凍融條件下巖石動態(tài)損傷本構模型

張慧梅,趙 潔,陳世官,申艷軍,路亞妮,劉 慧

(1.西安科技大學理學院,西安 710054;2. 西安科技大學 建筑與土木工程學院,西安 710054;3. 湖北工程學院土木工程學院,湖北 孝感 432000)

隨著國家“一帶一路”戰(zhàn)略的實施及基礎設施建設的發(fā)展,寒區(qū)蘊藏的礦產(chǎn)、森林、土地及旅游等資源越來越受到重視,大量的基礎建設正在或?qū)⒃诤畢^(qū)建設。但受賦存環(huán)境的影響,寒區(qū)巖石由于長期受凍融循環(huán)影響,內(nèi)部缺陷不斷萌發(fā)、擴展,損傷持續(xù)累積,導致巖石力學性能劣化。此外,巖石承受的荷載類型越來越復雜,不但包括自重、上部建筑物等靜態(tài)荷載,還包括沖擊、爆破、地震及滑坡等動態(tài)荷載[1],例如礦山開采、大型機械掘進、巖爆等動力工程以及地震、滑坡等自然災害的防治中,越來越多地涉及動荷載作用。在動荷載條件下,巖石由于承受快速變化的外荷載,表現(xiàn)出明顯的動態(tài)力學特性,與靜態(tài)力學特性存在顯著區(qū)別,破壞模式也隨之變化。所以,寒區(qū)巖石受凍融與動荷載2種損傷因子的共同作用,其變形破壞正是2種損傷耦合擴展效應的累積,必須從損傷的本質(zhì)特性出發(fā),對凍融條件下巖石的動態(tài)損傷破壞問題進行研究。

近年來,關于動荷載條件下凍融巖石的損傷破壞及力學特性方面,國內(nèi)外眾多學者取得以下研究成果。Bo Ke等[2]研究不同凍融條件及軸向應力下砂巖的動態(tài)力學特性;Luo Y等[3]對不同凍融次數(shù)下砂巖靜動態(tài)力學參數(shù)的變化規(guī)律及破壞模式進行研究;Ma Q Y等[4]基于不同凍融次數(shù)下軟巖的SHPB試驗,研究凍融循環(huán)對能量比吸收率、反射率及透射率等能量分布參數(shù)的影響;Li J L等[5-6]研究凍融循環(huán)對巖石孔隙結構和動態(tài)力學特性的影響;Wang P等[7-10]開展不同凍融次數(shù)下巖石的動力學特性試驗,研究凍融巖石的動態(tài)力學特性及損傷破壞過程;劉少赫等[11]開展SHPB試驗研究凍融紅砂巖的動力學特性,并通過掃描電鏡分析凍融作用下紅砂巖的細觀損傷;聞磊等[12]通過室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬結果,對動荷載條件下凍融巖石的強度特性進行研究;賓峰[13]對凍融條件下巖石的靜、動態(tài)力學特性進行對比,研究凍融循環(huán)與軸壓共同作用下巖石的動態(tài)力學特性,分析巖石的動態(tài)損傷演化過程;柳森昊[14]研究砂巖在靜態(tài)與動態(tài)兩種荷載下力學參數(shù)的變化規(guī)律,并通過掃描電鏡試驗分析凍融砂巖的損傷破壞特征。

以上研究皆從試驗層面對凍融巖石的動態(tài)力學特性進行研討,較少通過建立理論模型,研究其變形破壞的力學行為,揭示凍融損傷與動荷載損傷的耦合效應,反映損傷的本質(zhì)特性。因此,在充分考慮凍融損傷的影響的基礎上,運用Mises破壞準則,構建凍融條件下巖石的動態(tài)損傷本構模型,確定模型參數(shù)的理論表達式;描述其變形破壞過程,刻畫凍融與動荷載損傷的耦合效應,反映凍融次數(shù)及應變率對巖石總損傷、模型參數(shù)和變形破壞特性的影響。

