由一道高考題的解法引發(fā)的思考*

徐梅香 翟洪亮

江蘇省太湖高級中學 (214125) 江蘇省高贛榆級中學 (222100)

隨著新課程標準的實施,新教材在全國各地的廣泛使用,實行新高考的省市在不斷增加,一些立足“四基”,發(fā)展“四能”,體現(xiàn)“素養(yǎng)”的創(chuàng)新試題將陸續(xù)出現(xiàn)在新高考試題中,現(xiàn)以2022年全國新高考Ⅱ卷12題為例,本文從不同視角對該題進行剖析,指出試題以“數(shù)”的形式呈現(xiàn),考查的是蘊涵“形”的本質(zhì),對考生能力要求較高,凸顯試題的選拔性功能,體現(xiàn)新課程對數(shù)學學科學業(yè)質(zhì)量要求和對學科素養(yǎng)的考查．

一、試題呈現(xiàn)

若實數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

二、試題解析

現(xiàn)從不同視角進行剖析,挖掘試題內(nèi)隱性資源.

1.從數(shù)的視角

由于試題條件中出現(xiàn)兩個實數(shù)滿足等式條件,在選擇支中出現(xiàn)不等式,這容易使考生首先聯(lián)想到運用不等式有關知識進行求解.

由于試題條件中出現(xiàn)二元變量x,y,這也容易使考生聯(lián)想到曲線方程,通過配方,使用三角換元,運用三函數(shù)知識進行求解.

2.從形的視角

由于試題條件中出現(xiàn)二元變量x,y,從所求的選擇支中出現(xiàn)的x+y范圍,x2+y2范圍,容易聯(lián)想到直線與曲線的位置關系,以及圓與曲線的位置關系,通過換元,轉(zhuǎn)化為直線的方程與曲線的方程間的關系,以及圓的方程與曲線的方程間的關系,運用解析幾何知識進行求解.

由解法3和解法4可以猜想方程x2-xy+y2=1的曲線是焦點在直線y=x上的橢圓,如圖1,方程x2-xy+y2=1的曲線在旋轉(zhuǎn)矩陣的作用下,可以轉(zhuǎn)化成標準的橢圓方程．

圖2

由此可見,將直線y=x代入方程可解得橢圓長軸兩個端點的坐標,將直線y=-x代入方程可解得橢圓短軸兩個端點的坐標,還能求出橢圓的離心率等有關問題．

上述解法說明試題以“數(shù)”的形式呈現(xiàn),考查的是蘊涵“形”的本質(zhì),可以從不同的視角為切入口,都能得到試題的正確解答,可見此題入口寬,起點較高,技巧性強,對考生的運算能力和邏輯思維能力要求較高,突出對數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查．

三、試題拓展

上述5種解法中,只有解法1是單純的代數(shù)方法,其余4種解法都涉及方程所對曲線的形狀．因此,加強對圓錐曲線的非標準型方程E:Ax2+Bxy+Cy2=D的研究．特別地:

1.雙曲線具有以下性質(zhì):

(1)曲線E關于直線y=±x對稱;

(2)曲線E的的漸近線方程為x=0和y=0;

(1)曲線E的漸近線方程為x=0和y=ax;

四、教學思考

新高考要求教學應以學生為主體,開展研究型和創(chuàng)新型教學．需要對所學內(nèi)容、近年高考試題進行研究,把握命題趨勢,開展深度教學．

在知識掌握上要注重全面,甚至要適當補充,注意拓展．擴大學生的知識面．促進學生的能力發(fā)展,增強學生發(fā)現(xiàn)問題的能力,應先給予充足時間讓學生獨立思考后,教師再精講點撥,引導多視角引導學生審視問題,認清問題本質(zhì),不斷提高學生自主分析問題和解決問題的能力.