無黏性土顆粒起動臨界水力梯度的計算模型

趙耀威，李 達，高笑娟，焦 雷

（1.河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽 471023；2.中鐵十五局集團 城市軌道交通工程有限公司，河南 洛陽 471002）

0 引言

滲流作用下，無黏性土顆粒的起動流失作為滲透變形的直觀表現形式，會對砂礫石地基和堤防結構等工程造成嚴重的不良影響［1－3］。相關研究多集中于影響滲透變形發生的土體本身幾何條件和外部水力條件兩方面［4］。幾何條件包括顆粒級配、密實度、孔隙率等，決定土體內部結構的穩定性，并且由土體顆粒級配和相對密度來決定內部結構穩定的方法已經相當成熟［5－7］；水力條件包括水力梯度的大小和方向，是驅動土體顆粒起動流失、導致滲透變形的外部條件，一般采用臨界水力梯度來描述。

對于土體滲透變形的水力條件，研究手段以土體顆粒移動流失的力學分析法為主，根據顆粒在滲流作用下的受力平衡來計算滲透變形發生的臨界水力梯度。太沙基公式便是利用土體顆粒所受的滲透力與其水下浮重相平衡的原理，獲得均勻土滲透變形發生的水力條件［8］，其形式為

式中：icr為滲透變形發生的臨界水力梯度；Gs為土體相對密度，Gs＝γs／γw，其中γs為土顆粒重度、γw為水的重度；n為土體孔隙率。

不同于均勻土滲流作用下局部土體或顆粒群移動流失的表現形式，不均勻土滲透變形的表現形式主要為管涌，即滲流作用下較細顆粒通過較粗顆粒所形成的基質間隙不斷地遷移流失［9］。根據此特點，康德拉且夫認為滲流作用下土體顆粒上作用有3 個力，即顆粒在水中的自重、滲流對土體顆粒產生的拖曳力、滲流產生水頭差分布在單個顆粒上的作用力，并根據力的平衡關系給出了確定臨界水力梯度的關系式［10］：

式中：d0為無黏性土的等效管道孔徑，d為可動顆粒粒徑。

Indraratna 等［11］基于等效孔徑的概念，提出了一種土體中細顆粒沿孔隙通道遷移流失的理論模型；許波琴等［12］在該模型基礎上對顆粒進行力和力矩的平衡分析，探討了顆粒起動方式的影響；王霜等［13］考慮周圍顆粒對水流拖曳力的影響，重新進行顆粒受力的平衡分析，獲得了散粒土管涌發生的臨界水力梯度表達式；Huang 等［14］根據繞固定顆粒滾動的極限力矩平衡條件，得到了考慮相對固定顆粒不同暴露位置的臨界水力梯度計算公式；王明年等［15］在考慮土體有效應力和細顆粒應力折減的情況下，建立細顆粒的受力模型，獲得臨界水力梯度計算公式。

調研發現，眾多學者雖然對顆粒起動臨界水力梯度進行了大量的研究，但是存在忽略特定邊界條件、考慮影響因素單一的問題，鮮有在考慮孔隙管道幾何邊界條件下綜合多種影響因素來計算臨界水力梯度的研究成果，同時，多種因素對臨界水力梯度的影響規律也有待進一步探討。

在已有研究的基礎上，本研究提出了一種考慮多種因素影響的松散顆粒沿孔隙管道起動流失的理論模型。基于變截面孔隙管道的幾何邊界條件，結合劉忠玉等［7］對無黏性土顆粒的分類，對孔隙管道中一般存在狀態的可動顆粒和臨界存在狀態的阻塞顆粒分別進行了起動流失的運動力學分析，引入相對遮擋度、相對暴露度和應力狀態等的關鍵影響因素，根據力矩平衡方程獲得顆粒起動流失臨界水力梯度的計算模型，并利用已有的試驗資料驗證了該模型預測臨界水力梯度的有效性和優越性。此外，還分析了滲流方向、相對遮擋度以及相對暴露度等參數對臨界水力梯度的影響規律。

