曲線系方程在求解圓錐曲線定值定點問題中的妙用

汪 文 徐章韜

華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 (430079) 廣東省珠海市廣東實驗中學金灣學校 (519040)

筆者在查閱近年的解析幾何高考解答題中,發(fā)現(xiàn)對于圓錐曲線中定值定點問題的考察頻頻出現(xiàn),只不過考察的形式往往不同,為此,筆者另辟蹊徑,借助曲線系方程求解相關(guān)問題,發(fā)現(xiàn)很多問題都能迎難而解．

1.相關(guān)概念界定

曲線系方程就是將具有某種共同性質(zhì)的的所有曲線構(gòu)成的集合,采用含有參數(shù)的方程來表示,這種共同性質(zhì)一般是過幾個定點或者交點．對于一般的二次曲線方程Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,其中有5個獨立參數(shù),故一般地5個獨立條件能確定二次曲線,從而任意三點不共線的五點確定一條二次曲線．對于給定的五點,若其中三點在直線上,另外兩點不在直線上,則通過這五點的二次曲線是唯一的,并且是退縮的二次曲線．我們知道過曲線C1:F1(x,y)=0與曲線C2:F2(x,y)=0交點的曲線系方程為λF1(x,y)+μF2(x,y)=0,同時若Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2)表示兩條直線方程,則方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0可以表示為退化的二次曲線方程．

(1)三條直線的合成(兩條曲線合成的特例)

如圖1,設(shè)Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2,3)兩兩相交于A,B,C三點(這三點不共線),則曲線系(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(A2x+B2y+C2)(A3x+B3y+C3)+μ(A3x+B3y+C3)(A1x+B1y+C1)=0包含所有過A,B,C三點的二次曲線．

圖1

(2)兩條曲線的合成

兩個二次曲線C1:F1(x,y)=0,C2:F2(x,y)=0交于不共線的四點,則同曲線系λ1F1(x,y)+λ2F2(x,y)=0包含所有過四交點的二次曲線系方程．若二次曲線有一個內(nèi)接四邊形,則四條邊所在的直線可分三組:兩組對邊、一組對角線,可用兩組對邊,或一組對邊和一組對角線均可合成過四個交點的二次曲線系．因此如圖2,圖3,設(shè)Li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2,3,4)為四邊形四條邊所在直線方程或者相對兩邊與兩條對角線所在直線方程,則曲線系:(A1x+B1y+C1)(A3x+B3y+C3)+λ(A2x+B2y+C2)(A4x+B4y+C4)=0包含所有經(jīng)過這四點的二次曲線,其中直線L1,L3為相對的兩邊或者兩條對角線所在直線方程.

若過二次曲線上一定點P作兩條直線L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0,交二次曲線與另外兩點A,B,如圖4所示,設(shè)直線AB的方程為A3x+B3y+C3=0,由于點P可以看作圓錐曲線上兩個點無限靠近匯聚成的點,設(shè)圓錐曲線在點P處的切線方程為A4x+B4y+C4=0,則曲線系(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(A3x+B3y+C3)(A4x+B4y+C4)=0表示過A,B,P三點的二次曲線．

若把L1·L2=(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0理解為退縮的二次曲線系,如果它們與F(x,y)=0有交點,那么曲線系F(x,y)+λ(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0經(jīng)過這些交點,如果它們有四個不共線交點,那么曲線系包含所有過此四點的二次曲線．

2.實例探究

評注：此題的參考解答比較繁瑣,計算量偏大,上述借助曲線系方程,簡化了計算量,節(jié)約的結(jié)題時間,效果事半功倍,有興趣的讀者可以查看2020北京卷,2011年四川卷,2010年江蘇卷,解法同上.

評注：在處理過圓錐曲線上一定點作兩條斜率和或者積為定值的直線與圓錐曲線交于另外兩點,則這兩點所在的直線過定點這一類問題,借助曲線系方程能很快求得所過定點,同時助曲線系方程也可以求得兩直線的斜率和或者積為定值,比如2013年江西卷和2015年陜西卷2020年山東卷都是這類問題,有興趣的讀者可以嘗試下.

評注：這類高考題屬于過坐標軸上一定點作直線與圓錐曲線交于兩點,則再坐標軸上存在一定點使得坐標軸為所構(gòu)成角的角平分線問題,借助曲線系方程可以輕松解決相關(guān)問題,比如2015年全國Ⅰ卷,2018年全國Ⅰ卷文科就可以采用上述方法來處理.

評注：此題可以直接利用弦長公式求弦長進行運算,或者借助直線的參數(shù)方程來求解,但采用曲線系方程無疑是比較簡潔的求法,對于圓錐曲線中四點共圓的問題,在2011年全國卷,2104年全國大綱卷,2016年四川文科卷中也考查到了,有興趣的讀者也可以采用上述方法試試.

縱觀近年的高考題,它們都有很多相似的地方,作為教師的我們,如何找出其相似之處,并能歸納總結(jié)出一般的規(guī)律是值得我們思考的．隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展,很多數(shù)學軟件走進數(shù)學課堂,我們要借助這些軟件探究一些動態(tài)過程中隱藏的規(guī)律,這對于提高教師自身的教研水平就顯得尤為重要．