信息技術與數學課程整合探析
——以“一元二次函數圖像”為例

董曉婧 吳貴春 龍周萍

浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004

0 引言

教育信息化逐步推進，新興技術逐漸與課程深度融合以支持教育教學發展變革，信息技術與教學方法、教學內容的深層次整合有利于推動教學創新、優化課堂教學、提升教學活動質量。信息技術與課程的整合就是將信息技術有效地融入教學過程中，構建一種既能充分發揮教師主導權，又能充分體現學生主體地位的新型數字化、信息化的教育模式[1]。Python 是一門簡單、易學、兼容性強的編程語言，其作為大數據、人工智能等領域的基礎學科內容受到教育部門高度重視的同時，也是一項支持跨學科問題解決、促進課程整合的重要技術手段。將Python 融入數學教學中能提升數學學習的趣味性，培養學生的發散思維。作為編程語言，Python 具有邏輯性、嚴謹性，與數學學科特點高度重合，二者能相互融合、相輔相成，共同作用于學生計算思維提高。基于此，筆者以“一元二次函數圖像”為例設計了Python與數學課程整合的案例，總結教學設計過程中的經驗及相關建議，以期為廣大的教育實踐者提供借鑒，促進信息技術與課程整合的發展。

1 Python 結合中學數學課程的優勢

1.1 Python 能夠增加數學趣味性

從寓教于樂的意義上來說，增加課程的趣味性能滿足學生喜歡娛樂的天性，使學生獲得精神層面的愉悅體驗，有著獨特的教育價值[2]。教師有效開展教學需要以對學生的充分分析為前提，尊重學生個體成長的客觀規律和充分把握學生的學習特點、生理特點是教師促進學生成長、提高教學績效的重要基礎。喜歡娛樂是每個孩子的天性，也是學生重要的特點之一。數學課程中融入Python 可以改變單調、枯燥的傳統教學模式，將抽象的公式、概念變得更加多變、有趣、具象，將書本上“靜態”的理論、原理轉為“動態”的、“可操作”的知識，讓學生在具身學習中提升學習欲望。此外，在因循守舊的課堂中融入新鮮事物，往往能引起學生的好奇心，吸引學生的注意力，增強學生的課堂參與度。出于好玩的心理，學生對新事物有極強的感知力，注意力總能集中于新奇的事物。Python 的融入改變了傳統數學課程的常態化教學模式，新穎的教學方式會刺激學生對后續教學活動的好奇心，從而引發學生的積極課堂行為，形成積極的學習心理定勢。

1.2 Python 支持數學問題解決利于發散思維養成

發散思維是學生多層次、多視域了解認識客體，多途徑、多通道解決復雜多變問題的重要支撐，也有利于提高學生對客觀事物內涵更全面、系統的認知。良好的發散思維下生成大量的問題解決方案，不僅有利于得到較優的問題解決策略，還能促進學生高階認知能力的發展。基于建構主義理論的隨機通達教學策略[3]就主張對同一內容的學習，要在不同時間、在重新安排的情景下，帶著不同目的以及從不同的角度多次進行，以此達到高級知識獲得的目標。信息技術支持學生對事物或科學問題從多角度進行了解和認知，促進發散思維、橫縱思維的形成[4]。Python 的融入，一改傳統數學問題公式推導、復雜計算、畫圖作輔助線等常規解決方式，為學生解決問題提供了一個新方案、新視角，從而拓寬學生知識視野、促進學生發散思維形成，讓學生養成面對問題時能自己開展“頭腦風暴”以尋求多途徑解決問題的習慣。

1.3 Python 和數學課程整合共促學生計算思維的發展

計算思維是用計算機科學實現的一種解決問題的方法和思維過程[5]，學生計算思維的提高有助于學生解決問題時更具有系統性、嚴謹性和邏輯性，以優化問題解決方案。利用Python 編程語言解決問題的過程就是一個典型的計算思維訓練和培養的過程，解決數學問題時需要對問題整體審視，解法具有相對苛刻的結構形式和嚴密的論證邏輯，與其特點有異曲同工之處。再有，數學問題解決為Python編程提供了目的導向，賦予編程過程中計算思維培養以實在意義；而將Python 編程融入數學問題解決的過程中，附有的計算思維提升又使得數學問題解決擁有更多的過程意蘊。事實上，數學和編程本身就是不能完全區分開的，編程語言的起源和發展就和數學有著千絲萬縷的關系，很多經典的編程例子都是編程語言與數學的結合成果，如“水仙花數”、漢諾塔等等。因此，將Python 與數學課程整合，二者相互疊加交融，能有效促進學生計算思維的提高。

