幾何證明題解題思路研究

魏迎萍

【摘要】基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革中，幾何學作為數(shù)學的重要組成部分，成為人們備受關(guān)注的問題之一.文章主要是以近五年成都市中考試卷幾何證明題為例，結(jié)合學生目前對于幾何證明所遇到的問題，就幾何證明題的解題思路進行研究.回看近五年來成都市中考試卷，其中平面幾何每年都會以選擇、填空、解答或證明題形式出現(xiàn)，題型靈活多變.文章歸納總結(jié)了幾何證明題的一般解題思路和解題技巧，將“理論用于實踐”，從未知到已知，進一步提升學生解決幾何證明題的能力.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；幾何證明題；解題思路；成都市中考試題

引 言

一直以來，幾何學作為中學數(shù)學的重要部分，在課程改革中，幾何學的改革早已成為人們非常關(guān)注的問題.幾何證明題難度較大，很多學生會因為“節(jié)約時間”“合理利用時間”等原因在未認真閱讀題目的情況下放棄該題目，因此幾何證明題也就成為拉開學生差距的題目.但幾何證明題并不是非常高深的題型，如果學生能夠掌握正確的解題思路，使用行之有效的解題技巧，不僅可以降低幾何證明題的難度，也能夠提高幾何證明題的準確率.此外，學生對自己能夠解決幾何證明題的信心不足，也容易產(chǎn)生放棄的念頭，如果教師在講解幾何證明題時能幫助學生整理解題思路，歸納解題技巧，長而久之，學生的解題能力自然會得到提升.下面筆者以成都市近五年中考真題為例，對幾何證明題解題思路進行梳理.

一、讀已知信息，從題目中提取有效信息

想要解幾何證明題，審題非常重要.很多學生在拿到題目以后，沒有標記的習慣，也沒有分析所給已知信息的目的，這樣不僅可能會導致審題錯誤，而且可能會導致無效審題.因此，學生在拿到一道題目后，首先要做的就是根據(jù)已知信息盡可能多地推測出與其相關(guān)的知識點.

例如，題目中給出“Rt△ABC繞某點旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′”，學生便可以推測出：△ABC≌△A′B′C′，△ABC中有一角等于90°等信息，同時要考慮到初中所學過的所有與三角形有關(guān)的知識，如全等、相似、三角形外角和定理、中位線、等腰三角形的三線合一等，這些都是常考的知識點.

因此，有效讀題，并不僅是讀題目中的已知信息，而是要盡量根據(jù)已知信息，快速推測出相關(guān)知識點.

二、讀題干，從題干中獲取有效信息

題干中的信息是學生最容易忽略的地方，很多學生在閱讀題目時更在乎需要解決的問題.而很多難度比較大的題目，關(guān)鍵條件都隱藏在題干之中，需要結(jié)合已知信息進行延伸，找到解題思路.學會引申最有效的方法就是學生平時多多積累，需要對定理、知識點非常熟悉.對于特殊的圖形，學生在平時要記憶，在讀題干、審題時也一定要加以標注，要做到從隱藏條件中提取相關(guān)知識點.在圖形中進行標注，不僅可以幫助學生區(qū)分已知和未知信息，也可以幫助學生進一步思考，獲取有效信息.

總之，讀題時要做到以下幾點，其一，細心讀題，不要被陷阱給迷惑；其二，讀題時要標記和記憶；其三，讀題時要注意深度思考，很多信息不是題干直接給出的.

下面以成都市中考真題進行說明：

例1 （成都市2021年中考A卷第20題）如圖1，AB為☉O的直徑，C為☉O上的一點，連接AC，BC，D為AB延長線上的一點，連接CD，且∠BCD=∠A.

（1）求證：CD是☉O的切線；

（2）若☉O的半徑為5，△ABC的面積為25，求CD的長；

幾何證明題中的任何一個已知信息都不是孤立的.把握基本圖形的組合，掌握知識點間的常見聯(lián)系，積累解題經(jīng)驗是很重要的.

三、合理利用輔助線，降低題目難度

作輔助線是解決近五年來成都市數(shù)學中考試卷B卷幾何證明題必不可少的一步，也是學生在解幾何證明題時最難的一步.幾何證明題常常涉及比較復(fù)雜的圖形，但其實再復(fù)雜的圖形，也是用常見的基本圖形通過一定的組合得到的.基本圖形的定義、公理、定理和推論是我們必須熟悉和掌握的內(nèi)容，另外還有一些常見組合形式：如角平分線形、八字形、雙垂直圖形等.

在近五年成都市中考試卷中的幾何證明題中，所做的輔助線主要有兩種類型，即作某直線的平行線或者垂線.在作平行線時，會涉及平行線的性質(zhì)，再利用與平行線相關(guān)的性質(zhì)去證明某些圖形的相似或者是三角形的全等，從而解決線段之間的關(guān)系；在作垂線時，會涉及三線合一或者與角度有關(guān)的知識，從而證明線段之間的關(guān)系.能否正確作出輔助線，實際上也在于平時的積累，教師在教授幾何相關(guān)的知識時，可以側(cè)重于使學生感受輔助線的自然生成.

