含間隙實驗教學平臺動力學建模、仿真與試驗

姜 帥， 劉成哲， 趙茂然， 楊 揚

（1.山東科技大學電氣信息系，濟南 250031；2.山東科技大學機械電子工程學院，山東青島 266590；3.山東科技大學斯威本學院，濟南 250031）

0 引 言

機械系統的動力學分析教學中，機構的精確動力學建模與分析能夠有效培養學生發現問題和解決問的能力，有利于加深學生對機構運動規律的認識和理解，具有舉足輕重的作用。機構作為機械設備的骨架用來實現機械系統的運動和動力傳遞，是直接影響機械裝備性能的關鍵因素。然而，由于制造精度的限制、裝配的需求、材料的磨損和變形使得機構的運動副存在間隙，運動副間隙使得機構的預期行為與其實際結果之間產生重大偏差，嚴重影響機構的精度和穩定性［1］。此外，移動副作為眾多機構末端執行器與機架的重要連接部分，其間隙會直接影響機構的整體輸出響應，進而導致機構混沌現象的產生［2］。而在實際教學過程中，通常只考慮了機構的理想狀態，忽略了機構中的運動副間隙，不利于培養學生聯系實際的能力。因此，為增加學生對實際工況的認識，相關專業學生應具有分析含間隙機構動力學特性的能力。

目前，不少學者對含間隙機構進行了研究。Amiri等［3］研究曲柄滑塊機構和曲柄搖桿機構在存在轉動副間隙的情況下的動力學行為，并提出了一種控制方案，旨在抑制間隙對機構的不良影響。Miao 等［4］建立了具有間隙運動副的平面機械臂多體系統的數學模型，研究了間隙尺寸、間隙連接位置、間隙連接數和潤滑對平面機械臂動力學響應的影響。Wang 等［5］基于改進的非線性沖擊力模型和改進的摩擦力模型，提出一種研究含轉動關節間隙多體動力學動態響應的綜合方法。Li等［6］采用有效的接觸面離散化方法和拉格朗日方法建立了考慮轉動副磨損間隙曲柄滑塊機構非線性動力學方程。Zhuang 等［7］獲得了一種基于Archard磨損模型的有效磨損預測方法，提出了一種基于蒙特卡羅模擬的運動學可靠性分析方法，并通過對曲柄滑塊機構進行實驗測試，驗證了磨損預測方法的有效性。Erkaya 等［8］研究了轉動副間隙和柔性關節的耦合作用對曲柄滑塊機構動力學響應的影響。孫杰等［9］提出一種含間隙鉸接的航天器剛柔耦合動力學建模與控制方法，分析了鉸鏈參數、轉動慣量、間隙尺寸和間隙數目對航天器姿態運動和結構振動的影響作用。鄭延豐等［10］基于有限質點法，對平面四桿機構和曲柄滑塊機構開展了動力分析，證明轉動副間隙對機構位移和速度影響不大，對加速度影響較大。Wu等［11］基于拉格朗日方程法推導了考慮移動副間隙曲柄滑塊機構的運動方程，對考慮移動副間隙的曲柄滑塊機構進行了非線性特性分析。Qian 等［12］提出了一種區分碰撞過程中滑塊與導軌之間位置關系的接觸檢測方法，并通過含移動副間隙曲柄滑塊機構進行了仿真驗證。Wu等［13］提出了一種應用于移動副間隙關節中的接觸力模型，該模型引入了斜面碰撞的影響，并基于ANSYS/LS-DYNA 軟件的仿真結果，驗證了該模型的準確性。張宏閣［14］通過ADAMS 對考慮轉動副間隙和移動副間隙的牛頭刨床六桿機構進行虛擬仿真分析，研究混合運動副間隙對機構動力學特性的影響機制。

為強化學生理解機構動力學分析理論知識，培養學生的精確建模與分析能力，提高學生的實踐動手能力與創新意識，激發學生的學習興趣，本文以考慮移動副間隙二自由度九桿機構為研究對象，聯合運用MATLAB，SolidWorks和ADAMS 軟件進行仿真計算，并通過搭建實驗教學平臺進行實驗驗證。增加了教學過程的多樣性、直觀性和生動性，培養了學生的創新思維，使學生更加全面地了解機構的精確動力學建模與分析方法，助力教學質量的穩步提升，使教學更加貼近實際工況。

1 含移動副間隙機構動力學模型

1.1 移動副間隙模型建立

移動副間隙模型示意圖如圖1 所示?；瑝K長度為L，滑塊寬度為WT，滑塊厚度為T，導軌兩內側面間的距離為HT。移動副間隙值可以表示為

移動副間隙的分析模型如圖2 所示。om和on分別為滑塊和導軌的質心，Om-xmym為滑塊局部坐標系，On-xnyn為導軌的局部坐標系，O-XY為系統坐標系。

設置P、Q、R和T為導軌上可能與滑塊接觸的幾何約束點，Am、Bm、Cm和Dm為滑塊的4 個轉角，An、Bn、Cn和Dn為導軌上最靠近滑塊轉角的點。由于滑塊上每個角點的位置方程相似，以A 點為例。構件i上任意一點H的位置矢量為

