運用點差法解答圓錐曲線中點弦問題的步驟

蔡永智

中點弦問題是指與圓錐曲線的弦的中點有關的問題.這類問題通常要求我們求弦的中點的坐標、弦所在直線的方程、圓錐曲線的方程，側重于考查一元二次方程的根與系數的關系、線段中點的坐標公式、直線的斜率公式的應用，以及直線與圓錐曲線的位置關系.解答圓錐曲線中點弦問題，通常運用點差法.

若直線與橢圓[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）相交于點[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]，且AB的中點[M（x0，y0）]，運用點差法解答中點弦問題的步驟為：

本題涉及了雙曲線的弦、中點，屬于中點弦問題，需運用點差法求解.將直線與雙曲線的兩個交點的坐標分別代入雙曲線的方程中，并作差，從而求得弦所在直線的斜率和方程.最后還需構造出一元二次方程，根據方程的判別式來判斷直線與雙曲線是否有兩個交點，檢驗所求的直線方程是否滿足題意.

例3.已知橢圓[x22+y2=1]上的兩點A、B關于直線[y=mx+12]對稱，求實數m的取值范圍.

由于A、B兩點關于直線對稱，所以A、B兩點的中點在直線上.本題實質上是中點弦問題，需運用點差法求解.先將兩點的坐標代入橢圓的方程中，并作差，即可求出直線的斜率；然后建立關于AB中點坐標的方程組，求得中點的坐標；再將其代入橢圓的方程中，根據橢圓與點的位置關系，求得參數m的取值范圍.

例4.已知直線AB與橢圓[x2a2+y2b2=1]交于A、B兩點，B與[B]關于原點O對稱，證明：直線AB與直線[AB]的斜率之積為定值.

解答本題，需靈活運用點差法和直線的斜率公式，建立關于直線AB和直線[AB]的斜率的關系式，從而證明結論.

運用點差法解題，只需通過簡單的整體代換，即可求得直線的斜率、弦中點的坐標，這樣可以有效地提升解題的效率.但是點差法的適用范圍較窄，只適用于求解中點弦問題，且其中的[x1、x2]、 [y1、y2]不一定是實數，有可能是虛數，因此在運用點差法解題時，還需檢驗所得的結果是否滿足題意.