1 顆粒移動流失的幾何邊界條件

無黏性管涌型土由骨架顆粒和松散顆粒兩類土顆粒構成［7］。根據其滲透變形的表現形式，用一組不相連的流體導管模擬骨架顆粒堆積形成孔隙系統的幾何形狀，形成變截面的孔隙管道模型，如圖1 所示［5］。作為松散顆粒移動流失的幾何邊界條件，這些由骨架顆粒構成的管道平行于流動方向，管道最小孔徑d0和最大孔徑dmax由以下公式確定［7］：

圖1 變截面的孔隙管道模型

其中

式中：λ為土體顆粒的形狀系數，對于球形顆粒λ取6；na為僅由骨架顆粒組成假想土體的孔隙率；e為天然土體的孔隙率；ya為天然土體中松散顆粒的含量，以小數表示；Dh為骨架顆粒的有效粒徑；ΔSi為骨架顆粒中第i粒組的質量含量；Di為第i粒組的代表粒徑。

基于骨架顆粒形成的變截面孔隙管道模型，假設孔隙管道的孔徑為d0，根據Poiseuille 定律，單個孔隙管道的水流流量Q0為

式中：i為管道水力梯度，μw為水的黏滯度。

那么，孔隙管道中的水流流速v為

式中：S為單個孔隙管道的橫截面面積。

2 顆粒起動的理論模型

鑒于變截面孔隙管道對發生移動顆粒粒徑的限制關系，選取直徑d0的孔隙管道單元作為顆粒移動流失的幾何邊界條件，其中心位于流線上，θ表示其相對于豎直軸的方位角。結合無黏性土顆粒的分類，對孔隙管道中可動顆粒的一般存在狀態和阻塞顆粒的臨界存在狀態分別進行顆粒起動流失的運動力學分析，同時，假設孔隙管道單元中水流為穩態流動。

2.1 d＜d0 的可動顆粒一般存在狀態

一般存在狀態下可動顆粒的粒徑大小決定了顆粒并不會以單一粒子的形式存在于孔隙管道單元中，即顆粒起動的運動力學分析需考慮周圍顆粒的影響，為此，引入周圍顆粒的相對遮擋度和相對暴露度兩個參數進行顆粒受力分析。

滲流作用下，可移動顆粒A的受力如圖2 所示，受到的力包括水流拖曳力FD、水下浮重G′、靜水壓力FP、周圍顆粒的支持力N以及顆粒之間的摩擦力Ff。其中：水流拖曳力可利用顆粒在黏滯層流中所克服的阻力計算，其大小與孔隙流速有關，孔隙流速越大，顆粒所受到的拖曳力也越大，作為水流流過粗糙顆粒表面而產生的摩擦力，其方向因受到周圍顆粒的影響不一定沿顆粒的運動方向，而是結合相對周圍顆粒的位置關系，考慮利用相對上游顆粒的遮擋度以及下游顆粒的暴露度來判斷拖曳力的作用方向，即拖曳力方向沿周圍顆粒所形成的理論床面；靜水壓力FP為作用在顆粒投影面積上的水壓力差，結合達西定律可知，其方向與孔隙管道中的水流方向一致。顆粒A運動時，沿周圍顆粒B表面發生滾動，這時的摩擦力即為兩顆粒之間的滾動摩擦力，因其產生的力矩為零，計算時將其忽略。

圖2 一般存在狀態顆粒起動的受力示意

隨著水力梯度的增大，水流對顆粒的驅動作用逐漸增大，最終達到使顆粒A所受各力繞其與下游顆粒接觸點O的合力矩為零時，顆粒A達到極限平衡狀態，此時孔隙管道中的水力梯度即為一般存在狀態顆粒起動流失的臨界水力梯度。

