以“數學化”過程探索學生核心素養培育路徑

任 虹（北京第一師范學校附屬小學）

課堂教學過程既是一種共同體的組織和生活過程，又是一個真實的問題解決和實踐過程，這個過程是發展學生核心素養的過程。而數學素養，是人們通過數學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質，通常是人們與周圍環境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的策略。

一、經歷“數學化”學習過程的意義

目前的常態教學，重結論輕過程的現象仍然比較凸顯。許多教師認為讓學生經歷學習的過程沒有得到結論重要，課堂教學的目的就是為了獲得最終的結論。例如，在教學圖形測量內容時，仍存在不同程度的教師講、學生記，認為能夠記住圖形面積、體積的計算公式很重要，應用時學生只是一味地套用公式，只“知其然”，而“不知其所以然”。這種以學生記憶、模仿為主的教學方式，忽略了學生的數學理解，讓學生逐步失去對數學學習的興趣。這樣的教學過程不能培養出學生的必備品格和關鍵能力，不能發展學生的核心素養！

經歷“數學化”學習過程順應了知識的探索過程。借鑒弗賴登塔爾的“數學化”學習過程，即讓學生經歷水平數學化和垂直數學化的學習過程。在這個過程中提倡數學教育要聯系學生的兩個現實，即學生的客觀現實和數學現實?？陀^現實是指學生熟悉的日常生活中的具體事物和從其他學科學習到的經驗；數學現實指的是學生已有的反映客觀世界的各種數學概念、運算方法、規律的數學知識結構。這兩個現實正是發現問題、解決問題的過程。數學概念、公式、運算方法等都屬于數學結構性知識，它們都是靜態的知識。靜態的知識有著動態的形成過程，因為它們是數學家經過不斷探索形成，這個探索的過程無論對培養學生的必備品格和關鍵能力都有重大的意義。

經歷“數學化”學習過程可以發展學生的核心素養。數學課程要培養的學生核心素養，主要包括三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。由此可見，數學的學習過程要幫助學生養成從數學角度觀察現實世界的意識和習慣，形成實事求是的科學態度，養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神。

“數學化”學習過程致力于學生思維能力的發展和學習方法的掌握，鼓勵學生去探索，通過動手實踐去獲取知識，在實踐中培養應用意識、達成共同理解、加強與同伴之間的交流，利用獲得的數學思想、方法，解決生活中的問題。教師以知識的形成過程為線索，從中鍛煉思維、提升能力、錘煉品格。由此可以看出，數學化的學習過程是發展學生核心素養的有效路徑。

二、探索“數學化”教學路徑

“數學化”過程顧名思義就是要讓學生經歷知識的發生、發展過程，在主動探究的過程中培養學生數學思維獲得研究的方法，積累研究的經驗，提高分析問題、解決問題的能力，促進學生的可持續發展。參考弗賴登塔爾的“數學化”理論，探索出課堂教學實施路徑。

該路徑主要讓學生經歷三個數學化的過程。首先是水平數學化，將生活問題轉化成數學問題；然后是垂直數學化，利用數學思想、方法進行探索、研究，得出結論；最后又回歸水平數學化，利用研究的結論解決生活問題。

教師要引領學生經歷發現問題、探索問題的過程，從中獲得思想、方法，提高研究的能力，積累研究的經驗，最后再解決生活中具體問題，體驗數學的應用價值。

三、實踐“數學化”教學路徑

（一）建立生活聯系，經歷水平“數學化”過程

對接學生的生活經驗，建立生活與數學聯系，讓數學研究更有價值，同時增進學生學習數學的興趣。

在學習“長方形、正方形的面積”這一內容時，我將它融入生活中的裝修情境中，借助生活經驗理解情境逐步抽象出數學問題。

為了讓居住環境更漂亮，準備給小明家的電視背景墻鋪上壁紙。選好壁紙后，找到了一家專業的鋪壁紙公司，收費標準40 月/m2。

師：看到收費標準，你會想到什么？

生：小明家電視墻有多大和最后一共付的總價。

師：這兩個問題之間有關系嗎？

生：電視背景墻的大小決定了最后應付的總價。

師：看來電視背景墻的大小問題很重要，你認為這是數學中的什么問題？

生：是長方形的面積問題。

生：或者是正方形的面積問題。

數學為人們提供了一種認識和探究現實世界的觀察方法。在不斷抽象出數學問題過程中，學生用數學的眼光觀察世界，將數學知識與生活世界建立聯系，實現數學知識與生活經驗的溝通，這就是水平數學化的過程。這個過程讓學生感受到學習數學的意義，拉近了數學與生活的距離，增進了學習數學的熱情。學生經歷數學知識的產生過程就是數學抽象的過程，這個過程伴隨著思維的邏輯性，逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識和習慣，發展好奇心、想象力和創新意識，促進了核心素養的形成。

