牛頓碰撞定律在彈性碰撞中的應(yīng)用研究

何恩陽，程凌飛

1.重慶市楊家坪中學(xué)，重慶 400050

2.四川省大竹中學(xué)，四川達(dá)州 635000

動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律是高中階段守恒觀念的重要內(nèi)容，彈性碰撞是體現(xiàn)兩種守恒觀念的重要模型，是各種力學(xué)模型的元模型，在各類問題中用以考查學(xué)生的論證推理、分析解決問題的能力。然而，在實(shí)際碰撞問題的處理過程中，涉及到動(dòng)碰動(dòng)問題時(shí)需要聯(lián)立二元二次方程求解，借助牛頓碰撞定律，可以簡化計(jì)算過程，幫助學(xué)生從新的視角認(rèn)識碰撞過程，培養(yǎng)模型建構(gòu)思維，強(qiáng)化運(yùn)動(dòng)和守恒觀念。

1 問題的提出

在近幾年的高考試題中，如2022 年全國乙卷理綜25 題、2022 年山東高考物理第18 題、2021 年福建高考物理第15 題等多次出現(xiàn)兩物體發(fā)生彈性碰撞的問題，需要計(jì)算兩物體碰后速度。下面就彈性碰撞過程以如下情境進(jìn)行呈現(xiàn)。

如圖1 所示，質(zhì)量為m 的物體A 以速度v1追上質(zhì)量為M、速度為v2的物體B 并發(fā)生彈性碰撞，求碰后物體A 和物體B 的末速度u1和u2。

圖1 彈性碰撞示意圖

解析碰撞過程中動(dòng)量守恒

機(jī)械能守恒

兩方程聯(lián)立解得

其中，當(dāng)B 的初速度為零時(shí)

由于（1）（2）式涉及二元二次方程組的聯(lián)立求解，計(jì)算過程復(fù)雜，計(jì)算量較大。查閱相關(guān)文獻(xiàn)且基于日常教學(xué)總結(jié)，一般有以下幾種處理方法。

1.1 課堂計(jì)算演示

在A，B 都有速度的情況下計(jì)算難度較大，一般教師會在初次講解時(shí)，在黑板上進(jìn)行計(jì)算方法演示。但對于多數(shù)學(xué)生一般難以完全掌握計(jì)算方法，且考試時(shí)計(jì)算量過大。為節(jié)省時(shí)間，教師一般會讓學(xué)生直接記住末速度的公式。

該方案，學(xué)生不僅在記憶公式過程中容易記錯(cuò)，還會將計(jì)算過程用簡單的記結(jié)論形式應(yīng)付了事，對于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和物理思維的培養(yǎng)都有很大的負(fù)面影響。

1.2 預(yù)設(shè)考試題型

一些教師在教學(xué)過程中，總結(jié)高考考題，認(rèn)為一般只考查“動(dòng)碰靜”的情況，因此在講解時(shí)預(yù)設(shè)物體B 的速度為零，簡化了計(jì)算流程和結(jié)論記憶的難度。

該方案將問題簡化成一個(gè)簡單的特例進(jìn)行講解，但對于更普遍的情況卻采取回避的方式，學(xué)生在遇到“動(dòng)碰動(dòng)”情況時(shí)只能選擇放棄，客觀上撲滅了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.3 質(zhì)心參考系的計(jì)算和記憶

一些文獻(xiàn)采用在質(zhì)心參考系中列式求解，最終得到與（1）（2）式等價(jià)的實(shí)驗(yàn)室參考系形式［1］

該方案需要用到質(zhì)心參考系和較為復(fù)雜的參考系變換知識，無論是過程的推導(dǎo)還是結(jié)論的得出，對于大多數(shù)學(xué)生都較為困難，只能用于優(yōu)生培養(yǎng)，不適用于大多數(shù)學(xué)生的教學(xué)。

2 牛頓碰撞定律在彈性碰撞中的理論推導(dǎo)

將（1）（2）式進(jìn)行變形可得

由（5）（6）式可得

對（7）式變形可得

可以發(fā)現(xiàn)（1）（2）（8）三個(gè)方程中任意兩個(gè)是等價(jià)的，聯(lián)立（1）（8）式即可得到末速度的表達(dá)式。