以顆粒A、B之間的接觸點O為中心建立力矩平衡方程：

式中：d為可移動顆粒A的直徑；θ為孔隙管道方向與豎直方向的夾角；β為可移動顆粒的暴露角，即滲流方向與顆粒A、B中心點連線的夾角，其正弦值象征相對下游顆粒的暴露度，可由l2表示，sinβ＝l2／r，r為可動顆粒A的半徑；ψ為遮擋角，即周圍顆粒接觸點連線和其中心點連線的夾角，其正弦值象征周圍顆粒的遮擋度，可由l1表示，sinψ＝l1／r。

靜水壓力FP由達西定律經數學簡化推導得到［11］：

式中：δs為孔隙管道單元的長度，可取δs＝d。

拖曳力FD（阻力）根據Stokes 定律計算得到［16］：

水下浮重G′計算公式為

把以上各力的計算公式代入力矩平衡方程可得一般存在狀態下顆粒起動臨界水力梯度i的計算公式：

2.2 d ＝d0 的顆粒臨界存在狀態

阻塞顆粒作為松散顆粒存在于孔隙管道中的臨界狀態，顆粒起動流失時需考慮其應力狀態的影響。同時，引入Skempton 的應力折減系數α來表示細顆粒因無法完美填充骨架顆?？紫抖惺茌^低應力的折減程度。

假設土體為連續、均勻、各向同性材料，可以看作半無限空間的彈性體，那么自重作用下任意土體單元的應力狀態均可簡化為側限應力狀態，如圖3（a）所示。為了便于分析，沿滲流方向建立mon坐標系，則滲流作用下該土體單元斜截面的應力狀態如圖3（b）所示。

圖3 土體單元的應力狀態［15］

用應力矩陣的形式可以表示為

式中：σm為m方向（平行于滲流方向）的正應力；σn為n方向（垂直于滲流方向）的正應力；τmn為n方向的切應力；τnm為m方向的切應力為滲流作用下土體單元所受到的水平方向有效應力為滲流作用下土體單元所受到的豎向有效應力。

滲流作用下，阻塞顆粒的受力如圖4 所示，受到的力包括孔隙管道的壓力FN、阻塞顆粒與孔隙管道的摩擦力Ff、水下浮重G′和作用于顆粒表面的靜水壓力FP。對于孔隙管道的壓力FN，可將上述斜截面的應力狀態應用于孔隙單元中的阻塞顆粒上求得，同時，考慮阻塞顆粒接觸的實際情況需對其所受應力作出調整。因此，阻塞顆粒不承受m面上的應力，n面上的切向應力因顆粒運動狀態的改變而發生變化，并隨著孔隙管道作用于顆粒上正應力的增大而增大。此外，因阻塞顆粒表面無水流流過，故顆粒不承受水流拖曳力的作用［11］。

圖4 阻塞顆粒受力示意

以阻塞顆粒與孔隙管道的接觸點O為中心建立力矩平衡方程：

阻塞顆粒與孔隙管道的摩擦力Ff按照下式計算：

其中

式中：f為摩擦系數，無黏性土f＝tanφ′，φ′為土體的有效內摩擦角；s為σn的作用面積，取πd2／4。

其余力的計算方式同前，各計算公式代入力矩平衡方程可得臨界存在狀態下顆粒起動臨界水力梯度i的計算公式：

式中：K0為土體的靜止土壓力系數，無黏性土K0＝1－sinφ′。

經過對孔隙管道中兩種存在狀態顆粒的運動力學分析，臨界存在狀態僅有靜水壓力驅動以及受到應力狀態的影響，顆粒起動流失所需要的水力梯度更大，因此出于安全考慮，將一般存在狀態顆粒起動的臨界水力梯度作為無黏性土發生滲透變形的臨界水力梯度。

