算法視角下的微積分

焦華

（貴州商學(xué)院，貴州貴陽 550014)

微積分的英文名稱——calculus，來源于拉丁文中的“石子”“演算”詞語，換句話說,微積分的本質(zhì)就是一種演算法則或計算方法。因此不要覺得微積分有多神秘，它就像大家熟知的加減乘除四則運(yùn)算一樣，只是眾多計算方法中的一類算法而已。

從微積分字面釋義來看:微分——顧名思義就是事物微小的部分——事物似零非零的部分，這個似零非零的部分從哪里而來？它是從某個事物整體無限細(xì)分得來，這是化整為零的過程；而積分——它是積累、累積的部分，是無限求和的過程。和之前正好相反，它是求微小部分的和，也就是求似零非零部分的和，這是積零為整的過程。微元法是用定積分解決實際問題的基本思想、基本方法，其本質(zhì)就是先化整為零，再微元替代，最后積零為整。

1 高級語言中的函數(shù)概念

圖1 函數(shù)調(diào)用返回的樹型模塊圖

函數(shù)是微積分的主要研究對象，函數(shù)的極限、函數(shù)的連續(xù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分、函數(shù)的積分是貫穿微積分始終的內(nèi)容。函數(shù)是科學(xué)史上流行了200多年的一個基本概念，因此深刻地影響了其他學(xué)科……計算機(jī)過程化高級語言中的函數(shù)其實就是程序代碼中的子程序，更有甚者C 語言里的主程序也是函數(shù)(main()主函數(shù)），強(qiáng)大的高級語言的一個重要指標(biāo)就是它擁有豐富的內(nèi)部函數(shù)。圖1是C語言中的一個函數(shù)調(diào)用返回的樹型模塊圖[1]。

函數(shù)調(diào)用返回、參數(shù)傳遞、局部量與全程量、嵌套調(diào)用與遞歸調(diào)用等是很多高級語言的重點和難點[2]，教學(xué)過程中學(xué)生往往感到困惑和無所適從，但從微積分的角度看，也就是一個有限次的多重復(fù)合函數(shù)而已。

2 函數(shù)的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索

函數(shù)的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索，而編程計算函數(shù)增量很簡單。函數(shù)改變量（增量）的定義如下：設(shè)x0為函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)一點，自變量x在x0處取得增量Δx，Δx=x-x0，x=x0+Δx 在定義域內(nèi)，則f(x0+Δx)-f(x0)稱為在x0點的函數(shù)增量（或改變量），記為Δy。用示意圖表達(dá)如下[3]：

函數(shù)y=f(x),由自變量增量Δx產(chǎn)生函數(shù)增量Δy,

用函數(shù)圖形表示如下（含Δx > 0 和Δx < 0 兩種情形）：

圖2 函數(shù)（正）增量圖

圖3 函數(shù)（負(fù)）增量圖

下面將會看到微積分中的重要概念和內(nèi)容和函數(shù)增量有關(guān)：

定義說明函數(shù)連續(xù)表達(dá)的是自變量的微小變化只會引起對應(yīng)函數(shù)的微小變化。

2)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)求導(dǎo)的算法步驟如下：

①計算函數(shù)的增量：Δy=f(x+ Δx) -f(x);

3)函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上有定義，x0和x0+ Δx在此區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)增量Δy=f(x0+ Δx) -f(x0)可表示為Δy=A· Δx+o(Δx)，這里A是和Δx無關(guān)的常數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在x0點處可微，并稱A· Δx為函數(shù)y=f(x)在x0點相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即：dy=A· Δx。

將以上定義通俗化，如果在某點的函數(shù)增量Δy用自變量增量Δx 線性表示，誤差僅是Δx 一個高階無窮小，則稱函數(shù)f(x)在此點可微,微分dy即是函數(shù)增量Δy的線性主部。

重要定理：函數(shù)y=f(x)在x0點處可微的充要條件是它在x0點處可導(dǎo)，而且微分和導(dǎo)數(shù)關(guān)系是：dy=f′(x0)· Δx[3]。

