的模型輸入參數;d為輸入參數數目;Y為模型的輸出參數,可表示為

Y=[Y1,Y2,…,Ym]

(12)

式中:m為輸出參數的數目。在文本研究的定點返回軌道問題中,X為近月點偽參數,Y則為轉移軌道的終端參數。目前,常用的敏感性分析方法通常分為局部敏感性分析方法[30]和全局敏感性分析方法[31],對于本文所研究的可控域敏感性問題,局部敏感性只能反映局部點處的敏感性信息,無法在區域范圍內對各參數的敏感性進行綜合分析。因此,需要使用全局敏感性分析方法對可控域內的參數集合點進行敏感性分析。

Saltelli在基于方差的全局敏感性分析基礎上提出了一種蒙特卡羅計算方法[32],該方法只需要對樣本點進行單層抽樣,假設采樣次數為N,參數數目為d。該方法首先在參數空間范圍內進行采樣生成兩個初始分析矩陣A和B,然后通過矩陣間的變換總計得到N+2d個計算輸入矩陣,再將上述矩陣代入到蒙特卡羅計算公式中,可得到各參數的敏感性結果。但通常計算得到的定點返回軌道的可控域結果為限制在空間某一范圍中的結果,若采用上述方法在整個空間范圍內進行采樣會產生很多非可控域內的參數集合點。以三參數的可控域范圍為例,如圖3(a)所示,可以看出在使用采樣方法采樣時,會在空間立方體中生成一系列采樣點。該立方體中除了可控域集合中的狀態點,還包含了許多非可控域內的狀態點,在敏感性計算中仍使用空間中生成的序列采樣點進行計算會對結果產生較大的誤差。由于在計算可控域的過程中已經計算出一組參數集合點,該集合點在該區域內為近似均勻分布,同時在計算定點返回軌道中的等式約束一般是限制在允許的誤差范圍內,在可控域集合點附近加上微小擾動仍存在滿足定點返回軌道要求的集合點。因此,可以在原有的可控域集合點施加小擾動變量生成另一組可控域集合點,如圖3(b)所示。這樣將這兩組可控域集合點作為初始分析矩陣進行全局敏感性分析得到的結果仍然是限制在可控域范圍內的敏感性結果,可以較為準確的反映在可行解范圍內參數的敏感性。

圖3 空間采樣點與可控域集合點關系圖

基于上述考慮,針對定點返回軌道的可控域問題,結合Saltelli的蒙特卡羅方法,提出一種基于可控域的全局敏感性分析方法,該方法的基本計算步驟如下。

(1) 首先通過模型計算得到滿足要求的近月點參數可控域集合A:

(13)

(14)

(15)

(3) 將上述d+2個樣本矩陣代入計算模型中,可得到d+2個輸出矩陣:

(16)

式中:A(j)(j=1,2,…,N)表示矩陣A的第j行,其余各項定義類似。

(4) 選擇輸出參數Yl(l=1,2,…,m),將上述結果代入到蒙特卡羅計算公式中計算各階方差:

(17)

(18)

(19)

式中:YA(l)表示矩陣YA中對應Yl的輸出結果向量;X～i表示除了參數Xi之外的其他參數;X～ij表示除了Xi和Xj之外的其他參數。總方差為

(20)

然后通過敏感性指標可以計算出各階敏感性系數:

(21)

(22)

(23)

式中:V(·)表示方差;E(·)表示期望;Si為一階敏感性指數,表示單一模型參數對模型輸出的影響;Sij為二階敏感性指數,表示兩個模型參數的組合對模型輸出的影響;STi為全局敏感性指數,表征的是所有包括第i個模型參數在內的參數組合對于模型輸出的影響。上述敏感性系數在計算時基于已有的可控域集合點,不需要進行額外的采樣點生成,因此敏感性結果可以較為準確的反映在定點返回軌道可行解范圍內各參數之間的敏感性信息。

3 仿真分析

3.1 可控域計算

在仿真分析中,為統計不同返回時刻下的定點返回軌道可控域分布的一般規律,分別選取近月點時刻為T1: 2029-2-10 08:53:12.522 37、T2: 2029-5-2 01:34:52.328 033、T3: 2029-08-21 22:44:19.936 099,著陸場位置為(100°E,41°N),近月點高度為100 km,返回再入角-6°,返回時間不超過3.5天,返回軌道采用降軌出發,升軌到達方式。在計算中遍歷近月點偽經緯度,最終計算得到的可控域結果。為驗證本文方法計算得到的可控域的準確性,首先選擇T1時刻,然后將本文計算得到的可控域與采用多圓錐截線法[26]計算得到的可控域進行對比,結果如圖4所示。

圖4 不同計算方法得到的可控域范圍

圖4中,圖4(a)為兩個可控域范圍的對比圖,圖4(b)表示由多圓錐截線法計算得到的可控域范圍,圖4(c)表示由圓錐曲線拼接法得到的可控域范圍。從兩個圖的比較分析中可以看出,由兩種方法計算得到的可控域范圍基本一致,本文的計算方法可較為準確地反映定點返回軌道的可控域范圍,因此繼續采用本文方法進行后續的計算。進一步比較不同時刻下定點返回軌道的可控域分布范圍,結果如圖5所示。

圖5 近月點偽經緯度可控域

從圖5中結果可以看出,對于不同返回時刻下的定點返回軌道,滿足定點返回條件的近月點偽經緯度可控域分布均較為連續,且可控域分布的范圍和形狀均比較相似,偽經度范圍約在-30°～40°,偽緯度范圍在-50°～30°。由于不同定點返回軌道間近月點參數可控域的相似性,因此在本文后續的分析中,只選取時刻T1下的定點返回軌道進行分析。

