穩健自適應波束形成算法綜述

陳明建,胡振彪,陳懷進,胡鈞超

(國防科技大學電子對抗學院,安徽 合肥 230037)

0 引言

標準Capon波束形成器在理論上具有十分優良的性能,通過約束期望信號無失真輸出,同時最小化輸出功率,達到增強有用信號同時抑制干擾信號,提高陣列輸出信干噪比的目的。自適應波束形成技術已廣泛應用在陣列雷達、語音信號處理、醫學影像等領域[1-3]。然而,在實際應用中通常存在各類失配誤差,期望陣列響應與實際陣列響應出現偏差,導致陣列處理的干擾抑制能力下降、有用信號“自相消”等現象,因此穩健自適應波束形成技術一直是陣列信號處理研究方向[4-10]。

穩健自適應波束形成技術主要分為以下兩大類：第一類是對協方差矩陣進行處理,代表性算法有對角加載類法[11-19]、協方差矩陣重構法[20-40];第二大類是對導向矢量進行處理,代表性算法有線性約束最小方差法[41-43]、特征空間法[44-47]、最壞情況性能最優法[48-52]、導向矢量估計法[53-55]、協方差矩陣擬合穩健Capon波束形成法[56-60]。對角加載類法是對數據協方差矩陣進行正則化修正,改善矩陣的條件數,使得加權矢量估計更為精確。該算法的關鍵問題就是加載因子難以選擇。文獻[17—19]提出了自動對角加載穩健自適應波束形成算法,利用嶺回歸技術自動計算加載系數,解決了加載量難以選擇的問題。文獻[41—43]提出的線性約束最小方差法通過增加線性約束,波束的主瓣被展寬,避免了因期望信號來波方向(direction of arrival, DOA)的不確定性造成的信號自消現象,但方法僅對DOA失配有效,同時線性約束消耗陣列系統的自由度,引起旁瓣升高或者干擾零限變淺。文獻[44—47]提出的特征空間法在高信噪比情況算法性能較好,但在低信噪比情況下信源估計不準確,信號子空間與噪聲子空間估計有偏差,從而導致投影矩陣構造不準確,算法性能下降。最壞情況性能最優法是將導向矢量約束在不確定集中,使得導向矢量誤差在一定范圍內時波束形成仍能保持較理想的性能,但算法性能受限于導向矢量模約束參數選取,計算復雜度較高。

為了進一步解決上述問題,文獻[20]率先提出在自適應波束形成技術中引入了協方差矩陣重構思想,通過低分辨率的譜估計方法得到干擾信號的方向,利用Capon譜重構干擾噪聲協方差矩陣,該方法依賴于每個干擾信號方向和功率估計精度。在此基礎上文獻[21—22]提出了基于Capon 空間譜在干擾信號來波方向區域進行積分的重構算法,無需估計每個干擾信號方向和功率估計,然而由于它在求積分的過程中僅考慮了信號的方向估計誤差,導致在陣列存在幅相誤差、位置誤差、互耦等陣列誤差時在低SNR情況下算法性能將下降。文獻[23]將期望信號的導向矢量約束在環面不確定集中,解決存在任意陣列模型失配時波束形成器的SINR性能下降的問題,提高了算法在其他陣列模型誤差時的適用性。但該算法導向矢量計算較為復雜,且模約束參數選擇仍然是個難以選擇的問題。文獻[26—27]提出基于干擾信號DOA估計和功率估計的重構算法;文獻[28]提出利用SCB算法求得噪聲功率和信號協方差矩陣,然后在消除殘留噪聲后利用子空間技術得到期望信號導向矢量,并通過投影變換重構出干擾協方差矩陣。文獻[30—31]提出了基于特征分解估計干擾信號導向矢量,然后利用Capon 譜估計其干擾信號功率。文獻[32]對基于協方差矩陣的穩健自適應波束形成進行綜述。文獻[33]提出基于迭代自適應方法重構干擾加噪聲協方差矩陣,通過迭代求解信號的波形得到功率估計值。文獻[38]采用多項式擬合估計期望信號導向矢量,進一步提高了算法的穩健性,避免了采用優化算法求解導向矢量,減小了計算量。

本文首先介紹標準Capon波束形成的信號模型及誤差影響分析;然后,從協方差矩陣重構和導向矢量估計兩個方面對穩健自適應波束形成算法進行綜述;最后,通過仿真實驗對幾種典型穩健自適應波束形成算法性能分析,并對穩健自適應波束形成算法研究方向進行展望。

1 信號模型

1.1 Capon波束形成器

假設M元各向同性均勻線陣接收遠場K個相互獨立的窄帶信號,波束形成器在t時刻輸出可表示為

y(t)=wHx(t),

(1)

式(1)中,x(t)∈K×1、w∈M×1分別是陣列接收的信號和權矢量,符號表示復數集合,(·)H表示復共軛轉置。

x(t)=xs(t)+xi(t)+n(t)=A(θ)s(t)+n(t),

(2)

理論上干擾加噪聲協方差矩陣Ri+n可寫為

(3)

標準Capon波束形成器的數學模型可表示為

(4)