在幾何證明題中，輔助線的添加也具有一定的規(guī)律.在三角形中，遇到中點，添加中位線或中線；遇到角平分線，過角平分線上的點，添線構(gòu)造全等三角形；遇到中線，延長中線至原長的二倍，構(gòu)造全等三角形；截長補短構(gòu)造等長直線等；添加平行線構(gòu)造全等或相似三角形.在梯形中，作平行線，構(gòu)造平行四邊形；連接對角線，構(gòu)造三角形；作垂線，構(gòu)造直角三角形或矩形；遇到中點，作中位線或構(gòu)造全等三角形.在平行四邊形中，有平行線構(gòu)造平行四邊形；有中點構(gòu)造全等三角形；過交點作垂線；有垂線時，構(gòu)造矩形或作平行線.

四、理出思路，正確運用數(shù)學幾何語言

數(shù)學學科具有精準性和嚴謹性，數(shù)學語言的合理利用是數(shù)學中考著重考查的部分，學生正式接觸數(shù)學語言便是從幾何開始的.教師在教授數(shù)學語言時，應(yīng)促使學生養(yǎng)成正確運用數(shù)學語言的習慣.數(shù)學語言的正確表達，有助于學生形成數(shù)學思維.幾何語言有連接實驗幾何和論證幾何的橋梁作用，教師通過對幾何語言例題的示范和訓練來加強學生對幾何知識的使用，真正意義上提升學生運用幾何知識的能力，能夠幫助學生理解復(fù)雜晦澀的數(shù)學知識，幫助學生進行清晰、有條理的思考，從而引導學生合理、正確地解決數(shù)學問題，加強對數(shù)學學習的認識，不斷激發(fā)學生的思維能力.

五、回顧檢查，是否有不符題意信息

回顧檢查是解題的最后一步，也是較為重要的一步，但是很多學生在完成幾何證明題以后，并沒有檢查的習慣，認為只要思路正確，便不會出錯.事實恰恰相反.在幾何證明題中，學生經(jīng)常出現(xiàn)看錯題目所給角度、所給直線，導致在理解錯誤的基礎(chǔ)上反復(fù)解題，卻一直沒有收獲，不僅浪費時間，而且影響做題進度、解題思路.因此，學生在解題的過程中，沒有思路時，也應(yīng)該注意回顧，檢查是否有漏讀、錯讀的信息.在近五年成都市中考數(shù)學試卷中，關(guān)于幾何證明題，如果題目中沒有涉及動點問題，所給出的圖形一般來說是比較標準的.例如，學生可以根據(jù)對比已知直線的長度和所求解出來的直線的長度，判斷最終結(jié)果是否符合題意信息.

六、解題思路的應(yīng)用

下面以成都市2020年A卷第20題為例，對解題思路的五個步驟進行應(yīng)用.

（3）若F是AB的中點，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

解題思路 根據(jù)上述所提供的的解題思路步驟，我們在拿到這道題后，先閱讀題干的已知信息，整理有效信息，并且在已知信息的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形，引申出相關(guān)知識點，推測所給已知信息的目的.從題干中我們可以知道，所給的已知信息有：OC是☉O的半徑、☉O與AB相切于點D、AC=AD，同時，我們可以利用已知信息結(jié)合圖形推測出OC=OE、∠ODA=90°.第二步是讀問題，前文已經(jīng)提到，幾何證明中，如題目是要求證明某一知識，我們可以直接將該問題看做已知，進行逆向思考.若AC就是☉O的切線，那么過C點的半徑一定是和AC垂直的，結(jié)合上段所提取的信息，可以推測出∠ODA=∠OCA，進行到此時時，便可以看出△AOC≌△AOD，利用SSS定理便可以輕易得證.整理思路以后，再利用幾何數(shù)學語言將解題過程表達出來即可.

第三小問中給出了一個新的信息，F(xiàn)是AB的中點，要求探究BD+CE與AF的關(guān)系，這三條線段初看似乎沒有任何聯(lián)系，因此我們要結(jié)合已知信息進行分析，OC是☉O的半徑，☉O與AB相切于點D，AC=AC，F(xiàn)是AB的中點，將信息盡量套到同一個圖形之中.當我們在圖中標注了這三條直線以后，會發(fā)現(xiàn)，由于F是AB的中點，且B，D，A三點在同一條直線上，此時最主要的就是解決CE和這兩條線段的聯(lián)系.連接ED，我們可以觀察到，ED和FD之間似乎是相等的關(guān)系，如果可以證明他們兩者相等，便把題目中一開始看似毫無關(guān)聯(lián)的三條線段，放在了同一條直線AB上，題目也就得到了解決.

結(jié) 語

總之，對學生幾何證明的思路及思維進行訓練，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯能力以及核心素養(yǎng).幾何證明雖然是初中生普遍認為的難點，但是也仍然有可以破解的方法.作為教師，在教授幾何相關(guān)知識時，要注意有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)感，在平時訓練時要重視實踐.實踐是初中數(shù)學證明的基本出發(fā)點，貫穿于證明教學的全過程.同時，教師應(yīng)該注意及時對學生進行糾錯，特別是數(shù)學幾何語言，促使學生養(yǎng)成好的數(shù)學習慣，端正對于幾何證明題的學習態(tài)度.

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