以形助數 以數解形
——談數形結合思想在小學數學教學中的應用策略

文/孔秀云

眾所周知，數學是數量關系與空間形式緊密結合的一門學科，是以研究“數”與“形”為主的學科。小學數學的四大領域均以“數”與“形”為基礎。同時，數學是由抽象、概括客觀現象而形成的一種語言和工具。數學學科的如此特點，證明了數形結合思想的重要性，驅動教師在數學教學中應用數形結合思想。數形結合思想是依據“數”（抽象的數量關系）“形”（直觀的空間形式）的對應關系與互補優勢，通過相互轉化解決數學問題的思想方法，具體表現為以形助數和以數解形[1]。實踐證明，“數”與“形”的結合，可以化抽象為具體，化復雜為簡單，降低數學學習難度；使學生透過問題表述和形式，感知問題內在含義，增強數學認知；可以使學生在互換“數”“形”的過程中，發展觀察能力、思維能力等。基于此，在小學數學教學中，教師應從以形助數和以數解形入手，通過多樣策略應用數形結合思想，助力學生建構數學認知，掌握數學思想方法，發展數學學習能力，提高數學學習效率。

一、以形助數

以形助數是指用“形”解決“數”的問題，促使學生直觀地認知“數”[2]。“形”的形式多種多樣，如生活實物、線段圖、數學模型等。在應用數形結合思想時，教師要依據課堂教學需要，選用不同的“形”，助力學生學習“數”。

（一）用“形”，認識“數”

數的概念是數學學科的基礎內容，具有抽象性。學生借助各種“形”，如生活實物，可以直觀地認知數字，理解數字的含義，學會用數字表示事物的數量。如利用數學小棒或計算器，直觀地了解不同數位上的數字所表示的意義；借助正方形、圓形等，直觀地感受小數、分數的性質。因此，在數學課堂上，教師要聯系教學需要，用“形”引導學生認識“數”。

例如，在“時、分、秒”的課堂教學中，為使學生認知“1 秒”，教師呈現時鐘，引導學生閉上眼睛，靜靜地聽。當聽到“滴嗒”一聲時，學生感受到了“1 秒”。為了使學生增強感受，教師提出要求：“在聽的過程中，一聽到‘滴答’聲就拍一下手。”于是，學生邊傾聽邊拍手，由此直觀地感受到1 秒有多長。接著，教師按照如此方式，鼓勵學生發散思維，用其他方式表示1 秒。在已有數學認知和生活經驗的作用下，學生聯想到了多樣的表示方法，如眨眼睛、踏腳等。在應用這些方法的過程中，學生繼續直觀地感知1 秒。然后，教師沿用此方式，使用不同的“形”引導學生認識“1 分鐘”和“1 小時”。

實踐證明，在直觀的“形”的作用下，學生輕松地學習和掌握了數學知識。同時，一些學生因此感受到“數”與“形”的關系，便于自主地借助“形”認識“數”，提高數學學習效率。

（二）用“形”，運算“數”

運算是以“數”的認識為基礎的活動，是數學教學中不可或缺的一部分。算理是學生進行運算的“工具”。學生借助各種“形”可以理解運算背后的算理[3]。如借助小棒、紙片等進行整數運算，理解運算定律；借助正方形、圓形等進行平均分割，理解分數背后的運算法則。由此，在數學教學中，教師可用“形”引導學生探究算理。

例如，在“同分母分數加減法”的課堂教學中，教師向學生提出如此問題：“有一塊月餅，媽媽把它平均分為八份。爸爸吃了三份，媽媽吃了一份。請問，爸爸和媽媽一共吃了多少塊月餅？”借助此問題，學生遷移已有認知，列出算式。對此，教師追問：“如何計算出結果呢？”同時，為了使學生順利地解決問題，教師引導學生在紙張上畫圖，表示出。在畫圖的過程中，大部分學生將一個圓平均分為8 份，為其中的4 份涂色。此時，學生直觀地得出結果：。教師就此進行贊賞，并提問：“。為什么分母沒變？分子是如何得到的？”在問題的作用下，學生審視畫圖內容，積極思維，有所發現，分母相同，可以直接用分子相加。立足于此，教師在交互式電子白板上演示計算過程，并結合此過程，歸納算理：計數單位相同的數可以直接相加。