式中：ri為構件i的質心在固定坐標系下的位置矢量；Ai為轉換矩陣為任意一點H在局部坐標系下的位置矢量。

滑塊上點Am和導軌上點An之間的位置矢量可以表示為

導軌的法向向量可以表示為

式中，txT和tyT分別為切向向量tT在X和Y方向上的分量。

當滑塊和導軌之間發生碰撞時，δT和nT是共線且方向相反?；瑝K和導軌發生碰撞的條件可以表示為

滑塊和導軌的嵌入深度為

1.1.1 法向碰撞力模型的建立

如圖3（a）所示，當2 個相鄰滑塊的拐角與導軌發生接觸時，滑塊和導軌之間產生的碰撞力作用在嵌入區域的質心上，碰撞力可以表示為

圖3 滑塊與導軌接觸方式

式中：剛度系數

a是滑塊矩形接觸側面周長的1/2，a=T+L（見圖1）；σm=（1 -υ2m）/Em；σn=（1 -υ2n）/En，Em和En為彈性模量；υm和υn為泊松比。

如圖3（b）所示，當1 或2 個相對滑塊拐角與導軌表面發生接觸時，假設接觸是發生在球面和平面之間，接觸力模型為

式中：

Rmn是滑塊轉角的曲率半徑；D為阻尼系數，

1.1.2 切向摩擦力模型的建立

修正的庫倫摩擦力模型解決了速度為0 附近時由摩擦方向引起的數值積分不穩定的問題［15］。修正的庫倫摩擦力模型為

式中：cf為摩擦因數；cd為動態修正系數，其表達式為

v0和v1為給定的速度極限值。

1.2 含移動副間隙多連桿機構動力學模型建立

1.2.1 結構特征描述

二自由度九桿機構簡圖如圖4 所示。該機構由機架、曲柄1（L1）、連桿2（L2）、連桿3（L3）、曲柄4（L4）、機架5（L5）、擺桿6（L6）、三副構件7（L71，L72，L73）、連桿8（L8）以及滑塊9（S9）構成。曲柄1、4 通過電動機驅動，滑塊在導軌中做往返直線運動。本文研究的二自由度九桿機構具有較好的運動特性，例如：下死點處滑塊運行速度低且平穩、良好的急回特性、良好的柔性特性、機構承載能力強等，該機構能較好的應用于混合驅動多連桿機械壓力機的主傳動機構。

圖4 二自由度九桿機構簡圖

移動副間隙值cT為0.5 mm，滑塊的長度L 和寬度WT都為50 mm，厚度T為35 mm，機構恢復系數ce為0.9，彈性模量Em、En為70 GPa，摩擦因數cf為0.15，曲柄1 的轉速ω1為-90 r/min（曲柄4 的轉動方向相反），曲柄4 的轉速ω4為90 r/min。各構件的質量和轉動慣量參數、幾何參數，如表1 所示。

表1 質量和轉動慣量參數

1.2.2 考慮移動副間隙多連桿機構的動力學模型

基于參考點坐標法對構件進行描述，每個構件可用3 個廣義坐標進行表達，分別為構件質心位置的橫坐標、縱坐標以及構件旋轉的角度。構件的廣義坐標可以表示為

式中：i=1，2，3，4，6，7，8，9；xi和yi分別是構件i質心位置的橫坐標和縱坐標；θi是構件i的轉角。

系統的廣義坐標可以表示為當機構存在移動副間隙時，系統的位移約束方程可以表示為

求式（14）關于時間的一階導數可得含移動副間隙機構的速度約束方程

式中：Φq為位移約束方程的雅可比矩陣，Φq=?Φ/?q；為廣義坐標的一階導數；Φt=?Φ/?t。

機構的Jacobian矩Φq陣可以表示為

對式（15）關于時間求一階導數可得加速度約束方程

系統動力學方程為

式中，M、λ和g 分別為系統的質量矩陣、拉格朗日乘子和廣義力。

為提高求解的穩定性，Baumgarte提出一種違約穩定算法，將位移和速度約束引入到加速度約束方程中，提高求解穩定性。

2 含移動副間隙機構虛擬樣機模型

將二自由度九桿機構的Solidworks 模型導入ADAMS中，對模型中的各構件添加材料屬性、對運動副添加約束條件，對曲柄添加驅動約束，并對滑塊和導軌之間的移動副建立移動副間隙建模。含移動副間隙的二自由度九桿機構的虛擬樣機仿真圖，如圖5 所示。