2 教學活動設計——以“一元二次函數圖像”為例

本案例選自浙教版數學九年級上冊，學生此前學習過一元二次函數的概念，圖像的繪制是學習一元二次函數性質的基礎。在掌握描點法的基礎上，學生以小組合作的形式，在Python 中運用arrange 函數繪制一元二次函數圖像。這一過程學生能夠探索多種方法繪制一元二次函數，發散學生思維的同時鍛煉學生的合作能力。教學過程如下。

2.1 情景創設，增強導入趣味性

沉浸式投入，大多是因為向個體呈現的內容與其所在的環境和個性特點十分吻合，根據學生喜歡娛樂的心理創設趣味情境，能有效激發學生學習興趣。教師使用電子白板播放“憤怒的小鳥”游戲視頻，引發學生思考：憤怒的小鳥在未落地前運動軌跡如何？運動軌跡如何表示出來？用游戲吸引學生的興趣，用簡單的視頻引發學生的思考，得出運動的軌跡類似于一元二次函數圖像的結論。進一步分析，此運動軌跡是有邊界的，可以用圖片表示出來。而一元二次函數的自變量是沒有固定范圍的，這就需要定義一元二次函數的自變量從而繪制出一元二次函數圖像。以游戲引發學生思考，引出一元二次函數圖像，改變單調乏味的數學課堂教學方式，可在課堂初始階段激發學生的好奇心。

2.2 協作討論，提升學生的認知深度和廣度

同伴之間的交流有利于學生經驗的分享和思想的碰撞，學生能從他人的講授中認識到自己的不足或了解到更多的問題解決方案。可以小組合作的形式開展繪制一元二次函數圖像的討論。在討論過程中，共有描點法和Python 兩種方法。小組成員分別介紹描點法和Python 的繪制方法。在確定函數和自變量取值是相同的后，學生在上節課的基礎上確定一個形如y=-x2+2x+1 的一元二次函數，進一步確定自變量的取值范圍為-10 到10。在確定自變量取值范圍之后，用描點法或Python 繪制圖像。在描點法中，首先在自變量范圍內確定合適的點數，計算自變量和因變量的數值，然后根據自變量和因變量數值依次描點，最后用平滑的曲線將這些點連接起來。借助Pycharm 軟件繪制圖像需要調用函數。首先，用編程語言表示出這一函數，即y=-x**2+2*x+1。其次，用arrange 函數表示-10 到10 這一區間，arrange 函數可以創建等差數列，也可以用來繪制函數。最后，確定可以繪制圖像的庫。用plt 替代調用的matplotlib.py.plot 庫。依次調用函數庫繪制標題，x、y軸并最終展示圖像，過程如圖1所示。

圖1 函數生成過程

2.3 實踐參與，提升學生計算思維

實踐出真知，技術與課程的融合不僅支持學生的思維能力發展，更促進學生的具身學習，通過“躬行”讓學生“絕知”，以行促知。學生依照思維過程進行上機操作，此過程可以采用小組討論、資源求助、咨詢教師等方式解決問題。實踐過程中，描點組的學生出現因計算錯誤導致圖像繪制錯誤的情況，Python 組有程序運行錯誤等情況。最為典型的問題有生成的圖像類似于不同線段拼接而成，如圖2所示，這是arrange 函數中步長設置過長導致的。正確的圖像如圖3所示，這一問題引發學生對arrange 步長的思考。在運用arrange 函數時，將函數看成數組，然后在此區間進行描點，步長的大小就決定了一元二次函數圖像生成的光滑程度。各小組繪制完成后，對描點法和Python 進行類比。兩種方法各有利弊。描點法可以直觀地表示出函數的對稱軸，但是繪制較麻煩，而且在畫圖像之前需要計算自變量和因變量的值依次描點，容易出現計算錯誤，導致函數圖像繪制出現明顯錯誤。用Pycharm 軟件繪制效率高。繪制不同的一元二次函數，只需改變關鍵代碼，為學生探索一元二次函數的性質奠定基礎。在此過程中，學生在繪制一元二次函數圖像的基礎上也掌握了arrange函數的運用。

圖2

圖3

2.4 操作強化，鞏固學生認知聯結

記憶是知識和技能習得的基礎，而遺忘又是天性使然，可通過有形技術增強學生刺激—反應的聯結，無形的技術引導學生發生高階的認知活動。首先，教師總結學生實踐中出現的問題。例如，描點法中僅將端點連接忽視函數自變量的無限性，arrange 函數中步長設置的問題。強調經典錯誤，引起學生重視，在鞏固知識的同時進一步促進對知識的理解。其次，引導學生分享經驗。在小組協作階段，每一小組碰到的問題和解決問題的方式不可能是完全一樣的，這就體現了交流合作的意義。不同問題不同思維過程，學生分享經驗也是思維回顧的過程，能夠幫助學生吸取經驗拓寬視野。最后，鼓勵學生多加練習。掌握繪制一元二次函數圖像的辦法的同時鞏固arrange 函數的應用。此外，對比不同函數圖像，學生直觀發現圖像的開口、對稱軸、最高點/最低點不相同，而目前學生無法探索出原因來，這也為下節課一元二次函數圖像性質的學習奠定了基礎。