由此可見，在“形”的助力下，學生一步步地探究到算理，便于做到知其然，知其所以然，提高運算水平。

（三）用“形”，整理“數”

整理數據是以數字為基礎的活動。在整理數據的過程中，學生會有規律地呈現數據，為分析數據做好準備；還會梳理、發現數與數之間的邏輯關系，為認識數、運用數奠定堅實的基礎。“形”是學生整理“數”的助力。如學生可以利用條形統計圖、扇形統計圖等，清晰地展現雜亂的數據，由此輕松地發現數量多少或數量所占的比重等。因此，在數學課堂上，教師應依據教學需要，借助“形”引導學生整理“數”。

例如，在“條形統計圖”這節課上，教師向學生呈現了本地上月的天氣情況。在學生觀察時，教師提出問題：“上個月有多少種天氣？每種天氣有多少天？”在問題的作用下，學生數出天氣的種類及其對應天數，并積極思維，聯想到不同的表示方法，有的學生繪制統計表，有的學生繪制條形統計圖。然后，教師挑選統計表和條形統計圖，并提問：“請對比這兩種統計方式，判斷哪一種可以更加直觀地展現信息？”受到任務的驅動，學生認真對比，直觀地發現條形統計圖的優勢，并主動進行描述。立足學生的描述情況，教師做出總結：“條形統計圖用一個單位長度直觀地展現了一定的數量，并按照一定的順序排列不同長短的條形，借此表示出數量的多少。”由此，學生增強了認知，增強了課堂學習效果。

實踐表明，學生通過“數據—表格—條形統計圖”直觀地了解了條形統計圖，扎實掌握了課堂所學。

（四）用“形”，解決“數”

解決“數”是指解決數的問題。數的問題具有抽象性。小學生的形象思維較為發達，但抽象思維能力不強。“形”可以直觀展現“數”，助力學生獲取解決問題的思路和方法。例如，學生在閱讀數學問題后，將問題中的條件呈現在線段圖上，可以直觀地厘清條件關系，由此解決問題。對此，在數學教學中，教師可借助“形”，引導學生解決“數”。

例如，在課堂上，教師向學生呈現以下應用題：“早上，明明和紅紅同時從家里出發上學。他們相向而行。已知，明明每分鐘走70 米，紅紅每分鐘走60 米。兩人走在3 分鐘后相遇。請問，他們兩家相距多少米？”讀題后，大部分學生陷入迷茫。于是，教師把握時機，向學生提出畫圖要求：“請根據問題條件，畫出線段圖。”在此要求的驅使下，學生積極思維，分析問題條件，精心繪制線段圖（如圖1）。

這樣的線段圖直觀地展現了已知條件、未知問題以及二者間的關系。在線段圖的助力下，學生歸納出其中蘊含的數量關系：紅紅家和明明家的距離=紅紅走的路程+明明走的路程。根據如此數量關系，學生輕松地列出算式，計算出結果。

由此可見，借助“形”引導學生解決數的問題，不但可以使學生直觀地理解題意，明確解題思路，獲得解題方法，還可以使學生建構形象思維與抽象思維之間的聯系，便于向抽象思維過渡，提高抽象思維能力。

二、以數解形

以數解形是指用“數”來解釋圖形的性質，促使學生精準地認知圖形。“數”的形式多種多樣，如數學符號、數學語言等。在應用數形結合思想時，教師應根據教學內容，選擇適宜的“數”，引導學生認知圖形。

（一）用“數”認識“形”

盡管圖形本身具有直觀性，但表達過于直白，學生難以了解特征與性質。如學生無法直接借由長方形、正方形等，認知到圖形的共同特征。又如，學生無法借助直角三角形、銳角三角形等，了解底、高、角等特征，尤其難以用這些特征描述不同三角形之間的關系。“數”具有精準性，可以輔助學生準確認知“形”的特征。所以，在課堂教學中，教師應立足“數”的優勢，結合教學需要，引導學生利用“數”認識圖形。

