“四析”一道極值點偏移問題

何 燈 田芳松

福建省南平市光澤第二中學 (354100) 福建省福清第三中學 (350315)

極值點偏移問題以導數為背景考察學生運用函數方程思想、數形結合思想、轉化化歸思想解決函數問題的能力,是值得深入探究的課題,更是培養學生數學核心素養的好素材.

1、求解分析

問題(1)研究含參函數的單調性,為問題(2)做鋪墊,較為常規.問題(2)分為兩問,第一問建立在問題(1)的基礎上,需要結合函數f(x)的圖象進行研究.問題(2)的第二問是極值點偏移問題,常見的求解方法有構造函數法,對數平均不等式放縮法,比值代換法等等(參考答案給出了多種解法,此處僅引用其中較為簡單的一種),但待證不等式中含有參數k,這類型問題并不多見.

2、拓展探析

3、延伸賞析

將定理中的變量做適當的代換,可得下列三個推論.

推論3 函數f3(x)=ex(x+μ),若f3(x)=k′有兩個不等實根x1,x2,則k′∈(-e-(μ+1),0),

證明：分別將推論1中x、x1、x2替換為ex、ex1、ex2,得f1(ex)=k′即為f3(x)=k′,式②經上述代換即為式④.

結語解題是數學活動的基本形式和主要內容,數學學習離不開解題學習,故數學教學離不開解題教學.那么,在解題教學中如何培養學生的數學核心素養?

在試題求解分析環節,通過各種策略的比較、各類數學模型的應用、算理與算法的甄別、數學軟件與多媒體的動態演示,能夠很好培養學生數學抽象、直觀想象、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養.在試題拓展探析環節,通過合情推理,將試題從特殊到一般推廣,有助于發展學生的邏輯推理核心素養、創新思維能力.在試題延伸賞析環節,通過各類函數模型之間的結構與關系的抽象、關聯、轉化,各數值之間的分析、比較、換算,有助于發展學生的數學抽象、數學建模、數據分析等核心素養.