那么，（8）式的物理意義是什么？

查閱文獻(xiàn)可知，對于碰撞問題有牛頓碰撞定律：v1-v2=e（u2-u1）

其中，e 為彈性恢復(fù)系數(shù)，僅與物體的質(zhì)料有關(guān)；對于完全彈性體，e=1，如鋼球的碰撞；對于完全非彈性體，e=0，如橡皮泥的碰撞；對于一般非彈性體，0

其中，v1-v2為碰前接近速度，u2-u1為碰后分離速度。說明在彈性碰撞過程中，碰前兩球接近速度和碰后分離速度相等［2］。

同時(shí)需注意在聯(lián)立（1）（2）兩式求解過程中，由于是二元二次方程的求解，應(yīng)該有兩組解，為何推導(dǎo)出（8）式后，聯(lián)立（1）（8）兩式只有一組解呢？

這是因?yàn)椋?）式除以（5）式的過程中，消掉了（5）式，忽略了

u1=v1，u2=v2

即等于初始值，也說明彈性碰撞為可逆過程。

在實(shí)際計(jì)算過程中直接采用（1）（8）兩式聯(lián)立求解，不影響結(jié)果。

3 牛頓碰撞定律在彈性碰撞中的應(yīng)用

3.1 解決多次碰撞中的相對速度和時(shí)間問題

在分析兩物體間存在相對運(yùn)動(dòng)，且需要計(jì)算相對速度時(shí)，運(yùn)用牛頓碰撞定律結(jié)論可簡化問題。

例1如圖2 所示，質(zhì)量為m 的鋼球，放在質(zhì)量為M 置于水平面上的箱內(nèi)，箱底長度為L?，F(xiàn)將鋼球從箱底最左端以向右的水平速度v 釋放，球?qū)⑴c箱前后壁發(fā)生多次彈性碰撞，經(jīng)過多長時(shí)間，鋼球?qū)⑴c箱進(jìn)行第9 次碰撞？ （不計(jì)摩擦力）

圖2 鋼球與箱子相互作用圖

解析碰撞前兩物體的接近速度即為箱子與鋼球的相對速度v，相互作用后兩物體的分離速度即為箱子與鋼球的相對速度v。根據(jù)碰撞前后兩物體的接近速度與分離速度大小相等，以箱子為參考系，鋼球相對于箱子的速率始終為v，故從計(jì)時(shí)開始每兩次相鄰碰撞所用時(shí)間均為則第九次碰撞用時(shí)為

點(diǎn)評如用常規(guī)方法結(jié)合動(dòng)量守恒及機(jī)械能守恒，可以計(jì)算每一次碰撞后，鋼球和箱子相對地面的速度，再計(jì)算兩物體的相對速度，這樣會產(chǎn)生較大的計(jì)算量。如果根據(jù)碰撞前后兩物體的接近速度等于分離速度，可化繁為簡，直接得出鋼球與箱子的相對速度，進(jìn)而算出相鄰兩次碰撞的時(shí)間。

3.2 利用牛頓碰撞定律為航天器加速提供理論依據(jù)

從牛頓碰撞定律的推導(dǎo)過程中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩物體間存在相互作用，且滿足相互作用前后總動(dòng)量和總動(dòng)能不變時(shí)，即可應(yīng)用該結(jié)論。天體運(yùn)動(dòng)中，物體間雖沒有直接接觸，但在一定條件下，仍可以滿足彈性碰撞的條件，故牛頓碰撞定律在此情境下仍然成立。

例2科幻片《流浪地球》中提到用引力彈弓來為地球加速，以使地球獲得更大的速度，從而脫離太陽系。早在1977 年，著名的旅行者1 號和旅行者2號探測器在飛掠土星和木星時(shí)，均利用了引力彈弓來實(shí)現(xiàn)加速，其中旅行者1 號經(jīng)過引力彈弓的加速后，速度達(dá)到了太陽的逃逸速度。在一定條件下，可將該過程簡化為如下模型：如圖3 所示，某飛行器以大小為v 的速度向右做直線運(yùn)動(dòng)，木星以大小為u 的速度向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)探測器與木星距離減小到一定程度時(shí)，由于它們之間的相互作用，探測器會繞木星半圈，并被木星以與速度v 相反方向的速度v1“甩回去”。求v1的大小。（提示：航天器與木星的機(jī)械能之和保持不變，且忽略木星的自轉(zhuǎn)。）

