改進的L1/2閾值迭代高分辨率SAR成像算法

高志奇 孫書辰 黃平平* 乞耀龍 徐 偉

①(內蒙古工業大學信息工程學院 呼和浩特 010080)

②(內蒙古自治區雷達技術與應用重點實驗室 呼和浩特 010051)

1 引言

合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar,SAR)是一種全天候、全天時微波遙感成像雷達，有著廣泛的應用前景和發展潛力。SAR通過發射大帶寬的電磁波信號，經過脈沖壓縮實現高距離向分辨率，在方位向通過與成像區域的相對運動形成一個大的虛擬孔徑，采用合成孔徑原理提高方位向分辨率。由于SAR在成像領域獨有的優越性，世界各國都在大力發展SAR技術及其成像算法。但SAR在實際工作中會受到各種外界的干擾，從而造成回波數據的缺失，影響SAR成像的分辨率[1]。現有研究表明，可以將SAR回波數據缺失等效為稀疏采樣，借助相關方法提高其成像分辨率，具有重要的應用價值和實際意義。

2006年，由Donoho[2]提出的壓縮感知(Compressive Sensing,CS)理論表明，如果信號可壓縮或在某個變換域是稀疏的，則可以在遠低于奈奎斯特采樣率的情況下精確重構原始信號。CS理論利用信號的稀疏性進行壓縮采樣處理，然后求解一個非線性約束最優化問題，利用稀疏重構算法對其進行恢復。信號的帶寬與重建信號所需的采樣率不直接相關聯，從而可以大幅降低采樣率。在稀疏場景下，雷達回波信號通常可以看作測繪帶少數強散射點回波信號的疊加，具備稀疏性質，因此可以將CS理論應用到SAR成像領域[3–6]。

文獻[7,8]將SAR原始回波數據進行距離向壓縮和徙動校正之后，通過在每個距離門上構建方位向觀測矩陣，利用稀疏重構方法重建圖像。文獻[9]提出，當SAR回波數據量較小時，利用L1/2范數約束優化的重建算法可以重構圖像。文獻[10]提出在SAR非均勻采樣條件下選用正交匹配跟蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)遍歷所有距離單元，可以得到全場景的方位向壓縮結果，并且能夠實現目標的低旁瓣、高分辨率成像。文獻[11]針對條帶模式SAR，提出將條帶數據分塊為多個子孔徑數據，對子孔徑利用CS恢復缺失數據，拼接得到整個條帶數據，縮短了整個數據的恢復時間。

上述方法無論對距離門的遍歷，還是劃分子孔徑拼接成像，都不是直接基于原始數據成像，需要在距離向壓縮和距離徙動校正之后，采用稀疏信號處理方法進行方位向壓縮，不僅不能降低系統的復雜度和采樣率，反而增加了信號處理的復雜性。為了解決上述問題，文獻[12]提出基于近似觀測的CSSAR成像模型，采用了加權L1正則化項的稀疏約束；文獻[13]提出基于L1/2正則化理論的稀疏雷達成像，利用SAR回波模擬算子實現稀疏雷達信號重構；文獻[14,15]針對SAR回波數據方位向任意缺失部分數據下的成像問題，通過改進迭代閾值算法(Iterative Shrinkage Thresholding,IST)有效減少重建誤差，提高了SAR成像質量。