圖6所示為T1時刻下近月點偏心率和速度傾角與近月點偽經緯度間的關系。從圖6可以看出,T1時刻下的定點返回軌道的偽參數近似分布在一連續的區域范圍內,具體分布范圍如表1所示。表1中,αmin表示參數區間范圍下限,αmax表示參數區間范圍上限,Δα為參數區間范圍。偏心率和傾角的范圍均和偽經緯度的位置有關,偏心率的大小分布在1.3～2,且偏心率的大小大致隨著近月點偽經度的增加而減小。近月點速度傾角的范圍分布在160°～240°,與偏心率不同,速度傾角的大小受近月點偽緯度的影響較大,其大小近似隨著偽緯度的增加而減小。

表1 近月點參數可控域區間范圍

圖6 近月點偏心率與速度傾角范圍

3.2 參數敏感性分析

由上述可控域分析已知在給定約束條件下的定點返回軌道偽參數的可控域范圍區間,為進一步判斷近月點參數對定點返回軌道終端參數具體的影響程度,在此基礎上使用本文提出的基于可控域的參數敏感性分析方法對定點返回軌道的參數進行敏感性分析。

在參數敏感性分析中,輸入參數為4個偽參數設計變量,輸出參數選擇工程中的主要關注參數,分別為再入點經度、再入點緯度、返回時間、返回軌道傾角以及真空近地點高度。在進行參數敏感性分析前,首先進行誤差收斂性判斷以確定k的取值大小。不同的k值下,計算得到再入點經度誤差限的結果如圖7所示,本文收斂誤差限取值為2°,圖中所示結果即為計算得到的約束誤差除以收斂誤差限后的結果,當誤差限小于1即認為滿足約束要求。從圖中可以看出,當k值取值較大時,有較多的集合點不滿足約束參數的收斂要求,隨著k取值的減小,落在誤差限內的集合點數目逐漸增加。進一步統計滿足定點返回軌道所有約束的集合點個數,如圖8所示,當k=10-7時,滿足約束的集合點個數為2 813(集合點總數為2 839),達到了99.1%,此時可認為矩陣B中的集合點已基本滿足定點返回軌道約束要求。

圖7 不同k值下集合點收斂情況

圖8 符合約束要求的集合點總數隨k值變化情況

進一步分析在不同k值下參數敏感性分析結果的變化情況,如圖9所示。圖9中結果為近月點經度對再入點經度的敏感性結果,從圖中可以看出,當k取值較大時,參數敏感性計算結果不穩定,出現較大的變化幅度。而隨著k取值減小,參數敏感性的計算結果逐漸穩定,當k取值為10-7時,參數敏感性計算結果為0.223 225,相比于k取值為10-9的計算結果0.223 240 25變化幅度僅為0.030 6%,當k值小于10-7時,k的取值對參數敏感性結果影響很小,因此在本文中取k=10-7進行后續的分析計算。

圖9 不同k值下的敏感性系數結果

近月點偽參數的可控域范圍通過上述計算已知,然后在計算得到的偽參數可控域矩陣A基礎上通過比例因子k生成矩陣B,接著通過上述兩個矩陣進行參數敏感性分析可得到近月點參數對轉移軌道終端參數的敏感性指標。由于在可控域范圍內,每個可行狀態點的變化往往伴隨著多個參數的改變,需要考慮各參數在整個可控域內與各參數相互作用下對結果的綜合影響,因此主要統計各參數的全局敏感性系數即STi,得到的結果如圖10所示。

圖10 全局參數敏感性分析結果柱狀圖

從圖10的敏感性分析結果可以看出,通過敏感性分析可以具體地區別出各參數對輸出結果的敏感性大小,從而判斷不同參數間的影響程度。對于不同的輸出參數,近月點參數的敏感性大小也各不相同,具體敏感性結果如表2所示。從表2中可以看出,對于所選的輸出參數來說,近月點偏心率均為最敏感的參數,說明在4個偽參數設計變量中偏心率對定點返回軌道的轉移終端參數最為敏感,因此在對定點返回軌道進行進一步優化和調整時需要主要考慮偏心率對結果的影響。此外,從表2中也可以看出,在輸出參數的低敏感性參數中,除返回軌道傾角的低敏感性參數為近月點速度傾角外,其余參數的低敏感性參數均為近月點偽緯度。因此,從整體上看近月點偽緯度對定點返回軌道的終端參數影響較低,在對定點返回軌道進行進一步優化和調整時可降低對近月點偽緯度調整的優先級。

表2 參數敏感性排序

4 結 論

本文針對月球探測任務中的定點返回軌道,對給定約束條件下的近月點參數可控域進行了分析,并在此基礎上提出了一種基于可控域的參數敏感性分析方法。在可控域分析中,給出了不同時刻下的定點返回軌道的近月點參數可控域范圍,以此給出了定點返回軌道可控域分布范圍的一般規律。在計算得到近月點參數可控域的基礎上,具體分析了在定點返回軌道可行解范圍內的近月點參數對軌道終端參數的影響程度,給出了參數的全局敏感性指標以及參數間組合的敏感性指標。在實際的軌道設計任務中,可根據求得的參數敏感性結果,對于高敏感性參數需要精確求解范圍或者提高權重比,對于低敏感性參數則可縮小其搜索范圍或者固定為常量。同時,上述結果為二體條件下的計算結果,因此相關敏感性分析可作為進一步高精度求解的初始判斷條件,從而提高求解效率。本文的相關研究結果可為未來的載人月球探測任務提供重要參考。