1 巖石動態(tài)變形破壞過程

文獻[3,11]通過巖石SHPB沖擊壓縮試驗對巖石動態(tài)力學行為進行充分研究,認為巖石的變形破壞經(jīng)歷5個階段(見圖1)。

圖 1 巖石動態(tài)變形破壞過程Fig.1 The dynamic deformation and failure process of rock

1)壓密階段(OA段)。動荷載作用下,巖石內(nèi)部原有的微孔隙、微裂隙發(fā)生壓密閉合,曲線呈上凹形;但高應變率下,荷載持續(xù)效應太短,巖石內(nèi)部缺陷來不及閉合,壓密階段并不明顯。

2)彈性變形階段(AB段)。隨應變的增加,σ-ε曲線近似線性發(fā)展,動彈性模量基本不變,卸荷后應變形態(tài)可以恢復;整個變形破壞過程中,此階段巖石抵抗沖擊變形的能力最強。

3)塑性變形階段(BC段)。此階段曲線斜率減小,至峰值點(C點)時斜率為0,呈上凸形;此時巖石處于非線性變形階段,損傷持續(xù)累積,抵抗變形能力減弱。

4)應變軟化階段(CD段)。該階段曲線應變緩慢增加,應力迅速下降,未出現(xiàn)回彈現(xiàn)象,說明巖石內(nèi)部缺陷擴展、貫通,并形成貫通區(qū),產(chǎn)生斷裂面,造成不可逆的損傷、破壞。

5)損傷破壞階段(D點以后)。此階段巖石變形繼續(xù)增加,內(nèi)部斷裂面之間的黏聚力喪失,承載能力不足,巖石發(fā)生宏觀破壞。

此外,沖擊荷載作用下,由加載速率不同而產(chǎn)生的應變率效應問題是巖石靜力學與動力學的本質(zhì)區(qū)別,隨著應變率的增加,巖石內(nèi)部微結構變形導致的“慣性力”不容忽視[1]。“慣性力”將導致巖體內(nèi)部顆粒處于相對運動狀態(tài),其內(nèi)摩擦力產(chǎn)生黏滯阻抗效應,表現(xiàn)為黏滯特性。

綜上所述,巖石動態(tài)變形破壞過程表現(xiàn)出了明顯的彈塑性特征、應變軟化特性及黏滯性。

2 凍融巖石動態(tài)損傷本構模型

2.1 力學模型

一般來說,本構模型應具有簡單的數(shù)學表達式、較少且易于確定的模型參數(shù),且能夠反映材料的主要特性。所以,必須選擇合適的數(shù)學描述方法對巖石的損傷進行合理表征,盡可能滿足本構模型的理論嚴謹性和工程實用性。

根據(jù)巖石動態(tài)變形破壞過程分析,巖石在動荷載作用下能夠表現(xiàn)出較為明顯的彈性、塑性及應變軟化等力學特性。事實上,巖石材料在受力狀態(tài)下的破壞是從隨機分布的細觀缺陷到宏觀破壞的非線性演化過程,是損傷的持續(xù)累積。所以,將以上力學特性概化為損傷特性是一種簡潔有效的研究手段。

因此,本模型考慮利用損傷體描述巖石材料所具有的彈塑性變形特征、應變軟化特性,利用黏性體表達巖石材料的黏性特征。為了能夠同時體現(xiàn)巖石的損傷特性和黏滯性,將巖石內(nèi)部微元體視為理想化的損傷體與黏性體的并聯(lián)組合體,如圖2所示。

圖2 巖石微單元體模型Fig.2 Rock microelement model

假設巖石在x方向承受沖擊荷載,由損傷體與黏性體并聯(lián)關系可知

(1)

式中:εa為損傷體應變;εb為黏性體應變;σa為損傷體應力;σb為黏性體應力。

2.2 損傷本構方程

凍融循環(huán)作用下?lián)p傷演化的力學效果可以通過材料宏觀基準量的劣化來表達。選用彈性模量的劣化度量不同凍融次數(shù)下巖石的受損程度,將凍融損傷變量Dn表示為

(2)

式中:E0為未凍融巖石的動彈性模量;En為不同凍融次數(shù)下巖石的動彈性模量。

假設巖石由若干具有不同缺陷的微元體組成,從宏觀角度出發(fā),根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學理論,該微元體的尺寸足夠小,能夠作為一個質(zhì)點來考慮;從細觀角度來看,該微元體的尺寸足夠大,包含足夠多的微裂紋、微空洞等細觀缺陷[15]。