近年來，壓縮感知重構算法是應用數學、信號處理等研究領域的熱點問題。其中，IST算法作為一種求解反問題的優化方法，因其與多尺度幾何分析存在緊密聯系，且具有算法參數少、實現過程比較簡單等特點，已經得到了廣泛應用。然而文獻[16,17]指出IST算法的收斂速度慢，不適合實時性要求高的場景。基于此，文獻[18]提出了加速IST算法：兩步迭代閾值算法(Two-step Iterative Shrinkage Thresholding,TwIST)；文獻[19]提出了一種Nestrerov加速算子；文獻[20]將Nestrerov加速算子結合IST提出快速迭代閾值算法(Fast Iterative Shrinkage Thresholding,FIST)；文獻[21]修改了IST算法表達式中的梯度算子，在每一步迭代的過程中，重構圖像的求解同時依賴前兩步的迭代，得到改進的迭代軟閾值算法(Iterative Soft Thresholding Algorithm,ISTA)，并通過實驗證明在加速IST算法的同時也提高了最優解的稀疏度。上述算法都是基于L1正則化理論，針對一維信號可以獲得較高的重構精度，但對于二維圖像，由于其使用時域的軟硬閾值算子，不能獲得很好的圖像稀疏表示，算法重構精度不高。文獻[22–25]發現凸松弛的L1正則化并不能產生足夠稀疏的解，提出L1/2正則化理論，并證明L1/2正則化比L1正則化能產生更加稀疏的解，即L1/2正則化能夠更加精確地重構原始信號。

本文針對SAR在稀疏采樣條件下，方位向分辨率低、現有稀疏成像算法速度慢等問題展開研究，將SAR近似觀測模型與L1/2閾值迭代過程結合，提出改進的L1/2閾值迭代算法，通過稀疏重構的方式提升目標成像的聚焦性，改善方位向分辨率。從原始數據域出發采用SAR近似觀測模型[26,27]，將成像算子代替觀測矩陣及其共軛轉置，可以使內存的消耗從場景尺寸的平方階降低至線性階，同時基于頻域匹配濾波的快速成像算法可以將計算量從場景尺寸的平方階降低至線性對數階，大大降低了對數據處理器硬件系統性能的要求，同時也降低了計算量。本文分別在全采樣和欠采樣的條件下進行點目標仿真實驗，結果證明了改進算法相比于傳統的Chrip-Scaling算法、L1/2閾值迭代算法在SAR成像分辨率方面有了一定的改善，同時在算法收斂速度方面也有所提高。最后通過實測數據處理實驗證明了本文所提算法成像的有效性。

2 基于近似觀測的SAR成像模型

本文主要研究正側視下的條帶式SAR成像，其模型如圖1所示。SAR距離向的分辨率是通過發射線性調頻(Linear Frequency Modulated,LFM)信號來實現的，方位向采用合成孔徑工作原理和相干疊加成像方法來提高分辨率。

當機載雷達處于復雜工作環境時，可能會造成部分SAR回波信號數據缺失，導致傳統成像方法性能下降。現有研究表明，CS-SAR成像方法不僅適用于滿采樣SAR回波數據提高成像質量，而且在稀疏場景中還適用于欠采樣SAR回波數據的無模糊成像。然而，SAR原始數據在方位向和距離向具有耦合性，直接構建觀測矩陣進行稀疏重構，需將二維滿采樣回波矩陣重新排列為一維向量，當觀測場景的空間尺度較大時，利用觀測矩陣進行稀疏重構將消耗海量內存。基于近似觀測模型的CS-SAR成像算法可以直接面向二維原始回波信號進行成像，有效解決上述難題。

本文以Chirp-Scaling回波模擬算子構建近似觀測模型。Chirp-Scaling SAR成像算法的主要步驟包括：首先在距離多普勒域通過第1次相位相乘實現Chirp-Scaling操作，使所有目標的距離徙動軌跡一致化；然后在二維頻域通過與參考函數進行第2次相位相乘完成距離壓縮和一致距離徙動校正；最后在距離多普勒域與隨距離變化的匹配濾波器進行第3次相位相乘完成方位向壓縮。

基于Chirp-Scaling算法的成像算子可以表示為[12]

其中，Y表示SAR原始二維回波數據；Fr和Fa分別表示距離向和方位向傅里葉變換；分別表示距離向和方位向傅里葉逆變換；Qsc表示Chirp-Scaling解耦算子；Qac表示方位壓縮及相位校正；Qrc表示距離壓縮和一致距離徙動校正；⊙表示Hadamard乘積；ICS:CM×N →CM×N符號是成像算子，M表示方位向采樣點數，N表示距離向采樣點數。

