立足學生本位 發展學科素養
——對一道圓錐曲線題的探究及教學思考

余樹寶 袁 悅

合肥師范學院數學與統計學院 (230601) 合肥工業大學附屬中學 (230009)

圓錐曲線是高中數學的重要內容之一,在《普通高中數學課程標準》(2017年版2020年修訂)中,對“圓錐曲線的方程”做了如下學業要求:能夠根據不同的情境,建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程,能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系,能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題．

縱觀歷年考題,圓錐曲線的考查多以考查圓錐曲線方程與幾何性質,考查直線與圓錐曲線位置的關系為主,滲透著函數與方程、分類與整合、轉化與化歸、數形結合等主要數學思想,對學生的邏輯思維、運算求解等關鍵能力和直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等學科素養要求較高．

為此,筆者以2022年全國乙卷理科第20題圓錐曲線問題教學為例,談談自己的教學過程、設計意圖以及教學思考,供同行參考．

1 考題再現

(1)求E的方程;

2 考題分析

這是一道探索創新情境試題,具體考查橢圓的標準方程、直線與橢圓相交的位置關系下動直線恒過定點等知識．

第(1)問是求解橢圓E的方程,核心條件是給出了橢圓上的兩點坐標,核心考點是用待定系數法求橢圓的標準方程,問題的關鍵是橢圓方程應設為什么樣的形式可以簡化運算．

第(2)問是基于橢圓與直線相交來構建問題,在解題的過程中應先確定目標問題,然后為了實現這個目標,應明確需要的條件以及題目中給出的已知條件．此題的目標問題是動直線HN過定點,需要寫出動直線HN的方程,并將直線方程整理成斜截式y=kx+m,接下來有兩條途徑可求定點:一是通過尋找k,m關系,求定點坐標;二是通過特殊位置發現定點,然后驗證一般情況下動直線也過這一點．具體路徑是先選擇好主變量,求過定點P的動直線與橢圓相交于M,N兩點坐標,然后依次求出T、H坐標,從而得到動直線HN的方程,最后說明動直線過定點．核心考點是橢圓與直線之間的位置關系,以及定點存在并求解．

3 教學設計

基于學生數學能力和素養發展,本節課以問題為導向,采取啟發式、互動式、探究式教學法開展教學．

3.1 探究橢圓方程求解

問題1 橢圓的方程的形式有幾種?求橢圓的方程常用什么方法?

追問:你能確定本題中的橢圓的焦點位置嗎?如果不能,我們該采用橢圓哪種形式的方程?

教師提醒學生在無法確定橢圓的焦點位置時,可考慮將橢圓方程設為Ax2+By2=1,這樣可以避免對焦點位置的討論．

設計意圖:旨在回顧橢圓的方程的表達形式與求解方法,突出在求解橢圓方程的過程中,橢圓方程選擇的重要性,好的選擇有利于方程的求解．

問題2 完成第(1)問需要幾步?請寫出解答過程．

根據上述分析,結合橢圓的標準方程,大多學生應該能夠獨立梳理做題思路、表達解題過程．教師給予學生適量答題時間,待學生完成后,展示解題步驟,并針對科學性和規范性加以點評．

第一步(設方程):設橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)．

追問：我們已經求出橢圓E的標準方程,你能否畫出本題中橢圓的簡圖嗎?

教師要求學生根據橢圓的標準方程快速畫出橢圓簡圖,為接下來借圖分析問題做好鋪墊．

設計意圖:旨在讓學生通過獨立完成解題過程,提高學生數學語言表達能力和規范書寫能力．另外,建立圖形與代數的聯系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,發展學生直觀想象的數學學科核心素養,強調數形結合的思想在解決圓錐曲線問題的重要性．

3.2 探究動直線過定點

問題3 已知動直線l1的方程是y=kx+2,動直線l2的方程是y=(m+1)x+m,你能分別判斷出l1,l2所過的定點坐標嗎?

學生:對于直線l1,當x=0時,斜率k不影響y的值,此時y=2,所以直線l1過定點(0,2)．對于直線l2,可以將其直線方程整理成y=m(x+1)+x,當x+1=0,即x=-1時,m不影響y的取值,此時y=-1,所以直線l2過定點(-1,-1)．

設計意圖:通過具體問題,幫助學生回顧并理解動直線過定點問題,旨在為第(2)的解決提供解題策略．

問題4 第(2)問中有幾條動直線?哪條是主動直線?哪條是從動直線?動直線HN的位置最終取決于哪條動直線?

