剛性線圈所受磁場安培力規律的研究
——以2022 年全國高考物理乙卷24 題為例

王偉民，牟銀勇

1.安徽省太和縣宮集鎮中心學校，安徽 太和 236652

2.重慶市育才中學，重慶 400050

1 原題呈現

例題1（2022 年全國高考物理乙卷第24題）如圖1，一不可伸長細繩的上端固定，下端系在邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一個頂點上。金屬框的一條對角線水平，其下方有方向垂直于金屬框所在平面的勻強磁場。已知構成金屬框的導線單位長度的阻值為λ=5.0×10-3Ω/m；在t=0 s 到t=3.0 s 時間內，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B（t）=0.3-0.1t（SI）。

圖1 原題附圖

（1）求t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小；

（2）在t=0 s 到t=2.0 s 時間內金屬框產生的焦耳熱。

2 試題簡評

本題目單題分值高達12 分，是整份試卷中除去必做題最后一題之外單題分值最高的一道題，是必做題的倒數第二題，處于試卷壓軸題的重要位置——單題分值較高、難度相對較大的最后兩三道題目，通常被稱為壓軸題。這也是人們最為關注的試卷的一個板塊，因為壓軸題多為拉開不同能力考生分數差距的題目。

本題內容短小精悍，僅用了200 多字就把需要展示的物理情境交代得清楚明白，體現了編者高超的原創題目的編擬水平。該題內容雖短，但卻是一道綜合性很強的題目，重點考查學生對法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、安培力的計算公式、共點力合成的平行四邊形法則、焦耳定律公式等內容的掌握情況，以及綜合運用物理規律解決復雜物理問題的能力。對于上面的這些知識點，學生有一處未能熟練掌握，都很難正確解答。

3 試題解析

由題目條件可知，在指定的時間段內，穿過閉合線圈的磁感應強度呈線性減小。根據楞次定律可以判斷，正方形線圈中的感應電流是按逆時針方向流動的，如圖2 所示。根據左手定則可以判斷出正方形線圈處于磁場中的兩邊BC 和CD受到的安培力的方向是垂直于導線向下的（圖2）。

圖2 線框所受安培力分析

（1）因為BC 邊和CD 邊長度相等，通過的電流相等，任意時刻它們所處位置的磁感應強度也相等，所以它們受到的安培力相等，F1=F2，且這兩個力都與豎直方向成45°角。把這兩個力平移至共點之后的情形如圖3 所示，F1和F2的合力F便是金屬框所受的安培力。

圖3 力的合成

金屬框中感應電流大小為

t=2.0 s 時金屬框的BC，CD 兩邊所在處的磁感應強度為

B=0.3-0.1t=0.1 T

這時，BC，CD 兩邊所受安培力的大小為

F1=F2=IlB=1 A×0.40 m×0.1 T=0.04 N

所以，F1和F2的合力（即正方形金屬框所受安培力）大小為

（2）由焦耳定律公式可得

Q=I2Rt=（1 A）2×4×0.40 m×5.0×10-3Ω/m×2.0 s=0.016 J

仔細分析能夠看出，這道題的第一問——t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小，最終算出的N 這一結果，既是BC，CD 兩邊所受安培力合力的大小，同時也是把對角線BD 作為導線并處于同一磁場中也通入1 A 的電流時所受安培力的大小。那么，這是一種“偶遇”的巧合，還是其間隱含著一種必然的物理規律？ 答案是后者。

4 垂直于剛性通電線圈平面的勻強磁場對線圈安培力的矢量和為零

為便于同類問題分析及證明的方便，我們提出如下引理：

引理：完全處于勻強磁場中的剛性封閉通電平面線圈，若線圈平面與磁場方向垂直，則磁場對整個線圈各微元安培力的矢量和為零。

先對一種最簡單的情形進行證明——三角形線圈所受磁場安培力規律的證明。

例題2求證：完全處于勻強磁場中的剛性三角形通電線圈，若線圈平面與磁場方向垂直，則磁場對三角形線圈各邊安培力的矢量和為零。

證明如圖4 所示，輕質剛性封閉三角形線圈△ABC 置于紙面內，線圈平面所在的空間存在著垂直紙面向外的勻強磁場。設△ABC 的三邊長分別為a，b，c，磁場的磁感應強度為B，線圈內通入逆時針方向的電流I（注：可以證明，磁場方向或電流方向任意改變時，均不影響結論的成立）。設三角形線圈三邊所受磁場安培力的大小分別為Fa，Fb，Fc，則有