3 模型驗證

為驗證理論模型對顆粒起動臨界水力梯度預測的準確性，利用有關文獻中所列部分土樣數據進行校驗。數據來源其一是Skempton 等［17］根據自行配制的4 種砂礫料所進行的室內管涌試驗研究，其中試驗土樣C、D 是內部穩定的；其二是Ahlinhan 等［18］利用專門研制的試驗裝置，對5 種不同無黏性土進行的垂直和水平滲流試驗研究，試驗中改變了土樣的初始相對密度且土樣A1、A2 為內部穩定土，故選取土樣A、B、E1、E2、E3 分別進行校驗。需要說明的是不同試驗認定管涌發生的臨界條件存在差異，理論模型中無法選擇統一的顆粒粒徑作為管涌發生的認定顆粒，因此根據已有研究的分析成果，同時出于安全考慮，對于Skempton管涌試驗，假定土顆粒流失量達到土體質量的5%時，所對應的水力梯度為土體顆粒移動流失的臨界水力梯度，即顆粒粒徑取d＝d5（d5為小于該粒徑的土顆粒占土體總質量的5%的粒徑），同樣地，對Ahlinhan 管涌試驗選取d＝d10（d10為小于該粒徑的土顆粒占土體總質量的10%的粒徑）。具體校驗過程如下。

首先，根據天然土體的級配曲線計算界限粒徑xa［7］，劃分骨架顆粒與松散顆粒，然后計算僅由骨架顆粒組成假想土體的有效粒徑Dh，并將該假想土體的孔隙率na和計算所得Dh代入式（3），獲得由骨架顆粒形成孔隙管道的最小直徑d0。各試驗土樣計算結果見表1。

表1 試驗土樣參數及計算結果

其次，引用斜坡上泥沙顆粒相對暴露度的均值計算公式［19］，計算水平滲流條件下顆粒的相對暴露度，取sinβ＝0.785，垂直滲流條件下相對暴露度取值為0.798；對比暴露度與遮擋度，其二者均表示可移動顆粒A 相對周圍顆粒的位置關系［20］，因此考慮遮擋度同暴露度一樣，也假定其分布規律服從偏正態分布，同樣可采用斜坡上顆粒相對暴露度的均值公式計算，其具體取值與暴露度相同。

最后，利用模型實現對試驗土樣臨界水力梯度的預測，并將預測數據與試驗數據的分布散點繪于圖5中。散點分布越靠近圖中45°線，表示數據吻合程度越高，模型預測顆粒移動臨界水力梯度的效果越好。由圖5（a）可以看出，水平滲流條件下，散點位置大致位于45°線兩側，試驗值與預測值之比的均值與1 的偏差為0.109 6，振蕩系數為0.128，兩組數據具有較高的吻合程度；垂直滲流條件下，兩組數據也同樣具有較好的一致性，如圖5（b）所示，試驗值與預測值之比的均值與1 的偏差為－0.003 4，振蕩系數為0.154。經過與文獻方法計算結果［4］比較可知，無論是水平滲流還是垂直滲流，理論分析模型對顆粒起動流失臨界水力梯度的預測都具有較高的準確性，模型的有效性得以驗證。

此外，因理論分析模型對臨界水力梯度的預測公式與康德拉且夫法計算公式具有相同的形式，將其預測的數據點繪于圖5（b）中，可知采用康德拉且夫法預測顆粒移動臨界水力梯度的部分數據點遠離對角線區域，數據誤差較大，試驗值與預測值之比的均值與1 的偏差達到0.260。可見本文提出的計算模型預測顆粒起動臨界水力梯度的準確性顯著優于康德拉且夫法的預測結果。

4 臨界水力梯度的影響分析

4.1 滲流方向

滲流方向角θ與臨界水力梯度預測值icr的關系如圖6 所示?？梢钥闯?，在相同滲流方向下，顆粒起動的臨界水力梯度隨著顆粒粒徑的增大而增大，這與模型試驗的結果一致［21］；而對于相同粒徑的顆粒，雖然垂直滲流臨界水力梯度大于水平滲流臨界水力梯度這一預測結果與Ahlinhan 等［18］的滲流試驗結果相同，但是其變化趨勢受相對下游顆粒暴露位置的影響，隨著滲流方向角的增大，臨界水力梯度呈現先增大后減小的趨勢。

