證明線面平行的三種措施

馬俊霞

線面平行指的是直線與平面平行，是一種較為常見的空間位置關系.證明線面平行問題側重于考查線線平行、面面平行、線面平行的定義以及定理.下面主要介紹三種證明線面平行的思路.

一、利用線面平行的判定定理

線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.利用線面平行的判定定理證明線面平行，關鍵在于找到一組平行線，使其分別位于平面內外.可從下面兩個角度尋找：

1.利用中位線的性質

三角形的中位線有一個重要的性質：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.在證明線面平行時，可根據幾何圖形的特點，尋找或選取中點，并添加輔助線，構造出三角形的中位線，以根據中位線的性質找到一組平行線，使兩條直線分別在平面內外，即可利用線面平行的判定定理證明線面平行.

我們根據題意，在平面BCF內很難找到一條直線與MN平行.于是根據[AM=12MC]，[DN=12NF]，添加輔助線，構造出一個與平面BCF平行的平面NMG.根據線面平行的判定定理證明[平面MNG∥平面BCF]后，即可根據面面平行的性質定理證明[MN∥平面BCF].

三、構造空間向量

在證明線面平行受阻時，可以根據幾何體的結構特征，構造出空間向量，通過空間向量運算，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，即可證明直線與平面平行.在解題時，要根據幾何體的特征，尋找或構造垂直關系，使三條垂線相交于一點，并將其視為三條坐標軸，即可構造出空間直角坐標系.

我們根據平面[ABEF⊥平面ABC]，以A為原點、AB為x軸、AF為z軸、垂直于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標系，求得[PQ]以及平面MNB的法向量，證明二者垂直，即可證明[PQ∥平面BMN].

總之，在證明線面平行時，要注意：（1）根據題意尋找平行關系，如中位線、平行四邊形的對邊；（2）靈活運用線面平行的判定定理、面面平行的性質定理；（3）合理添加輔助線，構造空間直角坐標系.