Qsc表達式如下：

其中，D(fh,vr)表示二維頻域中的徙動因子，fh表示方位向頻率，vr表示飛機相對于地面的速度，t與t2分別表示不同的相位中心，Ks表示調頻率。

Qac表達式如下：

其中，ft表示距離向頻率，Rref表示參考距離，c表示光速，Cs表示調制系數。

Qrc表達式如下：

其中，Rs表示目標和雷達的最短斜距，θ表示殘留相位。

由于成像算子ICS(Y)中的矩陣或算符之間的操作都是由矩陣乘法和矩陣Hadamard乘法構成的，所有算符都是線性的，因此推導可以得到其逆成像算子GCS(X)的表達式如下[12]：

其中，X為觀測場景的二維復數圖像數據；(?)*表示矩陣共軛操作；GCS:CM×N →CM×N符號是近似觀測算子。

成像算子ICS和近似觀測算子GCS兩者的關系可以描述為[12]

其中，(?)H表示矩陣共軛轉置。

基于近似觀測模型的CS-SAR成像重構過程可以通過求解如下形式的線性方程來實現：

為了獲得觀測場景的二維復數圖像X，可以利用凸松弛理論，將其轉化基于近似觀測模型的L1正則化問題：

其中，λ>0為正則化參數。

通過求解式(8)可以得到觀測場景的二維圖像。

3 改進的L1/2閾值迭代算法

3.1 L1/2閾值迭代算法

隨著壓縮感知技術的不斷發展，越來越多的研究結果表明，L1范數約束往往并不能保證產生最稀疏的解，也不能在較少的采樣率下精確恢復原始信號。針對其存在的問題，文獻[22-25]研究了如式(9)所示的Lq正則化問題。

研究結果表明，當q∈(0,1/2]時，Lq正則化性能沒有明顯差異；當q∈(1/2,1]時，Lq正則化性能遞減。經過一系列嚴格的數學分析得出結論，q=1/2是Lq(0

基于L1/2閾值迭代算法的一般表達式為

其中，μ為用來控制梯度下降算法收斂速度的參量，；Hλ,μ,1/2表示閾值算子，其具體表達形式為

其中，N代表N×1的矩陣，

從式(10)可以看出，基于L1/2閾值迭代算法僅僅只是梯度下降法的一種擴展，對于每次迭代只利用了當前點的信息進行梯度估計。

3.2 改進L1/2閾值迭代算法

為提高式(9)的迭代收斂速度，文獻[19]提出一種Nestrerov加速算子，文獻[20]將其與IST算法結合，在加快算法收斂的同時，提高解的稀疏度，其迭代計算步驟如下：

步驟1 設置迭代步長

步驟2 引入加速算子

步驟3 用ξn+1代替式(10)中的得到其迭代算法的一般表達式：

該迭代過程在計算下一步迭代點Xn+1時不僅依賴上一步迭代點Xn，還依賴更前一次的迭代點Xn-1。

受上述方法的啟發，文獻[21]計算函數在Xn處的梯度?f(Xn)，在原表達式中減去前一次迭代點Xn-1的一個算子，從而得到新的梯度算子?g(Xn)為

其中，I表示單位矩陣，參數α>0。從而得到改進的迭代軟閾值算法對應的一般表達式：

基于上述原理，本文提出改進的L1/2閾值迭代算法，其迭代步驟具體如下：

其中，n=0,1,???,N。

本文將改進的L1/2閾值迭代算法與SAR近似觀測模型相結合，提出改進的L1/2閾值迭代高分辨率SAR成像算法。該算法的主要過程如下：

輸入：原始回波數據Y，初始化二維觀測場景復圖像X0,v0=0，最大迭代次數Imax。

迭代計算：forn=1:Imax+1

輸出：Xn–1

文獻[20]通過引入文獻[19]中的Nestrerov加速算子對ISTA進行改進，形成FISTA方法；文獻[21]在文獻[20]中迭代過程的基礎上，對ISTA中梯度算子進行改進，形成改進的迭代軟閾值算法并通過實驗證明了其能以更少的測量數對稀疏信號進行恢復。本文在文獻[21]研究結果的基礎上，將其所提方法與L1/2正則化理論結合，形成改進的L1/2閾值迭代算法，并結合近似觀測模型對SAR回波數據進行處理，以提升成像實時性、分辨率等性能。本文所提算法在稀疏場景中同樣適用于欠采樣SAR回波數據的高分辨成像。