（二）貫通方法聯系，經歷垂直“數學化”過程

數學是培養人的理性思維。張奠宙先生這樣解讀數學理性：獨立思考，不迷信權威；尊重事實，不感性用事；思辨分析，不混淆是非，嚴謹推進，不違背邏輯?？磥?，理性思維對培養學生的核心素養意義重大。如何讓學生獲得“長方形的面積=長×寬”的結論？如何幫助學生在數學知識的探索過程中培育理性思維？教育家蘇霍姆林斯基曾說“兒童的思維就在手指尖”。

筆者為學生提供了3 個大小不同的長方形，并提出了合作探究的問題：這3 個長方形的面積是多少？用你喜歡的方法進行研究。根據學生已有的學習經驗，產生了三種方法。方法（1）將面積單位鋪滿，數出面積單位個數；方法（2）擺一行一列，用每行面積單位個數×行數=面積單位總個數；方法（3）用直尺測量長和寬，長×寬=長方形面積。在動手操作中理解“面積”的本質。這三種方法呈現了學生已有認知發展過程，從單一的用面積單位一個一個量得出度量結果，發展為尋找元素關系得到度量結果，它們本質是相同的，即度量圖形中包含多少個面積單位。

在辨析中溝通聯系，培育學生的理性思維，提升思維的深刻性。在比較方法（1）和方法（2）時，學生很快發現，雖然方法（2）沒有擺滿，方法（1）擺滿了，但是本質是一樣的，都是用相同面積單位量；不同的是方法（1）是數出面積單位的個數，方法（2）是算出面積單位個數，相比方法（2）更加簡便。

方法（2）和（3）的聯系比較隱蔽，對學生來說比較難觀察，需要經歷數學抽象、數學推理、數學建模的過程。在這個過程中，教師要充分發揮主導作用，給學生營造主動質疑的學習氛圍，讓學生有話敢說、有話能說、有話會說。

師：對比“長×寬=長方形面積”與“每行個數×行數=面積單位個數”兩種方法，結果是一樣的，你有疑惑嗎？

生：為什么結果是一樣的？是巧合嗎？

此時，有的學生感覺這不是巧合，但又不知所云，這就需要我們為學生深度思考推波助瀾。

師：是巧合嗎？我們再來算算另外兩個長方形的面積，看能不能解開這個迷謎。

師：兩種方法的計算結果依然相同，你還認為是巧合嗎？

生：我認為應該是巧合。一種是用面積單位“小正方形”去量，一種是用直尺去量，一個是面積單位一個是長度單位，單位不同，怎么會一樣呢？

師：對呀！怎么會一樣呢？看來還是數據巧合！

生：不是巧合！我們已經知道邊長為1 厘米的正方形面積是1 平方厘米，因此，每個小正方形的邊長都是1 厘米。第一幅圖中一行有5 個小正方形，說明長是由5 個1 厘米組成，一列有3 個小正方形，說明寬是由3 個1 厘米組成；所以一行有幾個1 平方厘米，長是幾厘米，有這樣的幾行，寬是幾厘米。

此時的學生恍然大悟，發現：長度代表的是面積單位的個數。理性的思考過程就是垂直數學化的過程。用數學的思維思考現實世界，借助數學抽象與數學推理，凸顯度量本質，促進學生對長方形面積計算方法的深度理解。數學思考的過程中，離不開數學語言的表達。通過嚴格的邏輯分析，揭示內在的關系，這種嚴謹、求真的理性思維，這種批判質疑的學習品質，是學科育人的過程，是發展核心素養的關鍵。

（三）遷移研究經驗，回歸水平數學化

數學知識之間關聯性強、系統性完整，這使數學學習有較高的可遷移性。學生自主完成正方形面積的推導，表達結論的過程，是對學生學習方法、研究經驗的檢驗。

師：根據我們的研究經驗，你認為正方形面積的計算方法是什么？

生：正方形的面積=邊長×邊長。

師：為什么？你能具體說說嗎？

生：長方形的長相當于正方形的邊長，長方形的寬相當于正方形的邊長。根據長方形面積=長×寬，得出正方形面積=邊長×邊長。

師：你將長方形與正方形建立了聯系，根據長方形面積的計算方法推理得出了正方形面積的計算方法。還可以怎么得到正方形的面積呢？

生：我將正方形的邊長與每行個數和行數建立聯系，因為每行個數和行數相等，所以邊長×邊長=正方形面積。

在遷移中，學生感悟到了數學學科特有的理性與邏輯、變化與發展、辯證與統一。按照數學化的實施路徑，最后回到水平數學化“解決電視墻的面積問題”，完成探究任務，形成閉環。

《長、正方形的面積》一課關鍵在于對學生度量意識的培養和對圖形結構化的認識，通過“數學化”教學路徑很好的得以實現。學生在“數學化”的學習活動中，能夠主動將生活問題轉化成數學問題，在探索中能夠運用比較、找聯系的方法，在新舊知識之間建立聯系，在單位化的過程中，發展量化的數學思想。應該說數學化的教學路徑很好地實現了“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”核心素養培育目標。