例如，在“長方形的初步認識”的課堂教學中，教師為學生發放大小不同的長方形模具。接著，教師提出觀察任務：“觀察這些長方形模具，你能發現它是由什么構成的？”帶著任務，學生認真觀察，積極思考，直觀地發現長方形由面、頂點和邊構成。據此，教師追問：“數一數，長方形有多少個面？多少個頂點？多少條邊？”通過數數，學生進一步認知長方形的特征：“長方形有1 個面，4 個頂點，4 條邊。”在這樣的特征的支撐下，學生很容易在腦海中浮現出一個長方形，加深記憶。為了使學生探究長方形的更多特征，教師繼續提出任務，如“量一量長方形模具，你能發現邊、角有什么關系？”在測量的過程中，學生獲取數據，由此精準地認知長方形的特征，如長方形的對邊相等，四個角都是直角。由此可見，學生通過觀察、測量，發現了一個個“數”，由此精準地認知了長方形的特征，便于形成長方形表象，為學習長方體的表面積奠定堅實的基礎。

（二）用“數”描述“形”

圖形的位置和運動是數學學科的基礎內容。應用“數”描述圖形的位置和運動，可以使學生對圖形做出精準“定位”，由此建構數學認知。如學生用前、后、左、右、上、下，東、西、南、北等方向進行描述，可以精準定位事物的位置。又如，學生用數學的語言描述圖形的平移、旋轉軌跡，可以對平移、旋轉建構認知。因此，在數學課堂上，教師應聯系課堂教學內容，引導學生用“數”描述圖形的位置和運動。

例如，在“位置與方向（二）”的課堂教學中，學生要依據參照點建立坐標系，了解事物所在角度；還要根據圖中的比例尺判斷事物的距離。了解事物角度、判斷事物距離的過程，正是學生用數學的語言描述事物位置與方向的過程。在描述的過程中，“數”是不可或缺的，否則所描述的內容毫無意義。所以，教師以教材中的插圖為“工具”，直觀地向學生展示平面圖，呈現具體數據，借此引導學生用數學的語言進行描述。如教師引導學生觀察“做一做3”中的平面圖，用“臺風沿著______方向移動了______米”的句式進行描述。在描述之際，學生將視線集中在數據上，發揮思維作用，判斷臺風的移動方向和距離。如此做法，不僅使學生借助“數”，精準地了解了物體的位置和方向，認知了所學內容，還使學生順其自然地鍛煉了數學表達能力，有利于學生學會用數學的語言表達數學，提高數學學習效率。

（三）用“數”遷移“形”

遷移“形”是學生用“數”的具體表現。例如，學生可以在把握數量關系的同時，遷移對“形”的認知，精準認知圖形的周長、面積，尤其是掌握具體方法。又如，學生可以應用數量，探究立體圖形的特點、概念等，由此遷移“形”，發現相同或不同之處，進而增強認知。由此可見，在數學課堂上，教師應立足學生“形”的學習情況，引導學生用“數”，遷移已有認知，積極探究“形”。

例如，在“三角形的面積”的課堂教學中，教師將探究三角形面積計算公式的權利還給學生。學生在此之前，早已學習了長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式，積累了“形”與“數”的經驗，所以，在探究三角形面積計算公式的過程中，學生會遷移已有經驗，動手操作，使用不同的方法，如數格子法、轉化法等，得出“數”，由此推導出面積計算公式。這樣不僅使學生成為數學課堂的“主人”，還使學生實現了正遷移，便于掌握數學知識與數形結合思想方法。

三、結束語

綜上所述，在應用數形結合思想時，教師可以從以形助數，以數解形入手，聯系數學教學的實際需要，運用多樣的策略，如用“形”認識“數”、用“形”運算“數”、用“形”整理“數”、用“數”認識“形”、用“數”描述“形”等，引導學生互換“數”與“形”，以此掌握數形結合的思想和方法，發展多樣能力，進而增強數學學習效果。