無理數是蠻不講理的嗎？

文／江蘇省泰州市許莊初級中學 李丁一

今天，老師帶領我們結識了一位新朋友——無理數。從名字來看，它好像有點蠻不講理，為什么這么說呢？

教材上說有理數是能寫成分數形式的數，無理數應屬于不能寫成分數形式的數。但不能寫成分數形式，為什么等價于無限不循環小數呢？我想不通，決定換個方向思考。

按照無理數是無限不循環小數，有理數應屬無限循環小數類別。這能行嗎？有理數分為整數和分數，其中有一類分數能寫成有限小數，還有一類分數能寫成無限循環小數。整數和有限小數怎么轉化成無限循環小數？我一不做二不休，繼續探索。

整數和有限小數相對無限循環小數來說，最大的不同是它們是有限個數位。如能找到一種方式將有限轉化成無限，不就解決問題了？我決定先嘗試把整數化成無限循環小數。在我苦思冥想不得其解的時候，老師點撥了我：“會不會有些無限循環小數可以化成整數呢？”我抓耳撓腮，盯著草稿紙上的，若有所思：等式兩邊都乘3，左邊變成1，右邊變成，也就是。我發現了“新大陸”，每一個整數都可以寫成無限循環小數，比如。同理，對于有限小數，也很容易化為無限循環小數，比如0.618。

也就是說，有理數和無理數的分類依據可以是無限循環和無限不循環小數。我趕緊告訴了老師，老師狠狠地夸贊了我，并告訴我，這是一種極限思想，是微積分的基礎。我的心里樂開了花！

教師點評

歷史上對有理數和無理數的界定方式有很多，比如分割說、序列說等。弗賴登塔爾曾這樣描述數學的表達形式：沒有一種數學思想，以它被發現時的樣子發表出來。小作者從疑惑開始，結合教材，對有理數和無理數的分類進行了深入思考，仿佛回到數學結論出來之前的火熱思考階段，非常值得肯定，也建議同學們養成從根源思考的習慣。