3 信息技術與數學課程整合經驗及啟示

3.1 信息技術能延展數學課程教學空間

教學空間是支持師生互動發生的重要場域，支持教育主體在教學中相互作用、共同成長的同時，也作為客體對教師專業發展、學生綜合素養提升有著重大影響。何克抗教授主張通過信息技術與學科教學過程的有效融合來營造信息化教學環境以實現創新人才的培養[6]。多元、多層次的空間是教師開展多樣化、個性化教學和學生進行多通道、多視域學習的重要基礎。然而，由于數學課程中大多是公式推導、邏輯論證、數理運算等極富理性思維特點的內容，對外在教學空間要求單一，使得傳統的數學課程教學往往局限于以教室為主體的、相對封閉的物理空間之中。隨著信息技術的飛速發展，多媒體技術、電子交互白板等技術早已與課堂深度整合，將傳統的物理教學空間擴展到網絡學習空間，并成為信息化社會中常態化教學的基礎部分。VR/AR 等技術興起并逐步融入課堂教學之中，使得教學空間逐漸向多維度方向發展，有望為單一、枯燥的數學課程教學往多樣、動態化方向改革提供新的契機。如傳統空間幾何知識課程講解中，大多是教師引導學生觀看靜態的教材課本圖形，在大腦中想象立體圖像的構成，但教師很難捕捉學生思維的演繹過程，也無法提供針對性的反饋。借助移動虛擬現實和游戲技術等構建的虛擬空間、網絡空間與數學課程教學空間融合[7]，將內在的、抽象的思維活動過程外顯化、具象化，能有效提高學生的空間感知能力和空間自我效能感。

3.2 信息技術能有效支持數學教學活動開展

教學活動是課程教學開展的動態形式，其本質內涵為師生之間促進學生發展的社會實踐活動[8]。信息技術與教育教學深度融合大大增強了教學活動的豐富性，物化形態的信息技術，如電視、網絡、計算機和電子教材等技術手段為數學教學活動的開展提供支持[9]。課程開始時，教師可根據學生生理特點，利用視頻播放、動畫演示等創設趣味情景，實現對學生的多感官刺激，增加知識趣味性、激發學生好奇心、吸引學生注意力，進而提高學生的課堂投入度，如例中拋物線的講解就利用了“憤怒的小鳥”和流星等例子。信息技術能為教師教學中資源呈現、媒體演示、課堂的監督控制提供支持，同時能作為工具幫助學生獲取學習資源、促進學生認知加工及形成新的學習策略。信息技術支持下的數學教學活動，不僅能提高學生數學學科本身要求的認知能力、邏輯思維能力，還能在借助技術解決數學問題的過程中培養、提升學生的實踐能力，培養學生計算思維和發散思維，提升學生的綜合素養。此外，信息技術提供了一個能實現課程中同步、異步師生交流、生生交流的平臺，有利于形成團結合作的集體作風，打造和諧共進的學習共同體。課程結束階段，信息技術支持教師實施多元化、個性化的評價、反饋。信息技術支持課堂教學過程全息、學生學習數據的標記和記錄，教師能通過技術手段回顧學生學習狀態、數學重難點的掌握情況，從而實現對學生多方位、個性化的反饋。這種基于“教”“學”證據的反饋不僅突破了傳統教學中以成績分數或解題正確頻數對學生進行反饋的局限，還有利于課后對學生認知強化的任務布置，促進教師進行自我評價與反思、調整教學策略。

3.3 信息技術支持數學課程體系重構

信息技術與數學課程整合不僅是將信息技術作為教學工具、學習的認知工具，同時也將其作為重要的教材形態、教學媒體，能將數學課程體系的課程標準、課程內容、課程實施、課程評價等要素融為一體[9]。信息技術不僅有有形的物化技術，還有無形的智能技術，即相關的理論和方法。有形的物化技術能夠拓展數學教學空間、豐富課程教學形態、支持教學活動進行，在整個數學教學實踐過程中起著至關重要的輔助作用，能提升數學教學的效率。智能形態的信息技術作為外部因素從系統層面影響數學教學理論基礎、教學策略選擇甚至整個數學教學過程的設計，理論指導實踐，理論依據的改變往往會使實踐過程也跟著變化。事物總是在不斷地發展進步，靜態的教學體系會在時代前進的洪流中被淘汰，而新技術作為外部因素融入數學課程教學體系，能支持數學課程體系整體變革，新理論、關鍵技術的引入甚至可能對傳統的數學課程體系形成巨大沖擊，讓數學課程發生質的變化。