圖3 木星與飛行器相互作用過程示意圖

分析與解飛行器與木星雖未直接接觸，但存在相互作用，且作用前后保持總動(dòng)量和總動(dòng)能不變，故應(yīng)滿足相互作用前接近速度和相互作用后分離速度相等。相互作用前接近速度為v+u，由于木星質(zhì)量遠(yuǎn)大于飛行器質(zhì)量，可認(rèn)為發(fā)生相互作用后木星速度保持u 不變，則由v+u=v1-u，可得v1=v+2u。

點(diǎn)評引力彈弓是指利用行星或其他天體的相互作用來改變探測器軌道和速度的航天技術(shù)。本題以航天探測器的加速過程為物理情境，要求學(xué)生能遷移應(yīng)用彈性碰撞模型解題，很好地考查了學(xué)生問題表征和模型建構(gòu)能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)物理模型來解決新情境問題的科學(xué)思維能力。

3.3 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”向“解決問題”轉(zhuǎn)變

碰撞廣泛存在于我們身邊發(fā)生的實(shí)際事例中，運(yùn)用牛頓碰撞定律不僅可以解釋生活中很多有趣的自然現(xiàn)象，還可以從理論上推測一定條件下會發(fā)生的物理現(xiàn)象。

例3小明在體育課上觀察到一個(gè)有趣現(xiàn)象，將一彈性球放在籃球正上方，讓籃球和彈性球同時(shí)靜止下落，籃球觸地瞬間將彈性球彈起，觀察到彈性球能上升到比釋放點(diǎn)高很多的位置。小明對此現(xiàn)象產(chǎn)生了濃厚的探究興趣，經(jīng)過資料查閱以及向老師求教，小明將其簡化為以下情境：如圖4 所示，彈性球B 質(zhì)量為m，籃球A 質(zhì)量為M（M>>m），它們一起自高h(yuǎn) 處自由下落，不計(jì)空氣阻力，籃球與地面及彈性球與籃球之間的碰撞均為彈性碰撞，下落高度h 遠(yuǎn)大于球的直徑。

圖4 彈性球與籃球相互作用情境示意圖

（1）試計(jì)算籃球A 著地后，彈性球B 彈起后能夠上升的最大高度H1。

（2）若在彈性球B 上再疊加一個(gè)質(zhì)量為m1的彈性球C，且滿足m>>m1，則疊在最上端的彈性球C 上升的最大高度H2為多少？

（3）若h=3 m，并在彈性球C 上面再疊加一個(gè)質(zhì)量為m2的彈性球D，彈性球D 上再放置質(zhì)量為m3的彈性球E，以此類推疊放下去，且滿足m>>m1>>m2>>m3…問還需疊加幾個(gè)小球，可以使最上面小球彈起后離地面最大高度超過珠穆朗瑪峰的高度H3≈8848 m。

解析（1）籃球A 與地面彈性碰撞后以原速率返回，此時(shí)彈性球B 以速度v 向下與籃球A 發(fā)生彈性碰撞，此時(shí)兩球接近速度為2v，由于M＞＞m，故碰撞后籃球A 向上運(yùn)動(dòng)保持原來速度大小v 不變，由于碰前兩球接近速度和碰后分離速度相等，則碰后彈性球B 速度大小應(yīng)為3v。即彈性球B 以3v 的速度做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，能夠上升的最大高度為

（2）彈性球B 以3v 向上彈起后，會與正以速度大小為v、方向豎直向下的彈性球C 發(fā)生彈性碰撞，如圖5 所示，此時(shí)球B 與球C 碰前接近速度為4v。由于m＞＞m1，則碰后球B 速度仍為3v，設(shè)球C 碰后速度為v1，則v1-3v=4v，得v1=7v。則有

