基于反步自適應分數階PID的四旋翼控制

嚴云龍，姜文剛

（江蘇科技大學 自動化學院，江蘇 鎮江 212100）

0 引言

四旋翼無人機是一種典型的欠驅動、強耦合的非線性系統，其結構相對簡單、生產成本較低，在飛行過程中可以垂直起降，靈活改變姿態，并在固定位置懸停，因而在遙感、交通監測、救災、環境監測、科研等領域發揮著越來越重要的作用［1-4］。

目前，四旋翼無人機的軌跡控制方法主要包括線性控制和非線性控制兩種。PID（Proportion Integration Differentiation）控制［5］和LQ（Linear Quadratic ）控制［6］是兩種結構簡單的線性控制技術，然而這兩種方法均需為四旋翼無人機系統提供高精度物理模型，當系統受到未知動力學的擾動時，其在軌跡控制方面的魯棒性不盡如人意。反步控制［7］和反饋線性化［8］等非線性控制技術可以解決四旋翼無人機系統中固有的非線性和強耦合問題。然而當受控系統中存在不確定特性的干擾時，以上控制技術的性能得不到保證。為提高受到擾動時控制方法的魯棒性，研究人員對PID 等線性控制策略進行了改進。例如文獻［9］使用粒子群優化算法得到量化因子與比例因子，然后通過模糊化與反模糊處理動態調節權重因子，從而強化PID 的抗干擾能力。同時研究者們也提出大量非線性控制策略，包括魯棒控制［10］、自適應控制［11］、神經網絡控制［12］、滑模控制［13］、混合控制［14］等。

為解決復雜環境風干擾情況下的四旋翼控制問題，本文將反步控制理論、自適應控制理論與分數階PID 控制理論相結合，設計了一種內外環采用不同控制策略的雙閉環控制器，并通過仿真比較實驗驗證了其控制性能。

1 四旋翼無人機動力學模型

四旋翼無人機結構簡單，主流形態為X 型，具體如圖1所示。4 個電機是四旋翼無人機最重要的部分，飛行器通過4 個電機控制每個旋翼的轉速以實現不同類型的運動。建立飛行器的動力學模型方程首先需要建立相應的參考坐標系［15］，分別為地面坐標系E0（O0，X0，Y0，Z0）和機體坐標系E（O，X，Y，Z），其中地面坐標系用于確定無人機的位置信息，機體坐標系用于衡量無人機的姿態。

Fig.1 Structure of quadcopter unmanned aerial vehicle圖1 四旋翼無人機結構

為建立科學而不過于復雜的四旋翼無人機數學模型，本文作出以下假設［16-17］：①四旋翼無人機為對稱的剛體結構，機體坐標系的原點與機身質心重合；②不考慮四旋翼槳葉的彈性形變，四旋翼質心位置不受陀螺效應的影響；③飛行過程中所受空氣阻力和重力不受飛行姿態的影響。

結合牛頓第二定律以及歐拉方程，建立如式（1）所示的四旋翼無人機數學模型：

式中：Ix、Iy、Iz分別為無人機繞X、Y、Z 軸的轉動慣量；kx、ky、kz分別為無人機在飛行時的位置空氣阻力系數；kΦ、kθ、kΨ分別為無人機在飛行時的姿態空氣阻力系數；U1、U2、U3、U4為無人機的控制輸入；di(i=1，2，3)為無人機飛行時各個坐標軸所受到的外界氣流干擾。

2 控制方案

2.1 四旋翼控制系統結構

傳統整數階PID 控制算法僅為分數階PID 的一種特殊情況，因此理論上分數階PID 控制會有更高的上限。將整個飛行器控制系統分為內、外環兩個回路，其中參照地面坐標系的位置控制作為外環路，以機體坐標系為基準的飛行器姿態控制作為內環路。然而兩個賄賂參數都是固定的，無法響應外界干擾，又因四旋翼的姿態對其速度與方向有重大影響，故本文在內環采用反步自適應控制器，外環采用不完全微分的分數階PID 控制器。基于改進反步自適應分數階PID 的四旋翼無人機控制系統結構如圖2 所示，其 中xd、yd、zd、Φd、θd、Ψd為期望的位置與姿態角，x、y、z、Φ、θ、Ψ 為實際的位置與姿態角，U1、U2、U3、U4為控制輸入量。

Fig.2 Four rotor UAV control system structure圖2 四旋翼無人機控制系統結構

四旋翼無人機的非線性動力學方程可改寫為狀態方程的形式。表示為：

令Ux、Uy、Uz分別為四旋翼無人機在X、Y、Z 軸方向上的控制力，由式（1）可知，Ux、Uy、Uz與控制輸入U1以及姿態角Φ、θ、Ψ的關系可表示為：

根據式（3）可以計算出U1與期望姿態角θd、Ψd。表示為：

2.2 外環分數階PID控制器

分數階微積分表達式為：

式中：m 和n 分別為分數階微積分中積分的上限和下限；x 表示階次可取任意實數，如果x 取整數，即表示整數階微積分，反之則表示分數階微積分。若x 大于0，nDm x表示微分，反之則代表積分。