基于巖石內(nèi)部結構的非均勻性質(zhì)及受荷過程中內(nèi)部微元破壞的隨機性,假定巖石微元強度服從Weibull統(tǒng)計分布,其概率密度函數(shù)為

(3)

式中:F*為巖體微元強度隨機分布的分布變量;m和F0為Weibull分布參數(shù)。

巖石的變形破壞是材料內(nèi)部微元體損傷破壞的累積效應,對式(3)進行積分可將巖石的受荷損傷變量表示為

(4)

以巖石的凍融損傷為第一損傷狀態(tài),凍融巖石的受荷損傷為第二損傷狀態(tài),根據(jù)推廣后的應變等價性假設[16],凍融巖石的受荷損傷本構關系可表示為

σx=En(1-Ds)εx+2μσz

(5)

σz=En(1-Ds)εz+μ(σx+σz)

(6)

根據(jù)式(2)及式(5)、式(6),可得凍融循環(huán)作用下受荷巖石的損傷本構關系為

σx=E0(1-D)εx+2μσz

(7)

σz=E0(1-D)εz+μ(σx+σz)

(8)

其中,

D=Ds+Dn-DsDn

(9)

式(9)為凍融-動荷載耦合下巖石的總損傷變量。可以看出,凍融-動荷載的共同作用加劇了巖石的總損傷,但兩者的耦合效應在一定程度上又使得巖石的受損程度有所減弱,并呈非線性關系。分析認為,凍融循環(huán)作用導致巖石產(chǎn)生凍融損傷,但巖石內(nèi)部晶粒在荷載的作用下發(fā)生錯動、滑移又對孔隙水凍結成冰時所產(chǎn)生的體積膨脹有所限制,表現(xiàn)為凍融與動荷載的耦合作用對總損傷產(chǎn)生的弱化效應。

將式(2)與式(4)代入式(9),可將凍融受荷巖石的總損傷變量表示為

(10)

聯(lián)立式(7)、式(8)與式(10)可得損傷體的本構關系為

(11)

對于黏性體而言,在外荷載作用下遵循黏滯定律,應力與應變率呈線性關系,其本構關系為

(12)

將式(11)與式(12)聯(lián)立,代入式(1),可得凍融巖石的動態(tài)損傷本構關系為

(13)

(14)

假定巖石的損傷破壞準則服從Mises強度理論,則式(13)～(14)中的分布變量F*可表示為

(15)

式中:J2*為有效應力偏量的第二不變量,其表達式為

(16)

根據(jù)損傷的定義,有

(17)

式中:σi為名義應力;σi*為對應的有效應力。

聯(lián)立式(15)、式(17),可得F*的表達式為

(18)

式中:

(19)

2.3 模型參數(shù)的確定

模型參數(shù)m和F0可通過應力-應變曲線峰值點(σc,εc)處滿足的幾何條件獲得其理論表達式。

①εx=εcn時,σx=σcn;

(20)

(21)

對式(13)～(14)兩邊取全微分有

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(24)～(27)代入式(22)～(23)中可得

(28)

(29)

式中

聯(lián)立式(28)～(29)消去dσz,可得到dσx的表達式,再與式(20)比較,并根據(jù)極值條件②,有

(30)

化簡式(30)可得

(31)

根據(jù)式(13)和極值條件①得

(32)

聯(lián)立式(31)和式(32)可得模型參數(shù)m和F0的理論表達式為

(33)

(34)

3 模型參數(shù)討論

為明確模型參數(shù)的物理意義,現(xiàn)引用文獻[14]凍融砂巖力學特性試驗結果進行分析討論。

3.1 凍融砂巖動態(tài)力學特性試驗結果

文獻[14]以高徑比為1:2的圓柱形砂巖為研究對象,對烘干、飽水處理后的試樣進行溫度變化周期為+20 ℃～-20 ℃～+20 ℃的凍融循環(huán)試驗,隨后對經(jīng)歷不同凍融循環(huán)次數(shù)(0、1、5、10、15、20次)的試樣進行5組不同應變率下的SHPB沖擊試驗,探究凍融條件下砂巖的動態(tài)力學特性。具體力學參數(shù)[14]如表1所示。

表1 不同凍融次數(shù)及應變率下巖石的力學參數(shù)

