如何用圖象法解答三角函數(shù)問題

王繼祖

圖象法是解答三角函數(shù)問題的重要方法.運(yùn)用圖象法解題，需根據(jù)三角函數(shù)的解析式畫出相應(yīng)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合來求得問題的答案.圖象法常用于研究三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角不等式、解答三角函數(shù)零點(diǎn)問題.下面結(jié)合實(shí)例探討一下，用圖象法解答這三類三角函數(shù)問題的思路.

一、利用圖象法研究三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象可以直觀地反映出三角函數(shù)的所有性質(zhì).在解答有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)問題時(shí)，我們可以先畫出三角函數(shù)的圖象，通過研究和分析三角函數(shù)的圖象，了解函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，進(jìn)而確定函數(shù)的最小值、單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性、周期性、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.

由圖1可知[fx]的周期為[9π4-π4=2π]，則A項(xiàng)錯(cuò)誤；

[fx]的減區(qū)間為[π4+2kπ，π+2kπk∈Z]和 [5π4+2kπ，3π2+2kπk∈Z]，則B項(xiàng)錯(cuò)誤；

[fx]的最大值為[fπ4=22]，則C項(xiàng)錯(cuò)誤；

[fx]圖象的對(duì)稱軸為[x=π4+kπk∈Z]，D項(xiàng)正確.故選D.

該三角函數(shù)式中含有絕對(duì)值，需去掉絕對(duì)值符號(hào)，用分段函數(shù)表示.再根據(jù)函數(shù)的解析式畫出圖象，通過觀察圖象，即可明確三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值、對(duì)稱軸，從而快速判斷出四個(gè)選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).利用函數(shù)的圖象去研究三角函數(shù)的性質(zhì)，既清楚明了，又便捷.

二、利用圖象法解三角不等式

解三角不等式，通常要用到三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).在解題時(shí)，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)或兩個(gè)三角函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化一個(gè)三角函數(shù)圖象上兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系問題，或兩個(gè)三角函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系問題.通過研究函數(shù)的圖象，便可找出使不等式成立的位置關(guān)系，進(jìn)而求得不等式的解集.利用圖象法解三角不等式，關(guān)鍵是確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)，或函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，并根據(jù)圖象找出滿足不等式的部分曲線.

要使當(dāng)x∈（0，2π）時(shí)，sinx>|cosx|，需使y=sinx的圖象始終在y=|cosx|的下方，此時(shí)x∈[π4，3π4].故選A.

我們將三角不等式左右兩邊的式子分別構(gòu)造成函數(shù)，即y=sinx與y=|cosx|；然后根據(jù)函數(shù)的解析式畫出當(dāng)x∈（0，π）時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象.通過觀察可發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)存在交點(diǎn)，于是求得兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，并找出y=sinx的圖象在y=|cosx|的圖象下方的一段曲線，求出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，即可求得不等式的解集.

三、利用圖象法解答三角函數(shù)零點(diǎn)問題

函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)為0時(shí)x的取值，即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).而三角函數(shù)的零點(diǎn)往往不會(huì)只有一個(gè)，因而在解題時(shí)，要先畫出三角函數(shù)的圖象，并找出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)；然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性確定定義域內(nèi)所有的零點(diǎn)以及個(gè)數(shù).

根據(jù)零點(diǎn)的定義，令[fx=sin|2x|-cosx=0]，并將其變形得[sin|2x|=cosx]；然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)[y=sin|2x|]和[y=cosx]；再畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，便可通過觀察圖象確定函數(shù)在[x∈[-3π，3π]]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).值得注意的是，三角函數(shù)圖象具有對(duì)稱性，因此它的零點(diǎn)分布也具有對(duì)稱性.

故函數(shù)[fx]與[gx]圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為[4048+1=4049]，即函數(shù)[hx=sinπ2x-e-x-1]的所有零點(diǎn)之和為4049，故選B.

解答本題，要先判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性、周期性；然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過分析圖象，確定兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得答案.

例5.設(shè)[maxp，q]表示[p]，[q]兩者中較大的一個(gè).已知在[0，2π]內(nèi)，函數(shù)[f（x）=max2sinx，2cosx].若[g（x）=f2（x）+（1-2m）f（x）+m2-m]有[6]個(gè)零點(diǎn)，則[m]的取值范圍為_____.

本題看似較為復(fù)雜，其實(shí)仔細(xì)分析之后可以發(fā)現(xiàn)，要求m的取值范圍，只需確保直線[y=m]和[y=m-1]與[fx]的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn).然后移動(dòng)直線的位置，結(jié)合圖象進(jìn)行分析，找出直線[y=m]和[y=m-1]與[fx]的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)的情形，即可求得m的取值范圍.

可見，在解答三角函數(shù)問題時(shí)，利用圖象法，能讓復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，抽象的問題變得直觀.將數(shù)形結(jié)合起來，能有效地提升解題的效率.

本文系甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度一般課題《面向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課研究》，課題編號(hào)：GS[2020]GHB4488.