談談求解橢圓焦半徑問題的路徑

余玉嬌

焦半徑是指圓錐曲線的焦點與曲線上一點的連線.橢圓的焦半徑問題側重于考查橢圓的定義、方程、幾何性質，以及焦半徑公式、弦長公式.解答這類問題，往往要用到數形結合思想、方程思想、函數思想.下面以一道題為例，來探討一下如何求解橢圓的焦半徑問題.

例題：已知點[F]是橢圓[x2a2+y2b2=1]的右焦點，過點[F]的直線交橢圓于[A，B]兩點，試判斷[1AF+1BF]是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

可根據題意畫出如圖所示的圖形，這樣便能快速明確各個點、曲線、直線之間的位置關系，結合圖形尋找到一些幾何關系，據此建立關系式.主要有以下幾種求解思路.

一、利用正余弦定理

在解答橢圓的焦半徑問題時，可將焦點看作幾何圖形中有特殊意義的點，將焦半徑看作三角形、梯形、平行四邊形的一條邊，根據幾何圖形的性質建立幾何關系.然后構造三角形，利用正余弦定理、勾股定理、三角函數的定義建立關于線段、角之間的關系式，從而求得線段、焦半徑的長.

以一條焦半徑AF為邊，構造[ΔAFF]，就能將問題轉化為解三角形問題.然后根據橢圓的方程和第一定義，求得另一條焦半徑[AF]和焦距[FF]的長，即可得到三角形三邊的長，根據余弦定理建立關系式，就能順利求得焦半徑AF、[AF]的表達式.

二、利用橢圓的第二定義

橢圓的第二定義，即為圓錐曲線的統一定義，是指平面內到焦點的距離與準線的距離之比為e的點的軌跡.其中平面內的點到焦點的距離，即為圓錐曲線上的點到焦點的距離，也就是焦半徑.在解答橢圓的焦半徑問題時，可先根據橢圓的方程求得準線的方程[x=±a2c]；然后根據橢圓的第二定義建立關于焦半徑、準線的關系式，即可求得焦半徑的值或者表達式.一般地，若橢圓的焦點為F1、F2，曲線上一點P（x0，y0），則焦半徑為|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.

先根據橢圓的第二定義建立焦半徑、離心率、準線之間的關系式；然后用直線AB的傾斜角表示出A、B的橫坐標，即可通過三角恒等變換消去角[θ]，得到[1AF+1BF]的值.根據橢圓的第二定義建立等量關系式，可大大減少運算量.

三、利用參數方程

橢圓[x2a2+y2b2=1]的參數方程為：[x=acosθ，y=bsinθ，]其中[θ]為參數；過點M（x0，y0），傾斜角為α的直線l的參數方程為[x=x0+tcosx，y=y0+tsinx，]在求解橢圓的焦半徑問題時，可根據橢圓（直線）的參數方程設出橢圓（直線）上的點的坐標，求得焦點的坐標，即可根據兩點間的距離公式或參數的幾何意義求得焦半徑的表達式.最后通過三角恒等變換化簡表達式，即可解題.

解答本題，需明確直線的參數方程中參數t的幾何意義，并將AB所對應的參數t看作一元二次方程的兩個根，根據韋達定理解題.

解答橢圓的焦半徑問題，需注意：（1）明確焦半徑與橢圓的位置關系；（2）根據橢圓的方程和定義建立關于焦半徑的關系式，或用參數a、b、c表示出焦半徑；（3）根據橢圓的幾何性質，結合圖形，建立關于焦半徑的幾何關系.