高觀點下高考統計與概率解題實踐與反思

楊爽 苗鳳華

【摘要】統計與概率問題是高中數學學習的主線之一，也是高考中考查的重點內容.統計與概率部分知識承載著發展學生數學運算、數據分析等核心素養的重要作用.而在一線教學中，高觀點下的解題方式及解題思想對于教師統領知識體系，把握知識脈搏，提升教師的專業能力有著重要意義.文章以2021年全國乙卷17題為例，從高觀點角度與中等數學教育兩個角度進行解題剖析，對統計與概率的教學實踐過程進行了反思.

【關鍵詞】高觀點；統計與概率；解題研究

一、研究背景

在高中的四條知識主線中，統計與概率作為其中之一，是學生在平時的學習、生活中頻繁接觸、感知的，擁有著豐富的實際應用背景.隨著新課改的不斷深入，近幾年高考試卷中的統計與概率大題難度不斷增加，2019年高考試卷中統計與概率大題的難度已經高于導數問題.統計與概率問題在整個高中數學知識體系下是非常特殊的一部分，首先，統計與概率問題在高考試卷中的地位十分特殊；其次，在高中數學教學中，六大核心素養中的數據分析素養是專門為統計與概率設置的；最后，統計與概率問題是學生在十余年的教育活動中，唯一一個從小學一直延續到大學的數學分支.因此對統計與概率問題進行高考真題解題研究，對于學生自主復習和教師完善教學具有重要意義.

二、真題再現

本文以2021年全國乙卷第17題為例，進行普通解法和高觀點下解法的案例分析.

某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

三、試題分析

該題主要是根據現實生活生產問題進行抽象，以某種設備廠房為例，構建了一個生活中的問題情境.通過該問題情境下收集處理得出簡單的數據，考查學生數據分析的核心素養，該題所考查的內容并未超出中學教材的范圍，第一問求平均值、方差；第二問的顯著性判斷代入給定公式即可求解.從高中數學教學內容角度來看，該題屬于較為常規的題型，但其中統計公式背后蘊含的數學原理仍然值得思考.下面從題目解答與題目分析兩個角度進行內容展開：

題目中顯著性公式的來源：基于假設檢驗理論的雙樣本平均數差異性檢驗.假設檢驗是由K.Pearson于20世紀初提出的，經過了學者費希爾對其細化，最終，相對完整的假設檢驗理論由奈曼和E.Pearson提出.

在實際解題過程中，利用相應參數進行代入比較即可判斷最終結果.

筆者根據對近10年高考試題中概率與統計問題的題型與題量的分析，發現命題形式較為穩定，多以解答題以及填空題的形式出現.主要考查的知識點包括：計算頻率、概率、均值、標準差；計算相關系數；計算估計值與預測值等.因此概率與統計題型類試題一般難度不大.但中學一線教師往往需要在高觀點下進行研究，以方便從更高角度把握整體命題結構.

四、高觀點下解題研究

在一線實際教學過程中，教師通常較為重視從算法的角度進行考查平均數或方差等內容.容易將該類題目完全變成公式的應用，而忽略了其內在的統計學上的意義.從發展學生數學核心素養角度來說，這種方式只簡單考查了學生的數學運算能力，而并未深層次地考查學生的數據分析素養.這對于學生數學能力的發展也是不利的.因此從教師的角度而言，也應當高屋建瓴地掌握相關高等數學視角下的知識，從更高觀點把握題目，剖析題目中蘊含的統計學知識和數學思想，在更高層次上進行高觀點下的解讀.下面對該題的兩問進行高觀點下的解題研究.

（一）第一問分析

由于要檢驗的是樣本所取自的總體的參數值大于或小于某個特定值時，所采用的一種單方面的統計檢驗方法，因此為單側檢驗.根據原假設，可知改善后與改善前來自不同的正態總體.

第三步，選擇檢驗統計量，給出拒絕域形式.雖然樣本方差已知，但總體方差未知，故選擇t檢驗方法，檢驗統計量為

五、研究反思

（一）突出數據處理的基本過程

在實際教學過程中，教師要通過統計與概率部分的知識發展學生數據分析的數學學科核心素養.而這種素養的形成，需要在教學過程中突出數據處理這一基本環節.通過數據處理環節的教學，學生能夠不斷地接觸生活中的數據、收集相關的數據、整理相關的數據，并對其進行深入的分析和處理.其實收集整理、分析綜合的過程就是數據處理的基本過程，只不過在一線教學當中往往被許多教師忽略.

（二）在統計過程中學習統計

統計與概率背后反映的數據觀念，指的是學習者通過數據能夠聯想到相關的知識；推測有關的結果；并且能夠自然而然地利用統計與概率的知識來解決當前問題和隱性的實際生活問題.統計與概率的學習不僅是簡單的公式識記、算術的應用，也不僅是簡單地對條形圖、柱狀圖的認識和數據的讀取，而是應當在實際真實存在的情境當中，在統計過程當中學習統計.換言之就是利用帶有情境性的問題進行教學，通過引導學生制作的統計圖、統計表等激發學生的統計意識.教師也可以利用現代化的教學工具模擬一些題目中的圖表，讓學生感受現代信息技術的應用.這是通過統計過程學習統計的重要渠道.

（三）設計統計概率的學習線索

教師在教學活動中重要的一點就是課前的教學設計，而其中必須要明確的問題就是學生在學習過程中的線索.學習線索是學生在統計與概率部分進行學習的一條主線，所有的知識都緊密地圍繞著該線索進行展開.（1）設計線索時可以圍繞知識內容進行展開，通過高觀點下的內容設計，可以審視統計與概率知識的來龍去脈，也可以幫助學生強化對知識結構的整體認識.（2）設計線索也可以圍繞思想方法進行展開，通過對統計與概率知識背后蘊含的統計學思想、大數定律內容進行展開，可以將一些看似無關的、游離在學生頭腦之外的零散知識進行巧妙的串聯.（3）設計線索時也可以圍繞數學素養展開，如統計與概率中的最重要的數據分析，從深層次挖掘學生的情感態度的提升，從而更好地落實學科核心素養.

（四）提高學生辨析題目的能力

統計與概率問題的解題關鍵就在于，能夠從題目中給出的圖、表中獲取對解題有幫助的信息.尤其是對數據表、莖葉圖進行分析的時候，關鍵在于一個“辨”字，學生既要對題目題干題型進行辨析，又要找到相應的問題模型.而統計與概率的問題模型的建立，往往需要學習者經歷一系列的觀察、分析、判斷等較為復雜的頭腦中的思維活動過程.因此，教師在教學中要幫助學生提高辨析題目的能力.

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