例談立體幾何最值問(wèn)題的幾種解法

劉照超

立體幾何最值問(wèn)題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.常見(jiàn)的立體幾何最值問(wèn)題是求立體幾何圖形中某條線段、某個(gè)角、體積、表面積的最值，那么如何求解呢？

一、利用函數(shù)思想

在大多數(shù)情況下，我們可以把與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的立體幾何問(wèn)題看作函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.以其中某一個(gè)量，如動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長(zhǎng)、角的大小為變量，建立關(guān)于該變量的關(guān)系式，并將其視為函數(shù)式，即可利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得最值.

在建立空間直角坐標(biāo)系后，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以a、b為變量，構(gòu)建關(guān)于a的函數(shù)式[SΔBCM=125a2-6a+2].然后將[5a2-6a+2]看作二次函數(shù)式，對(duì)其配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可知函數(shù)在[a=35]時(shí)取最小值.

二、運(yùn)用基本不等式

在解答立體幾何最值問(wèn)題時(shí)，我們往往可以先根據(jù)立體幾何中的性質(zhì)、定義、定理求得目標(biāo)式；然后將其進(jìn)行合理的變形，采用拆項(xiàng)、湊系數(shù)、補(bǔ)一次項(xiàng)，去掉常數(shù)項(xiàng)等方式，配湊出兩式的和或積，就可以直接運(yùn)用基本不等式來(lái)求得最值.在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要把握三個(gè)條件：一正、二定、三相等.

例2.已知三棱錐[P-ABC]的[4]個(gè)頂點(diǎn)均在球心為[O]、直徑為[23]的球面上，[PA=2]，且[PA，PB，PC]兩兩垂直.當(dāng)[PC+AB]取最大值時(shí)，三棱錐[O-PAB]的體積為（? ? ?）.

根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得到[PC+AB2-2PC?AB=10]后，可發(fā)現(xiàn)該式中含有[PC、AB]的和與積，根據(jù)基本不等式[a+b≥2ab]求解，即可得到三棱錐[O-PAB]的體積.

三、轉(zhuǎn)化法

運(yùn)用轉(zhuǎn)化法求解立體幾何最值問(wèn)題有兩種思路.一是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.先將幾何體的表面展開(kāi)，或?qū)缀误w內(nèi)部滿足條件的某些面展開(kāi)成平面；再在平面內(nèi)利用平面幾何知識(shí)，如正余弦定理、兩點(diǎn)間的距離最短、三角形的兩邊之和大于第三邊等求解，這樣問(wèn)題就變得十分直觀，容易求解了. 另一種思路是根據(jù)題意和幾何圖形中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，明確其中改變的量和不變的量及其關(guān)系，根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的性質(zhì)、表面積公式、體積公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某些線段或角的最值.再結(jié)合簡(jiǎn)單幾何體的性質(zhì)，幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系求得最值

將平面[A1BC]與平面[A1AC]翻折到同一平面上，就可以把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，即可根據(jù)勾股定理和余弦定理求得[A1E]以及[AE]的值.分析圖形可知當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，[AD+DE]取得最大值，再結(jié)合余弦定理求解即可.

例4.已知球[O]的表面積為[60π]，四面體[P-ABC]內(nèi)接于球[O]，[ΔABC]是邊長(zhǎng)為[6]的正三角形，平面[PBC⊥]平面[ABC]，則四面體[P-ABC]體積的最大值為（? ? ?）.

解答本題，首先根據(jù)球的表面積求得球的半徑；再根據(jù)題意和幾何體的特征明確當(dāng)[PB=PC]時(shí)，點(diǎn)[P]到底面的距離最大；最后根據(jù)外接圓的性質(zhì)、勾股定理求出點(diǎn)[P]到底面的距離，即可求出最大值.

除了上述三種方法外，有時(shí)還可采用定義法、構(gòu)造法來(lái)求立體幾何最值問(wèn)題的答案.總之，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要先根據(jù)題意和幾何體的結(jié)構(gòu)特征尋找取得最值的情形，求得目標(biāo)式；然后根據(jù)目標(biāo)式的特征，選用合適的方法求最值.