圖4 通電線圈受力分析

Fa∶Fb∶Fc=IaB ∶IbB ∶IcB=a ∶b ∶c

將圖4 中表示△ABC 線圈三邊所受安培力的三條有向線段Fa，Fb，Fc進行平移組合成△A'B'C'，如圖5，由幾何知識易證，△A'B'C'∽△ABC。顯然，由相似三角形對應邊成比例的性質可知，當B'C'=Fa時，A'B'=Fc，A'C'=Fb，因此，△A'B'C' 即為Fa，Fb，Fc組成的矢量三角形，所以，問題得證。

圖5 通電線圈受力分析

根據例題2 的結論，我們很容易推理出下面的結論。

如圖6 所示，若紙面內存在垂直于紙面的勻強磁場（圖中沒有標出），紙面內的兩段金屬絲AB，BC 連接于點B，當通入如圖6 甲所示的電流時，這兩段金屬絲所受安培力的矢量和等效于同一磁場中直線金屬絲AC 通入由A 至C 的等大電流時所受的安培力。

圖6 通電導線所受安培力分析

我們以此為推理依據，并以圖7 所示的凹七邊形為例，來推證如下結論：方向垂直于剛性封閉多邊形（包括凸多邊形和凹多邊形）通電線圈平面的勻強磁場，對完全處于磁場內的多邊形線圈各邊安培力的矢量和為零。

圖7 多邊形通電導線

圖7 中，假設七邊形剛性線圈通入了逆時針方向的電流I，線圈所在處的磁場方向垂直于線圈平面，則AB，BC 兩邊所受磁場安培力的矢量和，等效于直線金屬絲AC 通入由A 至C 的電流I 時AC 所受的安培力（注：圖中的AC 沒有畫出）。這樣，七邊形線圈ABCDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于六邊形線圈ACDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和。按此方法遞推，六邊形線圈ACDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于五邊形線圈ADEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和……按這樣的規律等效下去，最終的結論是，七邊形線圈ABCDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于三角形線圈AFG 各邊所受磁場安培力的矢量和。問題得證。

因為任意封閉平面剛性線圈都可以視為很多折線的組合（即可視為多邊形），所以我們可以得出結論——磁場方向垂直于剛性封閉通電線圈平面的勻強磁場，對完全處于磁場內的通電線圈的安培力的矢量和為零。

應該說，這一規律跟底面水平、側壁豎直的容器中盛有液體時，液體對容器側壁的壓力規律類似——液體對各側壁壓力的矢量和為零，我們也可以用同樣的方法對這一規律的正確性進行證明。盛有液體的容器不會因為液體對其側壁存在壓力而向某個方向運動，就是因為液體對容器側壁壓力的矢量和為零。

據此，可以推出下面的推論。

推論：勻強磁場中垂直于磁場方向的某平面內有剛性彎曲金屬絲AB，通入由A 至B 的電流時金屬絲所受磁場的安培力，與以A，B 為端點的直金屬絲通入由A 至B 的等大電流時所受的安培力大小相等，方向相同。

利用上面的引理和推論，我們可以方便快捷地對相關問題進行求解。

5 該高考試題的多個變式及解析

可以發現，例題1 給出的這道高考題設置的正方形金屬線圈在磁場中的位置很“特殊”，因為懸吊金屬線圈的細線系在正方形線圈的一個頂點處，所以，懸吊起來的金屬線圈靜止時，它的兩條對角線一條水平，一條豎直（金屬線圈質量分布均勻的條件下），其水平對角線恰好與有界磁場的上邊界重合。我們不禁要問，如果題目設置的其他條件不變，而是將懸吊金屬線圈的懸吊點在線圈的邊上任意移動一下，正方形金屬線圈所受磁場安培力會發生怎樣的變化？