用Lagrange乘子法求得Capon波束形成器的權向量為

(5)

由式(5)可知,最優權矢量wopt是Ri+n和a0的函數。

1.2 誤差影響分析

若接收信號不含期望信號或者快拍數足夠多,傳統Capon波束形成算法能達到最優性能,但實際應用中存在各種誤差的影響,導致期望信號的導向矢量和數據協方差矩陣估計存在誤差,此時Capon波束形成SINR性能將受各類誤差的影響。下面分析導向矢量失配和數據協方差矩陣誤差對算法SINR性能的影響。

1) 導向矢量誤差

(6)

(7)

2) 協方差矩陣誤差

若假定陣列接收信號滿足獨立高斯分布,文獻[44]證明數據協方差矩陣誤差可以等效導向矢量誤差,若不存在期望信號導向矢量誤差,則由短快拍數據引起的SINR性能損失小于3 dB需滿足

N≥SINRopt(M-1)?M。

(8)

2 穩健自適應波束形成算法

2.1 協方差矩陣重構

協方差矩陣估計誤差主要是由短快拍,或者數據的非平穩等因素引起,從而導致協方差矩陣的噪聲特征值的擴散。本文主要討論短快拍引起樣本協方差矩陣估計誤差時的穩健方法。下面分別介紹三種協方差矩陣重構方法。

2.1.1基于廣義線性組合的協方差矩陣估計

(9)

(10)

式(10)中,收縮因子α、β分別為

(11)

考慮到α、β估計與R有關,而實際中R無法獲得,因此采用如下式估計ρ,即

(12)

且滿足如下關系

(13)

將式(13)代入式(11)可得

(14)

(15)

將收縮因子α、β估計值代入式(9)可得

(16)

2.1.2基于Capon空間譜的協方差矩陣重構方法

文獻[21]在2012年提出基于Capon譜估計的協方差矩陣重構思想,可寫為

(17)

上述基于Capon波束形成的協方差重構算法優點是無需估計干擾信號方向和功率,但需要已知陣列流型,即導向矢量a(θ)精確已知。為了拓展該算法的應用場景,文獻[23]將干擾信號導向矢量約束在某個球形不確定集中,即

(18)

其中參數ε應滿足

(19)

高維圓環形不確定集示意圖如圖1所示。

圖1 基于環形不確定集導向矢量示意圖Fig.1 Steering vector diagram based on circular uncertainty set

(20)

為了簡化計算,式(20)可寫為

(21)

(22)

重構的干擾加噪聲協方差矩陣可表示

(23)

該算法對任意誤差引起導向矢量失配具有較好的穩健性,在高信噪比SNR 時其性能優于文獻[21]所提算法。但在低信噪比SNR時,算法中的近似處理會導致重構值與真實值有較大偏差,導致算法性能下降,同時干擾信號真實導向矢量未知,因而無法確定最優的ε值。

2.1.3基于干擾信號導向矢量和干擾功率估計的協方差矩陣重構

文獻[27]提出將干擾信號導向矢量都約束在一個不確定集內,通過如下約束優化問題

(24)

式(24)中,δ為常數,上述優化問題的解可以寫為

(25)

計算第i個干擾信號功率

(26)

(27)

文獻[28]提出對干擾信號導向矢量和干擾功率估計,從而得到協方差矩陣。

首先,估計信號協方差矩陣

(28)

(29)

(30)

(31)

則干擾信號協方差矩陣估計值可表示為

(32)

重構出干擾加噪聲協方差矩陣為

(33)

2.2 導向矢量估計

2.2.1基于特征子空間的導向矢量估計

特征子空間算法核心是空間譜估計中的子空間理論,對數據協方差矩陣特征分解可得

(34)

式(34)中,λm,um,m=1,2,…,M分別為特征值和特征向量。不失一般性,假定特征值按照降序排列,即滿足λ1≥λ2≥…≥λM,若信號與干擾的個數為K,則前K個特征值對應的特征向量張成的空間就被認為是信號子空間,表示為Es=[u1,u2,…,uK],Λs=diag{λ1,λ2,…,λK}為前K個特征值構成的特征矩陣。

(35)

特征子空間算構造信號子空間的投影矩陣,并對假定導向矢量進行投影修正,將不屬于信號子空間的成分從假定導向矢量中去除,從而估計出更加準確的期望信號導向矢量。若在高信噪比時,且信號加干擾的數目準確已知時,該方法對導向矢量誤差具有很好的穩健性,但如果上述假設條件不成立,則算法的穩健性能將急劇下降。這是因為在低信噪比時或者信號源個數未知時,極易發生子空間纏繞,引起信號子空間估計出現誤差,從而導致波束器的穩健性能下降。

2.2.2基于優化技術的導向矢量估計

1) 基于協方差矩陣擬合的導向矢量估計

期望信號導向矢量不確定集可以建模為非退化橢球不確定集和退化橢球不確定集。當導向矢量約束為非退化橢球不確定集時,協方差矩陣擬合算法模型為

(36)

當導向矢量約束為退化橢球不確定集時,子空間擬合算法模型為

(37)