4 實驗與結果分析

本節通過設置理想點目標并對其回波數據進行處理，結合SAR實測數據的成像實驗，驗證本文所提改進L1/2閾值迭代算法相比傳統的Chirp-Scaling算法、L1/2閾值迭代算法在改善目標成像分辨率及加快算法收斂速度方面的優勢。

4.1 全孔徑條件下點目標仿真實驗

首先通過點目標仿真方式生成理想的SAR回波數據，然后將傳統的Chirp-Scaling算法、L1/2閾值迭代算法與本文所提改進L1/2閾值迭代算法進行點目標成像聚焦處理，并分別分析各算法成像的實際分辨率，對比3種算法成像的剖面圖，從而驗證本文所提改進算法在改善目標成像分辨率方面的有效性。仿真實驗參數如表1所示。

表1 SAR成像仿真參數Tab.1 Simulation parameters of SAR imaging

點目標布局如圖2所示，共有5個點目標分布在條帶區域中，每個點目標均具有相同的散射系數，并按照表1所示的仿真參數設置，生成二維SAR回波數據。

圖2 點目標位置Fig.2 Point target position

圖3是Chirp-Scaling算法的成像結果圖，從圖中可以明顯看出點目標有著豐富的旁瓣。圖4為L1/2閾值迭代算法的成像結果，可以看出目標的旁瓣大大減少，目標的能量提高，成像質量顯著提升。圖5為本文所提改進L1/2閾值迭代算法的成像結果，可以看出點目標的成像質量相比于Chirp-Scaling算法在聚焦效果上有了顯著的提升，目標的能量明顯提高。

圖3 Chirp-Scaling算法成像結果Fig.3 Imaging results of Chirp-Scaling algorithm

圖4 L1/2閾值迭代算法成像結果Fig.4 Imaging results of L1/2 threshold iterative algorithm

圖5 改進L1/2閾值迭代算法成像結果Fig.5 Imaging results of improved L1/2 threshold iterative algorithm

4.2 點目標成像剖面圖分析

通過點目標成像剖面圖說明所提改進L1/2閾值迭代算法相較其他算法在分辨率方面的優勢。

為了比較每個點目標的分辨率，定義分辨率的計算式為

其中，va為載機沿方位向飛行速度，B為方位向帶寬。

條帶場景區域中點目標1, 2, 3, 4, 5的方位向剖面圖如圖6所示，通過每個點目標方位向的剖面圖可以明顯看出，Chirp-Scaling算法重建目標的方位向分辨率最差，旁瓣的收斂速度也最慢；L1/2閾值迭代算法重建目標的方位向分辨率較Chirp-Scaling算法有了大幅提高，其旁瓣收斂速度也更快；改進L1/2閾值迭代算法重建目標的旁瓣收斂速度雖沒有L1/2閾值迭代算法快，但其主瓣寬度更窄，因此其方位向分辨率較L1/2閾值迭代算法有所改善。

圖6 點目標剖面圖Fig.6 Cross section of point targets

為了進一步驗證改進的L1/2閾值迭代算法在重建目標方位向分辨率方面的優勢，對條帶區域場景中的5個點目標方位向分辨率進行了定量分析，結果如表2所示。通過對比可以看出，改進的L1/2閾值迭代算法的方位向分辨率相較于其他兩種算法更高，從而驗證了本文所提改進算法的優勢。

表2 3種算法中5個點目標成像分辨率分析(m)Tab.2 Imaging resolution analysis of five targets in three algorithms (m)

