例談構(gòu)造函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問題

譚光友

廣東省龍門縣龍門中學(xué) (516800)

在眾多函數(shù)問題的求解中,大家比較熟悉應(yīng)用導(dǎo)數(shù)去解決,通過求導(dǎo)把函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程進(jìn)而求解.但在具體的操作中,面對不同的函數(shù),直接求導(dǎo)再作分析遇到很大困難,以至于求完導(dǎo)便不知所措,找不到解決問題的方向.本文借助一些例題,分析在解決函數(shù)問題中通過構(gòu)造新的函數(shù),對新函數(shù)進(jìn)行分析達(dá)到求解目的.

一、取函數(shù)性質(zhì)明顯的部分構(gòu)造新函數(shù),柳暗花明

有些函數(shù)對整體進(jìn)行分析,其特征并不明顯,表面上看不出解決問題思路.但某部分特征明顯,有顯著的奇偶性,把奇偶性明顯的這部分割裂開來構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)進(jìn)行分析,問題變會(huì)柳暗花明.

分析：由問題g(2x+a)+g(x2-1)>2和g(x)=ex-e-x+sinx+1可看出,直接代入g(x)的解析式來求解不等式,難度較大,困難重重.而根據(jù)問題g(2x+a)+g(x2-1)>2的提示,應(yīng)該與單調(diào)性有關(guān),但不等式右邊不是常數(shù)0,可以考慮通過變化能否變化成h(2x+a)>h(x2-1)模型,結(jié)合條件也比較困難.但仔細(xì)觀察函數(shù)g(x)=ex-e-x+sinx+1,雖然比較復(fù)雜,但g(x)中ex-e-x+sinx這部分性質(zhì)明顯,如果選取這部分構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)h(x),顯然h(x)=ex-e-x+sinx是其定義域上的奇函數(shù),所以g(x)=h(x)+1,g(2x+a)=h(2x+a)+1;g(x2-1)=h(x2-1)+1,故不等式g(2x+a)+g(x2-1)>2就等價(jià)于h(2x+a)+1+h(x2-1)+1>2,也即是h(2x+a)>-h(x2-1),因?yàn)閔(x)=ex-e-x+sinx是其定義域上的奇函數(shù),所以有-h(x2-1)=h(1-x2),即h(2x+a)>h(1-x2),要解不等式,只需要分析函數(shù)h(x)=ex-e-x+sinx的單調(diào)性即可.

事實(shí)上h′(x)=ex+e-x+cosx,因?yàn)閑x+e-x≥2,-1≤cosx≤1,所以h′(x)>0,故h(x)=ex-e-x+sinx是R上的單調(diào)遞增函數(shù).原不等式等價(jià)于2x+a>1-x2在(-1,1]上恒成立.所以有a>1-x2-2x在(-1,1]上恒成立,故a>2.

二、由函數(shù)相同或相近部分構(gòu)造新函數(shù),絕處逢生

有些函數(shù)表面不容易觀察出特征,直接求解也沒有辦法解決.但把函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變化,便會(huì)出現(xiàn)相同或相近的代數(shù)式,以此為基礎(chǔ)構(gòu)造出新函數(shù),可以使問題絕處逢生,達(dá)到求解目的.

三、 根據(jù)條件式子的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù),峰回路轉(zhuǎn)

例3 已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足xf′(x)-2f(x)>0,求不等式f(2021+x)-(x+2021)2f(-1)>0的解集.

如下幾道題都可以采用此方法構(gòu)造函數(shù)使問題得解.

變式1 定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足(x+1)f′(x)ln(x+1)+f(x)<0,比較2f(3),0,f(1)的大小關(guān)系.

變式2 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f′(x)>f(x),求不等式ex-1f(x)

四、牽線搭橋使函數(shù)結(jié)合構(gòu)造新函數(shù),茅塞頓開

對于含ex的函數(shù),在利用導(dǎo)數(shù)解決問題時(shí),盡可能創(chuàng)造條件,使ex與其他函數(shù)結(jié)合,構(gòu)造型如f(x)e±x±a的函數(shù),解題思路茅塞頓開.

例4 (2018全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.若a=1,證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1.

五、棒打鴛鴦離間函數(shù)構(gòu)造新函數(shù),豁然開朗

對含f(x)lnx型函數(shù),想辦法使f(x)與lnx割裂開來,讓lnx獨(dú)立存在,再利用導(dǎo)數(shù)去分析新函數(shù),這樣解決問題的思路逐漸明晰,豁然開朗.

例5 已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-1(a∈R).若函數(shù)f(x)的圖像過(1,0),求證:e-x+xf(x)≥0.

六、改頭換面構(gòu)造新函數(shù),迎刃而解

對含有f(x)ex+lnf(x)型函數(shù),直接求導(dǎo)計(jì)算比較復(fù)雜,若將式子中的f(x)ex改變一下形狀,有f(x)ex=elnf(x)+x,在此基礎(chǔ)上構(gòu)造新函數(shù),使問題迎刃而解.

例6 (2020山東卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.