一個加強歐拉不等式的幾何意義及應用*

戴程嘉 劉金強 李春霞

山東省濱州學院理學院 (256600)

為了給出加強歐拉不等式的幾何意義,本文從下面的命題談起.

圖1

由本文得到的不等式鏈可以推出下面的不等式.

其中(2)是(1)的一部分,(1)是原不等式鏈的幾何表示形式,即任意一個三角形外接圓半徑和內切圓半徑的比值不小于該三角形的面積和三條內角平分線與三角形三邊相交形成的新三角形面積的二倍的比值.實際上利用(1)還能得到一些新的不等式.

命題2 如圖2,在銳角△ABC中,AD,BE,CF為三條內角平分線,點M和點N分別為三角形的外心和內心,R和r分別為三角形外接圓和內切圓的半徑,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,則

圖2

圖3

命題4 如圖4,在鈍角△ABC中,AD,BE,CF為三條內角平分線,點M和點N分別為三角形的外心和內心,R和r分別為三角形外接圓和內切圓的半徑,∠AMC=m,∠BMC=n,∠DNE=p,∠DNF=q,則

圖4

運用命題2的方法很容易得到當三角形為直角三角形或鈍角三角形的情況,不同的是直角三角形的外心在斜邊上,因此S△ABC=S△ABM+S△CBM,鈍角三角形的外心在三角形外,因此,S△ABC=S△AMC+S△BMC-S△ABM,其余的證明均與命題2的相同,這里就不再贅述了.