教師給學生思考的時間,進行小組討論．

學生:三條動直線MN,MT,HN,其中過點P的直線MN是主動直線,其位置的變化影響著直線與橢圓相交的交點M、N,其中M點的變化決定點T的位置,從而影響點H的位置,所以動直線HN的位置最終取決于動直線MN．

此時教師再次提醒學生應當根據題意,先畫出簡圖(如圖1),并借助圖形來分析．

圖1

設計意圖：旨在讓學生感知本題中所涉及到的直線,除了直線AB,其余的都是動直線,并且各個交點都與主動直線MN存在著內在關系．

問題5 要確定過點P(1,-2)的動直線MN的位置,我們設直線MN的斜率為k,是不是最好的選擇?

學生思考并回答．以往的解題經驗告訴我們,若直線l斜率一定存在,則設直線方程為y=kx+m,否則均需要補充說明斜率不存在的情況．若直線l的斜率不可能為0,則可設直線方程為x=ty+n．此題中,顯然直線MN的斜率不可能為0,所以我們為了避免討論,我們最好設直線MN的方程為x=t(y+2)+1,即x=ty+(2t+1)．

設計意圖：基于前面的分析,我們有必要先確定直線MN的方程．大多數學生習慣于設直線的斜率,易忽視斜率不存在的情形．另外,也基于減少運算量和運算步驟,提醒學生過定點的直線有兩種設法．

問題6 接下來我們將按怎樣的路徑來走?

學生:先將直線MN和橢圓方程聯立,得(4t2+3)y2+8t(2t+1)y+8(2t2+2t-1)=0．

追問1：需要求方程的根嗎?

追問2：你能否根據M,T,H三點之間的關系,來表示出點H(xH,yH)的坐標嗎?

學生:第一步先求點T的坐標,第二步再求點H的坐標．具體如下:

追問3:由點H,N的坐標能否將直線HN的方程寫成y=○x+□的形式嗎?

教師給予學生思考、計算的時間,鍛煉學生的數學運算能力,并且板書運算過程．

追問4:為了證明直線HN過定點,有必要將○,□用變量t來表示嗎?需要利用什么?

設計意圖:教師通過層層設問,引導學生尋找解題路徑,探究解題技巧,完成解題過程．并在問題解決的過程中,讓學生體會數形結合、函數與方程等數學思想,提升學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學素養．

問題7 本題還有其它的解題路徑嗎?

教師給予肯定,并讓學生課后再思考優化本題解題路徑的好方法,下次課共享．

設計意圖:旨在訓練學生思維,尋求一題多解的方法,追求最佳解題路徑,提高解題效率,積累此類問題解題經驗．同時,這種解法先特殊后一般,可簡化運算過程,也是解決定點問題的一種策略,這種方法體現了特殊與一般的思想．

4 教學思考

4.1 關注學生,實施問題導向

教學的出發點要圍繞學生,尊重學生,適應學生,因材施教．因此,課堂教學中采取啟發式、互動式、探究式的教學法,教會學生學會學習,充分體現學生主體地位,問題是數學的心臟,教學內容設計最好以問題為導向,將綜合性強、思維量大的問題,化為一個個小問題串,引導學生由淺入深,循序漸進,點燃學生思維火花,激發學生求知欲望,持續讓學生體會到問題解決成功的快樂．

4.2 總結方法,重視解題策略

波利亞說過,掌握數學就意味著善于解題．雖然圓錐曲線問題變化多樣,但是題型總是有限的,且各種題型的解決方法和求解思路往往是有一定的規律性．常見的圓錐曲線問題,除本題中的曲線方程求解問題、定點問題,還有定值問題、最值或范圍問題、探索性或存在性問題等等．備考復習時,建議教師多多引導學生學會分析和解決問題,多指導學生總結各種題型的通性通法,讓學生不斷積累解題經驗,以便在應試時快速找到解題策略、完成解答過程．

4.3 滲透思想,發展數學素養

數學思想是解題的精髓．圓錐曲線問題的解決往往需要應用數形結合、轉化、方程、特殊與一般等數學思想,來有效降低思維難度,簡化解題過程,尤其是數形結合思想．盡管解析幾何是用方程來研究曲線,但借助圖形,利用曲線的幾何性質仍是解析幾何問題解決的有效手段．同時,圓錐曲線問題的解決,對學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養要求較高,因此課堂教學時,要重視對學生的關鍵數學能力和核心數學素養的培養和發展,以適應具有選拔性的新高考．