3.2 模型參數(shù)的物理意義

利用表1試驗數(shù)據(jù)代入式(33)～式(34)進行計算,可繪制凍融次數(shù)為20次、應變率為65.1 s-1時模型參數(shù)不同取值的σ-ε曲線(見圖3),從而可討論模型參數(shù)對曲線形態(tài)的影響,揭示其物理意義。

圖3 模型參數(shù)對模型曲線的影響Fig.3 Effect of model parameters on model curves

由圖3a可知,隨參數(shù)m的遞增,曲線峰前塑性屈服段及峰后軟化段坡度越來越陡,峰后應力降低速度不斷增加,說明巖石延性特征減弱,脆性特征增加。因此,參數(shù)m反映了巖石的延脆性特征,表征巖石內(nèi)部微元強度分布的集中程度。

由圖3b可知,隨參數(shù)F0的遞增,曲線峰前階段的彈性變形部分基本一致,但塑性屈服階段之后的部分表現(xiàn)為整體右移,依次平行排列,最終近似趨于水平直線。參數(shù)F0對σ-ε曲線的改變主要體現(xiàn)為曲線的峰值強度依次增加,反映了巖石微元宏觀平均強度的大小。

4 凍融巖石動態(tài)損傷力學特性分析

4.1 物理力學特性分析

4.1.1 抗凍性分析

文獻[17]利用抗凍系數(shù)Rd來表示巖石抵抗凍融破壞能力的強弱,表達式為

(35)

式中:σc為未凍融巖石的動態(tài)抗壓強度;σcn為不同凍融次數(shù)下巖石的動態(tài)抗壓強度。

根據(jù)表1及式(35),可繪制不同凍融次數(shù)n及應變率下巖石抗凍系數(shù)Rd的變化曲線(見圖4)。

圖4 抗凍系數(shù)變化Fig.4 Change of frost resistance coefficient

從圖4可以看出,隨凍融次數(shù)的增加,巖石的抗凍系數(shù)呈減小趨勢,且凍融前期降低幅度最大,之后下降趨勢變緩。說明巖石的抗凍性能隨凍融次數(shù)的增加而減弱。當應變率分別為65.02、75.07、84.87 s-1時,對應的抗凍系數(shù)分別減小13.49%、10.71%、10.33%。這是由于巖石內(nèi)部水-冰相變及多種礦物成分的不均勻收縮膨脹作用導致微缺陷萌發(fā)、擴展,并隨凍融次數(shù)的增加而擴大,各項基本力學性能逐漸衰減,抵抗凍融破壞的能力降低,但凍融前期巖石內(nèi)部結構和連結受到的破壞嚴重,所以抗凍系數(shù)顯著降低。

從圖4還可以看出,凍融前期,抗凍系數(shù)隨應變率的增大而降低,但隨凍融次數(shù)的增加,不同應變率下抗凍系數(shù)曲線相繼相交,相交后抗凍系數(shù)隨應變率的增大而增加。這是因為沖擊荷載產(chǎn)生的慣性力作用限制了巖石的側(cè)向變形,且限制作用隨凍融循環(huán)及應變率的增大而增強,由此巖石的應力狀態(tài)近似于被動圍壓狀態(tài),表現(xiàn)出了應變率強化效應[18],所以抗凍系數(shù)有所增加。

4.1.2 動載強度分析

依據(jù)表1中的力學參數(shù),繪制動態(tài)抗壓強度隨凍融次數(shù)和應變率的變化曲線(見圖5)。

圖5 動態(tài)抗壓強度隨凍融次數(shù)、應變率變化Fig.5 The dynamic load strength changes with freezing and thawing cycles and strain rate

分析認為,在凍融循環(huán)作用下,巖石內(nèi)部水-冰相變產(chǎn)生的凍脹力克服黏聚力,促進微觀缺陷進一步擴展,物理力學性質(zhì)劣化,所以動態(tài)抗壓強度減小;但由于水-冰相變導致的微裂隙擴展在凍融初期表現(xiàn)最顯著,且可以容納凍融后期水-冰相變的體積膨脹,所以凍融初期動態(tài)抗壓強度顯著降低,而后期下降幅度減緩。說明此時巖石內(nèi)部基本達到新的平衡狀態(tài),力學性質(zhì)的變化逐漸穩(wěn)定。