圖5 彈性球B 與彈性球C 相互作用示意圖

（3）由圖6 可知，彈性球C 向上彈起速度為7v，此時(shí)彈性球D 以速度v 向下運(yùn)動(dòng)，即兩球的接近速度為8v，由于m1>>m2，碰后彈性球C 速度大小及方向均保持7v 不變，由于碰前兩球接近速度和碰后分離速度相等，設(shè)碰后彈性球D 向上運(yùn)動(dòng)速度為v2。則v2-7v=8v，得v2=15v。由此不難得出碰后最上端彈性球末速度滿足vn＝（2n-1）v，n為包括籃球在內(nèi)的彈性球個(gè)數(shù)。依題意可知，要使得彈起的最終高度H3=8848 m，若最終彈起高度為第一次下落高度h=3 m 的n1倍，則，由可知需要滿足最終彈起小球速度為籃球第一次彈起后的n2倍，n2=≈54.3，即vn=（2n-1）v>54.3v，則n 最小可取6，包括籃球在內(nèi)，有6 個(gè)滿足質(zhì)量要求的彈性球即可，因此在彈性球C 后還需疊加滿足質(zhì)量要求的3 個(gè)小球。

圖6 彈性球C與彈性球D 相互作用示意圖

點(diǎn)評將學(xué)生生活中觀察到的真實(shí)事例設(shè)置為該試題的物理情境，并將其轉(zhuǎn)化為自由落體和彈性碰撞模型，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注物理與生活實(shí)際的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用物理模型論證生活情境中的科學(xué)本質(zhì)的能力。

3.4 利用推論巧解高考壓軸試題

在2022 年全國高考乙卷和2021 年福建高考物理試卷中均出現(xiàn)“動(dòng)碰動(dòng)”的物理情境，若用牛頓碰撞定律可簡化計(jì)算過程，提升效率?，F(xiàn)以2022 年全國高考乙卷理綜物理第25 題為例，進(jìn)行計(jì)算演示說明。

例4（2022 年全國高考乙卷理綜第25 題）如圖7，一質(zhì)量為m 的物塊A 與輕質(zhì)彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B 向A 運(yùn)動(dòng)，t=0 時(shí)與彈簧接觸，到t=2t0時(shí)與彈簧分離，第一次碰撞結(jié)束，A，B 的v-t 圖像如圖8 所示。已知從t=0 到t=t0時(shí)間內(nèi)，物塊A 運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。A，B分離后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同。斜面傾角為θ（sinθ=0.6），與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求：

圖8 物塊A 與物塊B 碰撞前后圖像

（1）第一次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值。

（2）第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值。

（3）物塊A 與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

解析由于（1）（2）問中不涉及牛頓碰撞定律結(jié)論，故（1）（2）問本文不做分析。第（3）問中必須求解出A，B 第二次相互作用前A 向左運(yùn)動(dòng)速度的大小，答案給出的解法如下。

設(shè)物塊A 第一次滑下斜面時(shí)速度大小為vA，設(shè)向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得

根據(jù)能量守恒定律可得

聯(lián)立（9）（10）式解得vA=v0。

若用牛頓碰撞定律結(jié)論，相互作用前接近速度和相互作用后分離速度相等，則

很明顯（11）式比（10）式更為簡略，在聯(lián)合（9）式計(jì)算上更為方便。

點(diǎn)評彈性碰撞在高考試題中出現(xiàn)頻率較高，若考生能夠熟練掌握牛頓碰撞定律結(jié)論，則能夠在更短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果。

4 評價(jià)和總結(jié)

模型建構(gòu)是學(xué)生根據(jù)研究的問題和情境，構(gòu)建易于研究的、能反映事物本質(zhì)特征和共同屬性的理想模型的過程［3］。通過將牛頓碰撞定律應(yīng)用到彈性碰撞模型中，幫助學(xué)生從接近速度和分離速度的視角理解碰撞過程，完善了學(xué)生的運(yùn)動(dòng)和相互作用觀念，通過“引力彈弓”現(xiàn)象和“子母球”實(shí)驗(yàn)，了解了彈性碰撞在科技、生活領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，能夠?qū)π碌奈锢砬榫尺M(jìn)行問題表征和模型建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和科學(xué)探究能力，同時(shí)為學(xué)生提供了新的視角認(rèn)識彈性碰撞模型，提升學(xué)生的探究興趣，幫助學(xué)生逐步增強(qiáng)探索自然的內(nèi)在動(dòng)力。