4.3 方位向缺失數據條件下點目標仿真實驗

為了進一步證明本文所改進算法的優勢，本節通過對SAR回波在方位向分別隨機缺失60%和70%的數據條件下進行點目標成像仿真，并分別比較3種算法重建目標的分辨率。

圖7(a)和圖7(b)是分別在方位向數據隨機缺失60%和70%的條件下Chirp-Scaling算法成像結果。圖8(a)和圖8(b)是分別在方位向數據隨機缺失60%和70%的條件下L1/2閾值迭代算法成像結果，可以看出該方法能夠消除方位向數據缺失導致的目標模糊。圖9(a)和圖9(b)是分別在方位向數據隨機缺失60%和70%條件下改進L1/2閾值迭代算法成像結果，可以看出點目標的成像質量相比于Chirp-Scaling算法在聚焦效果上有了顯著的提升。由此可以證明本文所提改進L1/2閾值迭代算法在方位向數據隨機缺失條件下的有效性。

圖7 Chirp-Scaling算法成像結果Fig.7 Imaging results of Chirp-Scaling algorithm

圖8 L1/2閾值迭代算法成像結果Fig.8 Imaging results of the L1/2 threshold iterative algorithm

圖9 改進L1/2閾值迭代算法成像結果Fig.9 Imaging results of the improved L1/2 threshold iterative algorithm

表3和表4分別是在SAR回波數據方位向數據缺失60%和70%的情況下3種算法對條帶區域場景中5個點目標的分辨率分析，對比表中的數據可以明顯看出，本文所提改進L1/2閾值迭代算法較Chirp-Scaling算法對重建點目標的分辨率有了很大程度的提升，較L1/2閾值迭代算法的點目標分辨率也有一定的改善，因此可以證明本文所提改進算法在成像分辨率方面的優勢。

表3 3種算法中方位向數據缺失60%時5個點目標的分辨率(m)Tab.3 The resolution of five targets with 60% azimuth data missed for three algorithms (m)

4.4 不同信噪比下的點目標成像仿真實驗

在本節仿真實驗中，對理想點目標的回波信號中加入高斯白噪聲，通過設置不同的信噪比來分別驗證已有算法和本文所提改進算法的有效性和可靠性。

圖10為Chirp-Scaling算法、L1/2閾值迭代算法以及本文所提的改進L1/2閾值迭代算法分別在信噪比為20 dB和–20 dB下的成像結果。從圖10(a)和圖10(b)可以看出Chirp-Scaling算法在信噪比為–20 dB的情況下，成像效果明顯惡化。對比圖10(c)和圖10(d)可以看出L1/2閾值迭代算法在–20 dB的情況下點目標的成像效果依舊清晰，并且很好地抑制了旁瓣。從圖10(e)和圖10(f)可以看出本文所提改進L1/2閾值迭代算法在信噪比為–20 dB的情況下依舊能對點目標進行清晰的成像，同樣對旁瓣有良好的抑制作用，由此可以驗證本文所提改進L1/2閾值迭代算法在低信噪比情況下的有效性。

4.5 不同算法運算量分析

為了進一步突出近似觀測模型的優勢，本節分別從空間復雜度和時間復雜度進行分析。假設觀測場景的二維復數圖像和SAR回波信號的網格單元數為M×N，從空間復雜度的角度分析，基于匹配濾波的SAR成像過程不涉及觀測矩陣的建立，故其計算機的內存消耗為M×N。基于精確觀測模型的CSSAR成像由于需要將二維滿采樣回波矩陣重新排列為一維向量，因此其計算機內存消耗為MN×MN。而近似觀測模型是對成像場景和原始回波數據的直接處理，不需要存儲高維度的觀測矩陣，故基于近似觀測的CS-SAR成像算法的計算機內存消耗為M×N。從時間復雜度的角度分析，基于匹配濾波的SAR成像算法的成像過程中主要有FFT,IFFT和相位參考函數的相乘，FFT和IFFT的時間復雜度為O(MNlog2MN)，相位參考函數的時間復雜度為O(MN)。基于精確觀測的CS-SAR成像算法涉及高維度精確的觀測矩陣和一維反射系數矩陣相乘，設其最大迭代次數為I，故其時間復雜度為O(IM2N2)。而基于近似觀測模型的CS-SAR成像算法相比基于匹配濾波的SAR成像算法多了迭代的過程和閾值操作，其時間復雜度為O(IMN)，故其總的時間復雜度為O(IMNlog2MN)。表5所示為不同算法模型的運算量對比。