由圖5b可知,巖石動態(tài)抗壓強度與應變率呈正相關,變化速率先快后慢。當凍融次數(shù)為1,應變率為53.15 s-1時,巖石的動態(tài)抗壓強度為140.28 MPa,應變率為65.02 s-1時,動態(tài)抗壓強度增加至159.27 MPa,增加幅度為13.54%;應變率為75.07 s-1時,動態(tài)抗壓強度增加至167.99 MPa,增加幅度為5.47%;應變率為84.87 s-1時,動態(tài)抗壓強度增加至181.34 MPa,增加幅度為7.95%;應變率為99.07 s-1時,動態(tài)抗壓強度增加至195.36 MPa,增加幅度為7.73%。

分析認為,巖石的變形破壞是內(nèi)部缺陷萌生與擴展的最終結果,而缺陷產(chǎn)生所需的應力遠大于缺陷擴展所需的應力,因此巖石需要足夠的應變率作用持續(xù)產(chǎn)生新的缺陷使其完全破壞,表現(xiàn)為動態(tài)抗壓強度隨應變率的增加而增強,但由于凍融循環(huán)的劣化作用,增長速率有所減緩。

綜合圖5可以看出,凍融巖石的動態(tài)抗壓強度受凍融因子與應變率因子的共同控制,但兩者導致的效應相反。

4.1.3 動力變形分析

依據(jù)表1繪制不同凍融次數(shù)和應變率下巖石動彈性模量的變化曲線,結果如圖6所示。

圖6 動彈性模量隨凍融次數(shù)、應變率變化Fig.6 The dynamic modulus of elasticity varies with freezing and thawing cycles and strain rate

由圖6a可知,隨凍融次數(shù)的增加,巖石的動彈性模量總體降低,變化速率先快后慢。應變率為75.07 s-1時,凍融次數(shù)由0增加至5次過程中,動彈性模量下降60.03%;凍融次數(shù)由5次增加至20次過程中,動彈性模量下降15.42%。這是因為,凍融次數(shù)的增加使得巖石內(nèi)部凍融損傷加劇,原有的微觀缺陷擴展、貫通,巖石力學性能劣化,抵抗沖擊變形的能力減弱。

由圖6b可知,隨應變率的增加,動彈性模量整體呈增加趨勢,但變化幅度較小。例如,應變率由53.15 s-1增加至99.07 s-1過程中,凍融次數(shù)為0時,動彈性模量增加幅度約為16.42%;凍融次數(shù)為10時,動彈性模量增加幅度約為17.61%。分析認為,沖擊荷載作用下,產(chǎn)生慣性力,巖石內(nèi)部礦物顆粒界面快速滑移,使得巖石未能充分變形而發(fā)生破壞,導致動彈性模量變化幅度較小。

因此,巖石的動態(tài)彈性模量受凍融作用和應變率作用的共同影響,但兩者導致的結果不同,且動彈性模量的應變率敏感性較小。

4.2 損傷演化特性分析

為分析巖石的損傷演化特性,明確凍融損傷與動荷載損傷的耦合效應,根據(jù)表1及式(10)繪制凍融巖石的動態(tài)損傷演化曲線,結果如圖7和圖8所示。

圖7 不同凍融次數(shù)下巖石的損傷演化Fig.7 Damage evolution of rock at different freezing and thawing cycles

圖8 不同應變率下巖石的損傷演化Fig.8 Damage evolution of rock at different strain rates

從圖7和圖8還可以看出,隨著應變的增加,總損傷值逐漸增大,從初始值趨于臨界值1,損傷曲線近似呈“S”型演化,能夠反映巖石動態(tài)變形破壞全過程:①初始損傷階段,對應壓密及彈性變形階段。曲線形態(tài)近似水平,此時巖石的變形以原始缺陷壓密和閉合為主,無明顯新生缺陷產(chǎn)生。②線性損傷階段,對應塑性屈服階段。隨應變的增加,損傷演化曲線呈近似線性,說明此時巖石內(nèi)部損傷穩(wěn)定發(fā)展,產(chǎn)生不可恢復變形,總損傷值增加;③非線性損傷階段,對應應變軟化階段。損傷演化曲線增長速率減緩,呈上凸形態(tài),說明此時巖石內(nèi)部裂紋、孔隙的聚合與貫通產(chǎn)生了新的宏觀斷裂面,承載能力降低。④損傷破壞階段,損傷演化曲線逐漸平緩,總損傷值接近1,此時巖石承載能力喪失,應力瞬間釋放,產(chǎn)生破壞。