本文采用Caputo 的分數階微積分定義用于分數階PID的算子［18］。具體表達式為：

式中：m-1 ＜a ＜m，m∈N。

傳統整數階PID 控制需要對比例、積分、微分3 個環節的參數進行整定，從而實現系統控制目標。分數階PID 控制相較整數階PID 控制拓寬了積分與微分環節的階次范圍，即增加了λ與μ兩個控制參數，這意味著分數階PID 控制有更廣的控制范圍，性能上限也更高。傳統PID 控制引入微分信號雖然可以改善系統的動態性能，但也可能增強干擾的影響，尤其是環境風具有不確定性與突發性。因此，本文在分數階PID 的微分環節增加一個低通濾波器，以降低階躍信號帶來的抖動影響，同時通過前饋控制器補償擾動。改進后的分數階PID 結構如圖3所示。

Fig.3 Improved fractional PID structure圖3 改進后的分數階PID結構

在四旋翼無人機控制系統中，外環部分控制飛行器到達預定位置或沿預先設計的軌道飛行。在得到輸入指令后，外環部分計算出預期姿態角，由內環姿態控制器追蹤期望姿態角得出實際姿態角，從而實現位置追蹤。改進的分數階PID 控制器輸出為：

式中：Kpm、Kdm、Kim（m取x、y、z）分別為各個坐標軸通道的比例、微分、積分參數；λ、μ分別為分數階PID 的積分階次與微分階次；Tf為濾波器參數；Um(s)、Em(s)、Rm(s)、Gm(s)（m取x、y、z）分別為各個坐標軸通道的控制量、輸入與輸出誤差、輸入量以及系統傳遞函數。

2.3 內環反步自適應控制器

定 義Xd=[Φd、θd、Ψd]T為期望姿態角向量，X=[?、θ、ψ]T為實際姿態角向量，E1=Xd-X為姿態誤差向量。由式（2）可得：

根據Lyapunov 穩定性理論，選取正定的Lyapunov 函數V1。表示為：

對式（9）求導，得：

定義速度跟蹤誤差為：

式中：K1=[k1，k3，k5]T，k1、k3、k5 均為大于0 的常數。由此構造二階Lyapunov 函數V2，可得：

對式（12）求導，得：

將式（14）代入式（13）中，得：

定義新的Lyapunov 函數V3為：

式中：λ為常數向量，λ=［λ1，λ2，λ3］T。

對式（16）求導，得：

2.4 外界自然風干擾模型

四旋翼無人機易受外氣流干擾，最常見的氣流為自然風。自然風具有突發性、持續性、周期性和不確定性等特點，需要考慮多種情況。參考文獻［17］中介紹的包含基本風、漸變風、隨機風的風場，建立其對四旋翼無人機的干擾模型。

基本風表示為：

漸變風表示為：

隨機風表示為：

式中：v為基本風的風速，vmax為漸變風的瞬時最大風速，vmax2為隨機風的瞬時最大風速，ωn分別為?、θ、ψ。

綜合上述3 種風帶來的干擾可以模擬四旋翼無人機在面對自然風時沿各個坐標軸方向所受的干擾量。以X軸為例：

假設基本風速a=2 m/s；漸變風于t0=2 s，t1=4 s，t2=6 s 時刻發生變化，漸變風最大風速為1.5 m/s；隨機風的峰值速度為3 m/s，其具體仿真效果如圖4所示。

Fig.4 Interference of ambient wind on X-axis of quadrotor UAV圖4 環境風對四旋翼無人機x軸的干擾

3 仿真實驗與結果分析

對本文所提控制法與傳統PID 控制法、反步自適應控制法進行性能比較。在MATLAB/Simulink 環境下分別搭建采用以上3 種控制器的四旋翼無人機系統模型，具體參數如表1 所示。通過仿真實驗比較3 種控制策略在四旋翼無人機受到風場擾動時的控制效果。

Table 1 Parameter settings of quadrotor UAV表1 四旋翼無人機參數設置

設定起始位置為地面坐標系E0的原點，各姿態角初始值均為0。參考文獻［11］與文獻［14］，再結合不斷仿真調試優化，最終反步自適應分數階PID 控制器的參數設置如表2 所示。作為對照的傳統PID 控制器與反步自適應控制器參數設置參照文獻［11］與文獻［14］。

