靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提升解不等式題的效率

劉釗

數(shù)形結(jié)合思想是解答高中數(shù)學(xué)問題常用的一種數(shù)學(xué)思想.在解答不等式問題時，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)不等式的幾何意義畫出幾何圖形，通過圖形和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，可以使解題的過程變得更加簡單，有利于提升解題的效率.

一、求參數(shù)的取值范圍

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答含參不等式問題時，可先根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，將參數(shù)與變量分離，使參數(shù)在不等式的一側(cè)；再將不等式另一側(cè)的式子構(gòu)造成函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖象，或根據(jù)另一側(cè)式子的幾何意義畫出幾何圖形，即可通過研究圖形的變化趨勢，確定不等式另一側(cè)式子的最值，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.

則圓心A到直線[y=2m]的距離[d1=2-2m2=2-2m≤m]，解得[12≤m≤2+2]，

故實數(shù)[m]的取值范圍為[12，2+2].

解答本題，需將集合A中的元素看作以[2，0]為圓心，以[m2]和[m]為半徑的圓環(huán)上的點(diǎn)，集合B中的元素看作兩平行線[y=2m]和[y=2m+1]之間的點(diǎn)，通過研究圓與直線之間的位置關(guān)系，建立滿足題意的關(guān)系式，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答此類問題，要仔細(xì)挖掘代數(shù)式的幾何意義，并畫出相應(yīng)的幾何圖形，借助幾何圖形來分析問題.

解答本題，需先根據(jù)函數(shù)[fx=xx]的解析式畫出圖象，以根據(jù)其圖象和單調(diào)性去掉[fx+t≥4fx]的符號“f ”，將不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式；然后借助數(shù)軸來討論滿足不等式的t的取值范圍.在解不等式時，要學(xué)會將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象、數(shù)軸上的點(diǎn)的集合的問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題，這樣能有效地提升解題的效率.

二、求不等式的解集

含參不等式問題往往較為復(fù)雜，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題，能有效地提升解題的效率.在解題時，要先將不等式變形，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.可構(gòu)造一個函數(shù)模型，將不等式化為[fx>0]、 [fx<0]的形式；也可以構(gòu)造兩個函數(shù)模型，將不等式化為[fx>gx]、 [fx

先將不等式兩側(cè)的式子分別構(gòu)造成函數(shù)[y1=x+a]，[y2=a2-2x2]，并畫出兩個函數(shù)的圖象；然后移動直線的位置，即可發(fā)現(xiàn)要使不等式恒成立，需使直線始終在橢圓的下方；再求得兩個函數(shù)的交點(diǎn)，就能發(fā)現(xiàn)當(dāng)[-2a3

例4.已知[fx]是[R]上的偶函數(shù)，且在[0，+∞]上單調(diào)遞減，若[fa=0a>0]，則不等式[xfx<0]的解集為_____.

解：由題意可畫出[fx]的圖象，如圖5所示.

若采用常規(guī)方法解答本題，則需進(jìn)行分類討論，解題的過程較為復(fù)雜.我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的解析式畫出圖象，討論滿足不等式的情形，即可確定x的取值范圍.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解不等式，需通過研究圖象，找出滿足題意的一段曲線，并求出與之對應(yīng)的x的取值范圍.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將不等式問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題或函數(shù)圖象問題，即可通過研究圖形或圖象的位置關(guān)系，快速獲解.這樣不僅能使題目中的條件變得直觀，還能使解題的思路更加明朗，有助于提升解題的效率.