圖7顯示,在變形初期,隨凍融次數(shù)的增加,損傷曲線的演化速率逐漸變緩,總損傷值與凍融次數(shù)呈正相關。在變形中期,損傷曲線依次相交,相交后總損傷值與凍融次數(shù)呈負相關,圖中表現(xiàn)為損傷值一定時,應變隨凍融次數(shù)的增加而增大,發(fā)生破壞時所對應的應變也越來越大。說明巖石的凍融-動荷載的耦合作用對總損傷有所弱化,且弱化程度隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加而增大。這是因為巖石在變形后期表現(xiàn)出了較為顯著的塑性特征。

圖8顯示,相同應變時,總損傷值隨應變率的增加依次減小,說明巖石抵抗動力變形破壞的能力有所增強。這是因為沖擊荷載產(chǎn)生的慣性力導致巖石處于被動圍壓狀態(tài),內(nèi)部微缺陷得到壓密、閉合,力學性質(zhì)有所改善,表現(xiàn)出應變率強化效應。此外,應變率增大,巖石損傷演化速率減緩,達到臨界破壞的過程有所延長,表明此時巖石的塑性特征較為明顯,巖石需要足夠的沖擊作用使其內(nèi)部缺陷持續(xù)擴展、萌發(fā),最終完全破壞。

5 模型驗證

根據(jù)表1的試驗數(shù)據(jù),由式(13)及式(33)～式(34)進行計算,繪制不同凍融次數(shù)及應變率下巖石的σ-ε理論曲線(見圖9),并與文獻[14]的試驗曲線進行對比?？梢钥闯?凍融巖石動態(tài)損傷本構模型理論曲線與試驗曲線能夠較好地描述不同凍融次數(shù)及應變率下巖石的變形破壞過程,反映其動載強度和變形特征,驗證了損傷變量、模型參數(shù)及本構方程的合理性。

圖9 砂巖損傷模型理論與試驗比較Fig.9 Comparison between test and theoretical of constitutive model for sandstone

6 結論

1)基于巖石SHPB沖擊壓縮變形破壞全過程,考慮巖石材料的非均勻性質(zhì),基于統(tǒng)計損傷理論,將巖石彈塑性和應變軟化特征概化為損傷特性,應變率效應描述為黏滯性,建立凍融巖石動態(tài)損傷本構模型,理論表征凍融損傷與荷載損傷的耦合效應及其誘發(fā)的宏觀力學響應,并確定模型參數(shù)的理論表達式。

2)巖石抗凍系數(shù)隨凍融次數(shù)的增加,呈減小趨勢,凍融前期,抗凍系數(shù)隨應變率的增大而降低,但隨凍融次數(shù)的增加,不同應變率下抗凍系數(shù)曲線相繼相交,相交后抗凍系數(shù)隨應變率的增大而增加。巖石動態(tài)抗壓強度與凍融次數(shù)呈負相關,凍融初期變化顯著,之后變化幅度基本穩(wěn)定;與應變率呈正相關,變化速率先快后慢。巖石動彈性模量隨凍融次數(shù)增加而降低,隨應變率增大整體呈增加趨勢,變化幅度較小。所以,動態(tài)抗壓強度與動彈性模量受凍融作用和應變率作用的共同影響,但兩者導致的效應不同,且動彈性模量的應變率敏感性較小。

3)隨應變的增加,損傷曲線近似“S”型演化,總損傷值從初始值趨于臨界值1,較好地反映了凍融巖石動態(tài)變形破壞全過程。應變率一定時,總損傷值隨凍融次數(shù)的增加而增大,但在變形的中后期,隨凍融次數(shù)的增加而減小,表現(xiàn)出明顯的塑性特征;凍融次數(shù)一定時,應變率的增加,導致巖石處于被動圍壓狀態(tài),力學性質(zhì)有所改善,總損傷值依次減小,表現(xiàn)出了應變率強化效應。