明晰學(xué)習(xí)路徑 提升學(xué)習(xí)能力

文／朱月紅

“有理數(shù)”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。同學(xué)們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)的運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)，在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。當(dāng)然，初中的要求會(huì)有所提高。初步學(xué)習(xí)數(shù)系擴(kuò)充的方法，掌握研究一類數(shù)的基本方法，會(huì)讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更輕松、有趣。

一、初識(shí)“數(shù)系擴(kuò)充”的必要性

我們學(xué)過各種各樣的數(shù)。為了表示物體的個(gè)數(shù)或者順序，產(chǎn)生了整數(shù)1、2、3 等；為了表示“沒有”，引入了數(shù)0；有時(shí)分配、測量的結(jié)果不是整數(shù)，需要用分?jǐn)?shù)（小數(shù)）表示；為了表示具有相反意義的量，我們又引進(jìn)了負(fù)數(shù)……總之，數(shù)是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生、發(fā)展起來的（如圖1）。

圖1 數(shù)系的擴(kuò)充路徑

二、類比自然數(shù)，再識(shí)有理數(shù)

同學(xué)們還記得小學(xué)是怎么研究自然數(shù)的嗎？先回憶一下，將你的想法與圖2進(jìn)行對(duì)比。

圖2 自然數(shù)的學(xué)習(xí)路徑

有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，是一種具有統(tǒng)一模式（規(guī)律）的數(shù)，這種模式就是有理數(shù)的本質(zhì)屬性。我們可以類比自然數(shù)（分?jǐn)?shù)）的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)路徑來學(xué)習(xí)有理數(shù)。“有理數(shù)”這一章的主要內(nèi)容包括有理數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算，如圖3；研究路徑是：引入負(fù)數(shù)→有理數(shù)集→概念→在數(shù)軸上的表示（數(shù)形結(jié)合）→相反數(shù)、絕對(duì)值→性質(zhì)→運(yùn)算。

【小貼士】同學(xué)們可以自主建構(gòu)自己所理解的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，并將其完善和優(yōu)化，也可由此流程圖想得更遠(yuǎn)一些，比如，易考點(diǎn)是什么？易錯(cuò)點(diǎn)是什么？創(chuàng)新點(diǎn)在哪兒？未來將繼續(xù)研究什么？

三、拓展應(yīng)用，合理運(yùn)算

數(shù)學(xué)是講道理的，數(shù)學(xué)的計(jì)算、證明過程要嚴(yán)謹(jǐn)、有理有據(jù)。“有理數(shù)”這一章要求的核心能力是運(yùn)算能力。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，要學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，做到算有方法，算有規(guī)矩；探究運(yùn)算思路，做到算得合理，算得簡潔。也就是說，除了會(huì)算，同學(xué)們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)“優(yōu)算”。

1.明晰運(yùn)算對(duì)象，有序進(jìn)行計(jì)算

學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，我們可類比小學(xué)學(xué)過的規(guī)則。如分層歸納有理數(shù)的加法：第一層按照“正數(shù)加正數(shù)，正數(shù)加負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)加正數(shù)，負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)加0，0 加負(fù)數(shù)”進(jìn)行分類歸納；第二層把第一次的歸納結(jié)果進(jìn)一步簡約化，并與數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立聯(lián)系，得到教材上的加法運(yùn)算法則。依據(jù)運(yùn)算次序、運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，說明運(yùn)算步驟的依據(jù)，可以培養(yǎng)同學(xué)們的推理能力。我們先看一個(gè)簡單例子。

例1計(jì)算：

第一步：觀察式子的結(jié)構(gòu)，明確式子中有哪些運(yùn)算？

第二步：按照運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算。

解：原式=

【小貼士】我們分析算式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，從有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律出發(fā)，通過推理，可以得到有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的式子，能用運(yùn)算律的盡量用運(yùn)算律簡化運(yùn)算，從而達(dá)到簡算、優(yōu)算的目的。

2.拓展應(yīng)用，提升學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的靈魂。有理數(shù)運(yùn)算主要涉及數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、分類等數(shù)學(xué)思想方法。

例2綜合運(yùn)用：學(xué)習(xí)了“有理數(shù)”一章后，小奇對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣。他借助有理數(shù)的運(yùn)算，對(duì)于有理數(shù)a、b，定義了一種新運(yùn)算*，滿足a*b=a2+b2-|a-b|+1。

（1）分別計(jì)算2*（-1）和（-1）*2的值。

（2）試探索這種新定義運(yùn)算“*”是否滿足交換律？請(qǐng)說明理由。

（3）當(dāng)a=b時(shí)，若a*b=3，求出a的值。

解：（1）2*（-1）=22+（-1）2-|2 -（-1）|+1=3；（-1）*2=（-1）2+22-（|-1）- 2|+1=3。

（2）滿足交換律。

因?yàn)閍*b=a2+b2-|a-b|+1，b*a=b2+a2-|b-a|+1= a2+b2-|a-b|+1，所 以a*b=b*a。

（3）因?yàn)閍*b=3，所以a2+b2-|a-b|+1=3。因?yàn)閍=b，所以a2+a2-|a-a|+1=3。所以a=±1。

【小貼士】我們可以體會(huì)從特殊到一般的思想，感受代數(shù)的核心思想，即“引入一種新數(shù)，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律”。

“有理數(shù)”這一章涉及的概念較多，同學(xué)們可以嘗試通過建構(gòu)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)圖，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，感悟概念的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究方法，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般觀念。這樣，同學(xué)們的學(xué)習(xí)便能實(shí)現(xiàn)從0 到1（從無到有），從1 到n（從有到所有）的蛻變，以及從n到n+1的創(chuàng)造。