巧用周期性解答數(shù)列問題

鄭州

數(shù)列是一種特殊的離散型函數(shù)，其定義域為正整數(shù)集N*（或其有限子集）.如同函數(shù)一樣，數(shù)列具有周期性.若對于任意n、T∈N*，有an+T=an，則T為數(shù)列的周期.數(shù)列的周期性在解答數(shù)列問題中應(yīng)用廣泛，常用于求數(shù)列的項、求數(shù)列的前n項和、解答數(shù)列求積問題.在解題時，往往需先仔細研究數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式，通常可列出數(shù)列的前幾項，以確定數(shù)列的周期；再根據(jù)數(shù)列的周期性來分析問題.

一、求數(shù)列的項

求數(shù)列的項的問題較為簡單.一般需將相應(yīng)的n的值代入數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式，即可獲解.但有時數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式較為復(fù)雜，無法通過代值獲得答案，此時需根據(jù)數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式，尋找數(shù)列中各項之間的聯(lián)系，以明確數(shù)列中各項的變化規(guī)律，確定數(shù)列的周期.這樣便可根據(jù)數(shù)列的周期性，確定所求的項數(shù)為一個周期的第幾項，求出其中一個周期內(nèi)的對應(yīng)項，即可解題.

解答本題，需先仔細研究數(shù)列的遞推關(guān)系式anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，并將其進行合理的代換，得出an+4=an，即可判定該數(shù)列為周期數(shù)列，且其周期為4；然后由2024=4×506可知數(shù)列的前2024項中包含了506個周期，將一個周期的和乘以506，即可解題.

三、解答數(shù)列求積問題

數(shù)列的求積問題比較常見，通常要求某幾項或前n項的積.若數(shù)列具有周期性，則只需抓住數(shù)列的周期性特征，求出一個周期內(nèi)各項的值或各項的乘積，并確定周期數(shù)，即可通過乘法運算求得問題的答案.

我們將已知遞推關(guān)系式進行變形，即可發(fā)現(xiàn){an}是以4為周期的數(shù)列，便能通過簡單的運算，求得問題的答案.

很多數(shù)列問題從表面上看與周期性沒有聯(lián)系，但事實上我們仔細研究數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式，即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列中各項的變化規(guī)律，求得數(shù)列的周期，就可以利用數(shù)列的周期性，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的計算問題來求解.