圖5 二自由度九桿機構虛擬樣機仿真模型

3 含移動副間隙機構實驗平臺

為了驗證所建立含移動副間隙模型的正確性，搭建了如圖6 所示的實驗平臺。利用加速度傳感器獲取滑塊的數據，通過LabVIEW 軟件將數據提取出來，并運用MATLAB將數據繪制出加速度曲線。

圖6 二自由度九連桿機構試驗平臺

通過更改滑塊的截面尺寸來改變移動副間隙值的大小。理想情況下，滑塊的橫截面尺寸為40 mm ×15 mm。當加工間隙尺寸為0.5 mm 的移動副間隙時，對應橫截面尺寸為39 mm×15 mm，如圖7 所示。

圖7 間隙尺寸為0.5 mm移動副滑塊

4 含移動副間隙機構動力學分析

4.1 含移動副間隙機構動力學理論結果分析

滑塊位移、速度和加速度曲線如圖8 所示。由滑塊運動特性曲線可知，移動副間隙對滑塊位移的影響較小，幾乎與理想曲線重合；滑塊位移曲線在理想曲線周圍出現了微小的波動，可見移動副間隙對滑塊速度的影響大于對位移的影響；滑塊加速度曲線相較于速度曲線和位移曲線，則出現較為劇烈的振動，并出現了較大的振動峰值。

圖8 滑塊位移、速度和加速度曲線

圖9、10 為間隙處碰撞力和中心軌跡圖。由于滑塊與導軌之間存在間隙，使得滑塊在導軌中的運動是隨機的，滑塊在導軌中的運動軌跡相對混亂，進而導致滑塊在導軌中產生碰撞力，并且碰撞力出現振動和峰值的時間與加速度曲線出現振動和峰值的時間基本一致。可見移動副間隙對加速度和碰撞力的影響較大，對位移和速度的影響較小。

圖10 間隙處中心軌跡

4.2 含移動副間隙機構虛擬樣機仿真結果分析

基于虛擬樣機仿真模型開展虛擬樣機仿真分析，含移動副間隙二自由度九桿機構的虛擬樣機仿真實驗結果，如圖11 所示。

圖11 虛擬樣機仿真實驗結果

由虛擬樣機仿真結果可知，滑塊位移受間隙的影響較小，速度在理想曲線附近出現輕微的波動，加速度則受移動副間隙的影響較大，出現了劇烈的振動。通過虛擬樣機仿真結果和理論結果的對比分析可知，理論結果和虛擬仿真結果在位移和速度的圖像中一致性較好，在加速度曲線的峰值上出現一定誤差，主要原因在于理論計算模型和虛擬仿真模型在建模方法和求解方法上可能存在一定的區別，導致了誤差的存在，但是加速度曲線的趨勢基本保持一致，銅鼓理論結果與虛擬仿真結果的對比可以基本驗證理論模型的正確性。

4.3 含移動副間隙機構試驗結果分析

滑塊加速度實驗結果圖如圖12 所示。通過圖8（c）、圖11（c）和圖12 對比分析可知，理論結果、仿真結果和實驗結果的趨勢具有較好的一致性，在峰值和振動頻率上存在一定誤差。當機構存在移動副間隙時，試驗結果出現峰值的次數要比理論計算結果和仿真分析結果少。原因在于，為了保證滑塊在導軌中的穩定運行，對導軌的表面進行了潤滑處理，而理論計算及仿真分析忽略了滑塊與導軌之間的潤滑作用。同時，構件會產生一定的彈性變形，進而吸收一部分能量，導致加速度曲線出現峰值的次數減少。此外，測量精度也是誤差產生的重要原因。因此，試驗基本驗證了理論模型的正確性。

圖12 滑塊加速度實驗結果圖

5 結 論

為培養學生對機構動力學建模、仿真、試驗的研究和分析能力，針對移動副間隙對多連桿機構動態特性造成的影響，本文開展了含移動副間隙機構動力學建模、仿真與試驗研究，增加教學過程中的生動性、多樣性和綜合性，激發學生的學習興趣，通過實例研究方便學生更好地理解機構動力學的建模、仿真與試驗。

（1）基于拉格朗日乘子法，建立了含移動副間隙多連桿機構的非線性多體動力學模型。采用龍格庫塔法求解含移動副間隙多連桿機構的動力學方程。

（2）建立了含移動副間隙二自由度九桿機構的虛擬樣機仿真模型。

（3）搭建了含移動副間隙二自由度九桿的試驗平臺，驗證了含移動副間隙機構的非線性多體動力學模型的正確性。

本文通過理論建模、虛擬樣機仿真和試驗等方法的聯合運用，將為高精度和高性能多連桿機構的非線性動力學研究提供系統且完善的理論依據與研究方法體系，使學生更好地理解機構的動力學建模與分析方法，進一步提高學生解決復雜工程問題的能力，有助于提高教學質量。