對于質量分布均勻的正方形金屬線圈，若懸吊點剛好在正方形一邊的中點位置，則線圈穩定之后的情形如圖8 所示，它的兩組對邊，一組是水平的，一組是豎直的。當然，如果懸吊點既不在正方形的頂點位置，也不在一邊的中點，則線圈穩定后的情形如圖9 所示，它的四邊都是傾斜的。當線圈重心位于磁場邊界時，無論是圖8 所示情形還是圖9 所示情形，正方形線圈都是有一半的面積處于磁場之中。圖8 所示情形可視為圖9 所示情形的一個特例。

圖8 線圈一半位于磁場中

圖9 變式1 附圖

變式1如圖9 所示，一不可伸長細繩的上端固定，下端系在邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一條邊上，拴繩點O 到正方形頂點A 的距離為a=0.05 m，金屬框質量分布均勻。已知空間內存在有界水平勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外，穩定后金屬框的重心剛好位于磁場的水平上界面位置。已知構成金屬框的導線單位長度的阻值為λ=5.0×10-3Ω/m；在t=0 s 到t=3.0 s 時間內，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B（t）=0.3-0.1t（SI）。求t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小。

分析正方形線框ABCD 處于磁場中的部分有三段，分別是EC，CD，DH。由上面的推論可知，這三段金屬絲所受磁場安培力的矢量和等于連接于E，H 兩點的金屬絲并通入由E 至H 的等大的電流時金屬絲EH 所受的安培力，如圖10 所示。

圖10 變式1 分析圖示

解析圖10 中，過D 作DG∥EH，交BC 于G點，則DH=EG，因為正方形線框質量分布均勻，由幾何知識可以證明，AO=CM=BE=DH，因此，CG=CB-2BE=0.30 m，所以

依題意可知，金屬框中感應電流大小為

t=2.0 s 時金屬框的EC，CD，DH 三段金屬絲所在處的磁感應強度為

B=0.3-0.1t=0.1 T

因此，通電導線EH 所受安培力的大小為：F=ILB=1 A×0.50 m×0.1 T=0.05 N，方向豎直向下。所以，當t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小為0.05 N。

變式2如圖11 所示，一不可伸長細繩的一端固定，下端系在一邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一個頂點上。金屬框的一條對角線水平，其下方有方向垂直于金屬框所在平面的勻強磁場。已知構成金屬框的導線單位長度的阻值λ=5.0×10-3Ω/m；單邊金屬導線質量為10 g，磁感應強度大小隨時間的變化關系是B（t）=0.3+0.1t（SI）。問：在什么時間，細繩中的張力為零？

圖11 變式2 附圖

分析載流線框受重力、拉力和磁力作用。平衡時合力為零。

解析 由受力分析可知（圖12），平衡時有

圖12 受力分析圖

即安培力和重力大小相等，方向相反。

FB-FG=FB-0.04×9.8=FB-0.392=0

其中

而

因此有

解得

t=3.93 s

6 結語

處于勻強磁場中的某剛性彎曲線圈，如果它所在的平面垂直于磁場方向，在線圈中通入電流I 時線圈所受磁場安培力為F，那么，以相同端點的直導線通入電流I 時所受磁場安培力也為F，利用這一規律，可以方便地對同類問題進行求解。應該說，2022 年全國高考物理乙卷的這道壓軸題，內容雖短，但卻考查了學生對電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律、電阻定律公式、焦耳定律公式等物理知識點的綜合運用能力，以及靈活運用物理公式解決復雜物理問題的能力。變換相關的已知條件，可以將原來的高考題改編為題目背景材料相仿、考查知識點類似的不同變式，通過對這些不同變式的訓練，可以拓展學生的視野，在解決類似問題時能夠舉一反三、觸類旁通。