表5 不同模型的運算量分析Tab.5 Calculation amount analysis of different models

為了驗證本文所提改進L1/2閾值迭代算法在加快收斂速度方面的優勢，本節在不同的采樣率情況下分別用L1/2閾值迭代算法、改進L1/2閾值迭代算法對條帶區域場景中5個點目標進行重建，在相同計算機配置(CPU：i5-7200U；主頻：2.50 GHz；內存：12.0 GB)條件下，通過仿真實驗記錄各算法的重建目標時長，結果如表6所示。

表6 不同采樣率下兩種算法重建點目標耗時時長(s)Tab.6 Time consuming of point target reconstruction by the two algorithms at different sampling rates (s)

表6為當采樣率分別為100.0%,75.0%,50.0%,25.0%,12.5%時L1/2閾值迭代算法、改進L1/2閾值迭代算法對條帶區域場景中5個點目標重建耗時時長。可以明顯看出，在不同采樣率下，L1/2閾值迭代算法重建目標的耗時較長，改進L1/2閾值迭代算法重建目標的耗時較短，并且相比L1/2閾值迭代算法目標重建時間分別下降了約46%。因此，當觀測場景較大時，本文所提改進L1/2閾值迭代算法可以有效縮短重建目標的時間，提升成像的實時性。

4.6 實測數據處理實驗

本節通過實測數據對比分析相關成像算法的性能，分別用Chirp-Scaling算法、L1/2閾值迭代算法和改進L1/2閾值迭代算法，對加拿大航天局發射的RADARSAT-1衛星傳回的SAR數據進行重建成像。表7所示為RADARSAT-1衛星SAR成像參數。

表7 RADARSAT-1衛星SAR成像參數Tab.7 Parameters of RADARSAT-1 satellite SAR imaging

圖11(a)為Chirp-Scaling算法重建結果，圖11(b)為L1/2閾值迭代算法重建結果，圖11(c)為改進L1/2閾值迭代算法重建結果。可以看出，3種算法均得到了較好的成像效果，能夠準確重建稀疏場景中關鍵的艦船目標。比較而言，改進L1/2閾值迭代算法成像結果對目標的聚焦效果最好，有利于后續的目標檢測和參數估計。表8所示為3種算法耗時時長分析，相比L1/2閾值迭代算法，本文所提算法成像實時性更高，具有良好的應用價值。

表8 3種算法實測數據成像耗時時長Tab.8 Time consuming of measured data imaging by the three algorithms

圖11 不同算法的重建結果Fig.11 Reconstruction results of different algorithms

5 結語

傳統的CS-SAR成像模型需要將二維滿采樣回波矩陣和二維待重構圖像向量化，當觀測場景較大時，利用觀測矩陣進行稀疏重構將消耗海量內存，不利于實時成像。為了降低成像時數據處理器的壓力，將基于近似觀測的CS-SAR成像模型應用于成像過程。本文結合近似觀測模型，在L1/2正則化理論的基礎上改進了閾值表達式中的梯度算子，以提升稀疏成像算法的性能。理論分析和實驗驗證表明，相比Chirp-Scaling算法和L1/2閾值迭代算法，所提改進L1/2閾值迭代算法在成像分辨率方面有一定的改善，其收斂速度比L1/2閾值迭代算法有了較大提高，可以在稀疏場景且方位向有數據隨機丟失的情況下對強目標實現快速高分辨成像。