從顆粒受力分析的角度可以做出很好的解釋：在相對暴露度的影響下，不同滲流方向上土顆粒自重對顆粒臨界驅動力的貢獻程度不同。位于孔隙管道單元中的可動顆粒繞其與下游顆粒接觸點滾動時，若滲流方向角小于顆粒的暴露角，則顆粒自重將同樣作為顆粒起動的驅動力，顆粒本身依靠自重便能實現在孔隙管道中的起動流失，隨著滲流方向角的增大，顆粒自重的驅動作用越來越?。蝗魸B流方向角等于顆粒的暴露角，則顆粒自重的驅動作用消失；若滲流方向角大于暴露角，則顆粒自重便成為阻礙顆粒移動的力，并隨著滲流方向角的不斷增大，顆粒自重的阻礙作用越來越大，直至顆粒自重完全成為阻礙力（即自重沿顆粒滾動相反方向的分力等于自重），起動所需臨界水力梯度達到最大，之后伴隨滲流方向角的繼續增大，顆粒自重的阻礙作用逐漸減小，起動所需水力條件便逐漸降低。

4.2 相對遮擋度與相對暴露度

以sinψ表示移動顆粒的相對遮擋度，其值越大顆粒遮擋程度越低；以sinβ表示顆粒的相對暴露度，其值越大顆粒暴露程度越高。周圍顆粒對臨界水力梯度的影響如圖7 所示。

從圖7 中可以看出，移動顆粒的相對遮擋度與臨界水力梯度呈正相關，即臨界水力梯度隨著相對遮擋度的增大而增大；而相對下游顆粒的暴露度與臨界水力梯度因滲流方向的影響而呈曲線相關，隨著滲流方向角的增大，臨界水力梯度隨著相對暴露度的增大而呈現先減小后增大的趨勢。結合顆粒起動流失的理論模型分析，隨著顆粒相對遮擋度的增大，驅動顆粒繞接觸點滾動的拖曳力越來越小，相應地需要更大的力來克服重力力矩；隨著顆粒相對暴露度的增大，一方面，驅動顆粒起動的靜水壓力越來越大，另一方面，隨著滲流方向角的增大，自重對顆粒繞接觸點滾動的驅動作用會逐漸增強或阻礙作用逐漸減弱，均導致顆粒起動臨界水力梯度減小，而當滲流方向角逐漸增大至下游顆粒不再受移動顆粒自重阻礙時，自重對顆粒繞接觸點滾動的阻礙作用又會隨相對暴露度的增大而逐漸增強。由此可知，伴隨滲流方向角的增大，顆粒起動的臨界水力梯度會出現隨著相對暴露度增大而先減小后增大的變化趨勢。

5 結論

針對內部不穩定無黏性土顆粒起動流失問題，本文采用理論分析方法提出了一種考慮多種因素影響的松散顆粒沿孔隙管道起動流失的理論模型。

1）模型綜合考慮相對遮擋度、相對暴露度及應力狀態的影響，經對比分析獲得顆粒起動流失的臨界水力梯度計算公式，其預測值與試驗值吻合程度高以及相對優于康德拉且夫法的計算結果，表明了計算模型預測顆粒起動臨界水力梯度的有效性和優越性。

2）相對遮擋度與臨界水力梯度呈正相關，而相對暴露度與滲流方向角兩參數之間相互作用、共同影響。受相對暴露度的影響，臨界水力梯度隨著滲流方向角的增大而呈現先增大后減小的趨勢；同時在不同滲流方向上隨著相對暴露度的增大，臨界水力梯度又會呈現先減小后增大的變化趨勢。