式(37)中,B為給定的M×L(L

2) 基于序列二次規劃的導向矢量估計

首先定義一個正定矩陣

(38)

式(38)中,Θ為期望信號來波方向所在角度區域。

(39)

2.2.3基于多項式擬合的導向矢量估計

文獻[38]提出最小化期望信號空間倒譜,利用多項式擬合得到期望信號空間倒譜,即

(40)

其中,[θ1,θ2]屬于期望信號的預估計方向區域。

將式(40)寫成多項式擬合問題,即

(41)

式(41)中,Q為多項式階數,ci為多項式系數。若定義向量c=[c0,c1,…,cQ-1]T,ψ=[1,θ1,…,θQ-1]T,則式(41)可以通過最小二乘算法求解,即

(42)

易得最優解為

(43)

3 仿真實驗與分析

為了驗證對角加載法[21]、特征空間法[23]、基于協方差矩陣重構[36]和導向矢量估計算法[38]的性能,假定陣元數為10的均勻線陣,陣元間距為半波長,空間3個相互獨立的窄帶信號入射,其中1個為有用信號,2個為干擾信號,接收噪聲為復高斯白噪聲,干擾信號與噪聲功率比為30 dB,采樣快拍數為100,所有實驗結果均為100次蒙特卡羅實驗得到。

仿真實驗1存在指向誤差波束形成算法的SINR性能

假定期望信號存在指向誤差Δθ=4°。圖2為陣列輸出SINR與SNR關系曲線。圖3為在SNR=20 dB時陣列輸出SINR與快拍數關系曲線。

圖2 存在指向誤差SINR隨SNR變化Fig.2 SINR versus SNR when pointing error

圖3 存在指向誤差時SINR隨快拍數變化Fig.3 SINR versus snapshots when pointing error

由圖2可知,在高信噪比時文獻[21,23,36,38]方法性能明顯優于對角加載法、特征空間法。通過對協方差矩陣和導向矢量聯合估計提高了算法穩健性能。由圖3可知,文獻[21,23,36,38]穩健算法的SINR能夠較快收斂于最優值SINR。

仿真實驗2存在幅相誤差時波束形成算法的SINR性能

圖4 存在幅相誤差時SINR隨SNR變化曲線Fig.4 SINR versus SNR when amplitude and phase error

圖5 存在幅相誤差時SINR隨快拍數變化曲線Fig.5 SINR versus snapshots when amplitude and phase error

由圖4可知,文獻[21,23,36]中陣列若存在幅相誤差、互耦、陣列位置誤差等,均采取不確定集思想解決導向矢量誤差的問題,但該類算法性能依賴于模約束參數的選擇,若約束參數選擇不當,算法性能將下降,而文獻[38]提出了基于多項式擬合求解導向矢量,避免了不確定集模約束參數難以選擇的問題,算法性能接近最優SINR值。由圖5可知快拍數接近100時文獻[38]算法性能漸進收斂于最優值。

仿真實驗3導向矢量存在相干局部散射時波束形成算法的SINR性能

圖6 存在相干散射時SINR隨SNR變化曲線Fig.6 SINR versus SNR when coherent scattering

圖7 存在幅相誤差時SINR隨快拍數變化曲線Fig.7 SINR versus snapshots when coherent scattering

從圖6、圖7可知,當導向矢量存在相干局部散射時,文獻[21,23,38]算法的性能明顯優于其他3類算法,陣列輸出SINR接近最優值,且在短快拍時陣列SINR性能損失較小。

4 結束語

本文以自適應波束形成誤差影響分析為基礎,從引起波束形成算法SINR性能下降的主要因素數據協方差矩陣和期望導向矢量分析入手,主要討論了兩大類穩健算法思想：一是在協方差矩陣重構方面,分別是基于廣義線性組合的協方差矩陣重構,基于Capon譜的干擾噪聲協方差矩陣重構,基于方向和功率估計的協方差矩陣重構;二是期望信號導向矢量估計,主要研究了基于特征子空間的導向矢量估計、基于優化技術的導向矢量估計以及基于多項式擬合的導向矢量估計。

上述各類穩健算法從不同角度提高了自適應波束形成器對陣列響應誤差的穩健性,在以下幾個方面還需持續深入研究：1) 文中所提出的自適應波束形成算法,均假設信號和干擾為遠場平面波,這對雷達、聲納等場景的波束形成比較適合,但對于室內通信、醫學成像等場景,來波信號不滿足遠場假設,即為近場非平面波的波束形成問題,如何將協方差矩陣重構和導向矢量估計的思想引入近場模型的問題;2) 文中討論的信號和干擾信號均為窄帶信號,隨著寬帶信號在SAR成像、雷達探測、寬帶通信等領域的應用,穩健寬帶信號的自適應波束形成技術是未來重要的研究方向;3) 文中所提的陣列噪聲模型為均勻高斯白噪聲,實際的噪聲模型可能是空間非高斯色噪聲,如何提高自適應波束形成算法在非高斯色噪聲背景下的穩健性能,是自適應波束形成技術在實際應用中必須解決的關鍵問題。