4)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用——邊際與彈性

邊際與彈性從語義上理解，只能是指定狀態(tài)下的微小改變。這里反映的是函數(shù)的絕對變化率和相對變化率（絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)）。具體概念對比表述如下：

取Δx= 1，即自變量在x處改變一個單位時，若這個“單位”很小或相比x值很小時，則：

即Δf≈f’(x)，此式的意義是：當(dāng)自變量在x 處改變一個單位時，函數(shù)f(x)的改變量可近似用f’(x)來表示，即改變了f’(x)個單位，此為邊際的經(jīng)濟(jì)意義。

取Δx/x= 1%，即自變量在x處相對改變1%時，

上式的意義是：當(dāng)自變量在x處相對改變1%時，函數(shù)f(x)的相對改變量大致為Ey/Ex%，此為彈性的經(jīng)濟(jì)意義。

5)不僅微積分上述的基本概念和函數(shù)改變量有關(guān)，微積分中重要的定理、公式也和函數(shù)改變量有關(guān)。比如：拉格朗日中值定理：f(b) -f(a) =f′(ξ)(b-a)。

結(jié)論：函數(shù)的改變量（增量）是貫穿微積分始終的線索。這部分涉及的極限運(yùn)算可用高級語言中的循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，由循環(huán)語句中的條件表達(dá)式控制精度。

3 定積分的近似計算

定積分是積分學(xué)中重要的內(nèi)容，起源于生產(chǎn)實踐中面積和體積等的計算問題。回顧初等數(shù)學(xué)中面積計算的相關(guān)內(nèi)容：（由）長方形面積的定義→（推出）平行四邊形面積公式（拼接法）→（推出）三角形面積公式（拼接法）→（推出）梯形面積公式（拼接法）→“窮竭法”“割圓術(shù)”得到圓面積公式。數(shù)學(xué)中的重要概念并非無中生有，而是從客觀世界的現(xiàn)實原型中抽象出來的，比如“曲邊梯形的面積問題”“變速直線運(yùn)動的路程問題”都是定積分的現(xiàn)實原型，抽象得到的定積分定義后，數(shù)學(xué)家們辛勤探索得到定積分的性質(zhì)、定理、公式等，理論完善后再應(yīng)用現(xiàn)實原型中。整個過程中有抽象之美、演繹推理之美、空間想象之美、應(yīng)用之美等。定積分在微積分中是需要花時間講清楚的概念，其嚴(yán)格定義簡述如下[4]：

其中f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,[a,b]稱為積分區(qū)間。

由于對于任意的分法結(jié)果一樣，可等分區(qū)間得：

近似公式為：

解：注意到該實例屬于“積不出來”的積分，無法用牛頓—萊布尼茨公式得到結(jié)果，只能考慮利用計算機(jī)進(jìn)行近似計算。將區(qū)間[0,1]進(jìn)行十等分，設(shè)分點為xi(i= 0,1,...,10),設(shè)其相應(yīng)的函數(shù)值為：yi=e-x2i(i=0,1,...,10),列出表格如表1[5]。

表1 等分點函數(shù)值表

根據(jù)左矩形公式，計算得：

根據(jù)右矩形公式，計算得：

根據(jù)梯形公式，計算得：

由梯形公式得到的結(jié)果實際是前面兩個值的平均值。

該實例算法的偽代碼表示如下[6]：

1)定義常量n=10，這里的n代表對區(qū)間n等分。

2) 定義有n+1 個分量的數(shù)組X，其分量為X[0],X[1],X[2]...X[n]。

定義有n+1個分量的數(shù)組Y，其分量為Y[0],Y[1],Y[2]...Y[n]。

利用y[i]=e-x2[i],i= 0,1,2...n對數(shù)組Y循環(huán)賦值。

4) 根據(jù)左矩形公式，通過循環(huán)實現(xiàn)累加求和得到S1；

根據(jù)右矩形公式，通過循環(huán)實現(xiàn)累加求和得到S2；

根據(jù)梯形公式，通過循環(huán)實現(xiàn)累加求和得到S3。

5)輸出S1，S2，S3。

綜上所述結(jié)論是：微積分就是一個大算法，是一系列演算法則的集合。