Table 2 Parameter settings of controller表2 控制器參數設置

設定四旋翼無人機預期位置為x=10 m，y=10 m，z=10 m，ψ=0.2 rad。首先忽略漸變風與隨機風的影響，僅考慮基本風，則傳統整數階PID 控制器、反步自適應控制器以及本文設計的改進反步自適應分數階PID 控制器對四旋翼無人機的控制效果如圖5 所示。可以看出，傳統整數階PID 控制器在基本風干擾下雖然可以在有限時間內使飛行器達到預定值，但其調節時間較長且出現超調量，具有對外界干擾缺乏抵抗能力的缺點；反步自適應控制器與本文設計的反步自適應分數階PID 控制器在該場景下均能有效抑制外界干擾，實現四旋翼無人機對預定軌跡的準確跟蹤，但本文設計的控制算法所需調節時間更短、性能更佳。

Fig.5 Control effect under basic wind圖5 基本風下的控制效果

在復雜環境風干擾下進行仿真，PID、反步自適應以及本文設計的反步自適應分數階PID 算法對四旋翼無人機的控制效果如圖6所示。

Fig.6 Control effect under complicated ambient wind圖6 復雜環境風下的控制效果

可以看出，傳統整數階PID 控制在面對環境風之類復雜多變的干擾時控制效果進一步下降，所需調節時間更長的同時超調量波動也更大，反映了傳統PID 控制易受外界干擾影響的缺點；反步自適應算法控制下的四旋翼無人機在環境風干擾下也能相對準確地追蹤預定軌跡，但仍存在一定的穩態誤差；本文設計的反步自適應分數階PID 算法結合了上述兩種算法的優點，在快速性、準確性、穩定性3個方面均優于傳統PID 算法與反步自適應算法。

圖7、圖8、圖9 分別展示了環境風干擾下本文控制算法、反步自適應算法、傳統整數階PID 算法的姿態控制效果。可以看出，傳統整數階PID 算法控制下的飛行器能基本響應姿態解算模塊解得的預定姿態角，但當預定姿態角發生劇烈變化時控制器難以快速響應，從而影響無人機的實際軌跡，控制效果不理想；采用反步自適應算法的姿態變化曲線相較采用傳統整數階PID 算法更貼合預定變化曲線，且到達穩定狀態用時更短，表明其響應速度與準確度均有所提高；采用本文算法控制的四旋翼無人機相較于反步自適應控制再次提高了跟蹤精度且縮短了響應時間，即使預定姿態角發生劇烈變化也能及時調整。原因在于傳統整數階PID 控制是典型的線性控制器，面對復雜環境風的干擾下魯棒性不足，超調量與調節時間遠遠超過其余兩種控制器；反步自適應控制有效提高了系統的魯棒性，降低了超調量，但在接近預期值時速度會顯著降低；本文設計的反步自適應分數階PID 控制保留了反步自適應控制的優點，加入改進后的分數階PID 控制，通過低通濾波器減少高頻擾動的干擾，同時引入前饋補償提高了系統的跟蹤性能，效率與準確率均有所提升。

Fig.7 Attitude tracking results of the proposed controller圖7 本文控制器姿態追蹤結果

Fig.8 Attitude tracking results of backstep adaptive controller圖8 反步自適應控制器姿態追蹤結果

Fig.9 Attitude tracking results of traditional integer order PID control algorithm圖9 傳統整數階PID控制器姿態追蹤結果

根據仿真結果分別計算3 種控制策略的平方誤差積分值（Square Error Integral，SEI），結果見表3。疊加不同算法各個坐標軸的SEI 值進行分析，可得本文控制器的SEI值較反步自適應控制器降低約27%，較傳統PID 控制器降低約53%，證明改進后的反步自適應分數階PID 控制法可使四旋翼無人機快速、平穩地抵達預期位置。

Table 3 SEI values of 3 control strategies表3 3種控制策略的SEI值

4 結語

本文對四旋翼無人機的飛行原理以及模型進行分析，以反步控制理論、自適應控制理論、PID 控制理論為基礎提出一種對四旋翼無人機內外環分別采用反步自適應控制、改進分數階PID 控制的策略，并通過仿真實驗證實了改進控制策略對無人機姿態的追蹤性能突出，具有魯棒性強、響應速度快、準確性高等優點。然而本文提出的控制策略仍存在以下待改進之處：①忽略了陀螺效應對四旋翼無人機的影響，雖然降低了建模復雜度，但也因此使無人機的建模狀態與實際工作狀態產生偏差，未來需要考慮陀螺效應；②參數整定更多依賴經驗，無法最優化算法性能，未來可通過神經網絡等智能手段獲取更優秀的參數；③理想適用范圍存在局限，可考慮引入動態調節的特性擴大該控制算法的理想適用范圍。