高等數學觀點下尋根探源必要性的入手“點”*

李加軍

北京市第一0一中學懷柔分校 (101407)

初等數學的有些問題需要在高等數學的理論里加以解釋.數學家克萊因指出:“有許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內,才能深刻地理解.基礎數學教師,應該站在更高的視角(高等數學)來審視、理解初等數學問題,只有觀點高了事務才顯得明了而簡單.”[1]因此,高中數學教師許多時候要善于在高等數學的觀點指導下研讀教材、研習習題,從而整體上深度把握數學思想,只有進整體思考,問題才看得清,說得明.比如與函數導數相關的數學內容與問題,我們可以適當聯系高等數學里的中值定理、泰勒展開、洛必達法則求極限等等.下面我將結合一些具體實例闡明高等數學中的費爾馬(Fermat)定理對尋求不等式恒成立的必要性入手“點”的指導作用.

1.費爾馬(Fermat)定理

若(1)函數f(x)在點x0的鄰域(x0-δ,x0+δ)(δ>0)內有定義,并且在此鄰域內恒有f(x)≤f(x0)或者f(x)≥f(x0);(2)函數f(x)在x0點可導,則有f′(x0)=0.

推論1 若(1)函數f(x)在點x0的鄰域(x0,x0+δ)(δ>0)內有定義,并且在此鄰域內恒有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0));

2.實例分析

例1 (北京市海淀區2022屆期末考試題)函數f(x)=aex-sinx+2x.(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(Ⅱ)當a≥0時,求函數f(x)在[0,1]上的最小值;(Ⅲ)直接寫出a的一個值,使f(x)≤a恒成立,并證明.

解析：試題前兩問非常常規,易得答案分別為(Ⅰ)y=(a+1)x+a;(Ⅱ)a.第(Ⅲ)問詳細解答如下:

取a=-1,下面證明-ex-sinx+2x≤-1恒成立,即證ex+sinx-2x-1≥0恒成立,令g(x)=ex+sinx-2x-1,即證g(x)≥0恒成立,求導g′(x)=ex+cosx-2.

(i)當x≤0時,ex≤1,cosx∈[-1,1],此時g′(x)≤0,所以函數g(x)在(-∞,0]上單調遞減,∴g(x)≥g(0)=0,即g(x)≥0成立;

(ii)當x>0時,令p(x)=g′(x)=ex+cosx-2,x>0,p′(x)=ex-sinx,因為ex>1,sinx∈[-1,1],所以p′(x)>0,所以函數g′(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴g′(x)>g′(0)=0,所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴g(x)>g(0)=0.

綜上可知,g(x)≥0恒成立,即f(x)≤a恒成立.

點評：到目前為止,問題仿佛一切皆順利解決,但是學生會提出疑惑:為什么選a=-1?a的值還有沒有其它選擇?這就需要我們借助費爾馬定理給出合理解釋:因為f(x)≤a可以轉化為h(x)=aex-sinx+2x-a≤0=h(0),h(x)滿足費爾馬定理在點0處的條件,所以h′(0)=0,于是可知a=-1是唯一滿足的必要條件,此時知道入手“點”是“h′(0)=0”．從而上述解答順理成章.如此一來,學生有了解答問題的明確依據,不再是猜或者蒙,輕而易舉突破試題解答難點.

解析：(Ⅰ)(Ⅱ)問解答從略.

x(0,x0)x0(x0,1)F′(x)-0+F(x)↘極小值↗

綜上所述可知,k的最大值為2．

點評：本題第(Ⅲ)問求k的最大值.如果學生能敏銳地觀察到第二問中k=2時結論成立,就可以快速想到問題的方向是說明當k>2時,結論不成立,從而減少討論,直接指向解題目標,從而快速有效地解決問題,對提升學生的邏輯推理能力大有裨益．

例3 (北京市海淀區2023屆期中考試題) 已知函數f(x)=ex-asinx．(Ⅰ)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(Ⅱ)當a=1時,證明:函數y=f(x)-2區間(0,π)上有且僅有一個零點;(Ⅲ)若對任意x∈[0,π],不等式f(x)≥2-cosx恒成立,求a的取值范圍．

解析：(Ⅰ)(Ⅱ)問解答從略.

(Ⅲ)令h(x)=f(x)-2+cosx=ex-asinx+cosx-2,則問題轉化為對任意x∈[0,π],h(x)≥0恒成立;又h′(x)=ex-acosx-sinx,令t(x)=h′(x),則t′(x)=ex+asinx-cosx;當a≥0時,若x∈[0,π],則ex≥e0=1,cosx≤1,sinx≥0,∴t′(x)≥0在[0,π]上恒成立,則h′(x)在[0,π]上單調遞增.

①當a>1時,h′(0)=1-a<0,h′(π)=eπ+a>0,∴?x0∈(0,π),使得h′(x0)=0,且當x∈(0,x0)時,h′(x)<0,∴h(x)在(0,x0)上單調遞減,此時h(x)

②當a=1時,h(x)=ex-sinx+cosx-2.當x∈(0,π)時,h′(x)>h′(0)=0,則h(x)在[0,π]上單調遞增,∴h(x)≥h(0)=0恒成立,滿足題意.

③當a<1時,h(x)=ex-asinx+cosx-2>ex-sinx+cosx-2,由②知,對任意x∈[0,π],h(x)>ex-sinx+cosx-2≥0,滿足題意.

綜上所述,實數a的取值范圍為(-∞,1]．

點評：本例同例1一樣問題是學生如何想到的臨界值1呢?問題解決如下,令h(x)=f(x)-2+cosx=ex-asinx+cosx-2,則問題轉化為對任意x∈[0,π],h(x)≥0恒成立;進而將問題轉化為h(x)≥0=h(0)對[0,π]恒成立,于是根據費爾馬定理推論1可知h′(0)=e0-acos0-sin0≥0,于是求得必要條件a≤1,入手“點”是“h′(0)≥0”．這樣我們就可以先給出a=1時成立的證明,進而再證明a>1時結論不成立及a<1時結論成立,從而使得問題順利解決．

例4 (北京朝陽區2021—2022第一學期高三期中試題)已知函數f(x)=tanx-kx3-x,k∈R.

解析：(Ⅰ)答案為y=0,解答從略.

數學核心素養的落實旨在讓學生經歷數學學習活動后,真正成為“數學人”,其特征包括“心中有數”(數學抽象)、“腦中有形”(直觀想象)、“手中有法”(數學建模與數據分析)、“腳下有路”(邏輯推理與數學運算).在核心素養引領下站在高觀點下解決數學問題,猶如賞析美妙的樂章．

授之以魚,不如授之以漁.如果我們立足基礎知識,理解數學基本思想,注重通法通用,深刻領悟數學核心素養,那么問題的解決甘之如飴,回味久長．