一道橢圓模擬題的解法與結論推廣

湛懷玉

湖南省長沙市南雅中學 (410027)

1 試題呈現

圖1

該試題考查圓錐曲線的綜合應用,涉及的主要考點有:橢圓幾何性質的應用,直線與橢圓位置關系及求最值等.第(1)小題,由于求的是角的余弦值,因而與三角函數、三角恒等變換知識或與向量運算緊密結合,體現知識間的相互滲透應用;第(2)小題,求兩線段長度之積的最大值,設出直線的斜率,以此為參數,表示出長度之積,利用函數或均值不等式求最值.

2 試題解析

首先看第(1)小題的解法.

點評：解法1根據直線MN與直線AC平行,轉化為斜率相等,然后轉化為角的關系.再利用斜率的定義,得到角的三角函數,最后利用三角函數的誘導公式和二倍角公式求解的.

點評：解法2聯立直線與橢圓方程分別求得點M、P的坐標后,轉化為向量坐標,然后利用兩向量夾角坐標公式求得數量積,較為簡捷.

點評：解法3根據直線MN與直線AC平行,轉化為兩向量夾角相等,然后利用兩向量夾角坐標公式求得數量積,充分展現了向量求解夾角問題的優越性.

下面再來看第(2)小題的解法.

下面采用三種解法求解PQ·MN的最大值.

點評：解法1整體設參后將表示為關于參數倒數的二次函數,分離、配方利用二次函數的最值知識求解.

點評：解法2整體設參后將OM2·OP2表示為關于參數倒數的函數,求導、利用導數研究函數的單調性知識求解,體現了導數的工具作用.

點評：解法3首先求得OM2+OP2=5(定值)后,利用重要不等式求得最值.相比而言,解法3是一種最為簡捷的方法,但要注意具備定值和等號成立的條件.

3 結論推廣

在上面解答試題的過程中,我們可以看到,直線MN與PQ的斜率之積為定值,那么對于一般情形的橢圓是否有同樣的結論?經探究,于是我們得到下列結論1.

證明：以A是橢圓長軸的左端點(左頂點),且點P、C、M在x軸的上方為例來證明.

試題第(2)小題是求具體橢圓中PQ·MN的最大值,那么,能否將第(2)推廣為一般情形?經探究,于是我們得到下列結論2.

證明：以A是橢圓長軸的左端點(左頂點),且點P、C、M在x軸的上方為例來證明.