關于對“線速度”究竟如何定義的思考

段石峰

長沙市周南中學，長沙 410201

“線速度（linear velocity）”是國家科學技術名詞審定委員會公布的《物理學名詞》［1］中“力學”領域的專業術語，《普通高中物理課程標準（2017 年版）》在內容要求中明確提出“會用線速度、角速度、周期描述勻速圓周運動”［2］，我國各版本高中物理教材都引入了“線速度”概念。然而，“線速度”究竟該如何定義？ 這個問題一直以來存在諸多爭議，在教學中引起了一些混亂和困擾。本文試圖從根源上理順“線速度”定義的邏輯脈絡，澄清對基本概念理解上的模糊點。

1 “線速度”定義的兩種方法

如圖1 所示，物體沿圓弧由M 向N 運動，在一段時間Δt 內由A 點運動到B 點，通過的弧長為Δs，位移Δl 的大小為的弦長，方向由A點指向B 點。為了描述物體做圓周運動的快慢，對“線速度”如何定義的爭議由來已久，一直并行兩種方法。優劣之分各有長短，互補之下難以取舍。

圖1 物體沿圓弧由A 運動到B

1.1 第一種方法：弧長與時間之比

我國各版本高中物理教材都采用“分步走”的思路，首先用“弧長與時間之比”定義線速度的大小，然后根據“曲線運動的速度方向沿軌跡的切線方向”，確定圓周運動的線速度方向也是沿切線方向［3］。只是不同版本教材對“弧長Δs 與時間Δt 之比”的表述略有差異，有的教材把它稱為“線速度”，有的教材把它稱為“線速度的大小”。顯然前者存在科學性錯誤，因為弧長（路程）是標量，如此表述與“線速度是矢量”自相矛盾，而后者避免了這個矛盾，更加嚴謹自洽。

1.2 第二種方法：位移與時間之比

在美國高中主流理科教材《科學發現者·物理原理與問題》中這樣描述，物體做圓周運動時相對于圓心的位置矢量沿半徑方向，其大小不變而方向在改變，位置矢量的變化即位移為Δl，把物體做圓周運動的速度定義為“位移Δl 與時間Δt 之比”［4］。由于該教材是在后續描述物體的轉動時才引入“角速度”概念，因此在描述圓周運動時無須區分名稱，并沒有把圓周運動的“速度”命名為“線速度”。無獨有偶，我國滬科教版高中物理教材在“多學一點”欄目中也用同樣的方法介紹了“圓周運動的速度”［5］，目的是拓展學生的知識面，供有興趣和學有余力的學生閱讀。

2 兩種定義方法的依據與缺陷

仔細考量“線速度”定義的兩種方法，發現它們既有相應的依據，又都存在難以回避的缺陷。

2.1 “線速度”與直線運動的“速度”

第一種定義方法是類比直線運動速度的定義方法，兩者在描述物體運動快慢的方式上是相通的。這種定義方法，首先要考慮如何“化曲為直”，把圓周運動等效轉化為直線運動。分析如圖2 所示的實驗裝置，轉盤邊緣的點做圓周運動的快慢，可以通過打點計時器用紙帶測量出來，這樣就將直線運動定義速度的方式自然過渡到在圓周運動中定義線速度。只是在這種特殊的運動形式中，為了區別于物體繞圓心轉動快慢的物理量——“角速度”，將物體圓周運動的速度稱為“線速度”。

圖2 一種可定義線速度的實驗裝置示意圖

圓周運動是一種機械運動，即物體空間位置隨時間變化。空間位置的變化是位移，而不是路程，描述運動快慢（即位置變化快慢）的物理量是位移與時間之比。用“弧長”這個標量與時間之比來定義“線速度矢量”顯得格格不入，讓人感覺有點別扭、不自然［6］。況且同一段位移可以對應兩段不同的弧長，即使對“線速度”只定義大小，另外說明方向，這也不符合矢量定義的一般規則。既然“線速度與直線運動的速度沒有本質區別”，為何要重新定義，而不沿用原來的定義？

按照這種定義方法，只有在勻速圓周運動中才能計算線速度的瞬時值。有的教材先提出“勻速圓周運動”（在任意相等時間內通過的弧長都相等），再定義“線速度”是基于勻速圓周運動，而“勻速圓周運動”又以“線速度的大小處處相等”為前提。各版本教材對“線速度”與“勻速圓周運動”兩個概念的定義先后次序不同，邏輯上有差別，這樣的處理就有循環定義的嫌疑。

2.2 “線速度”與曲線運動的“速度”

第二種定義方法是沿用曲線運動速度的定義方法，兩者在速度矢量定義的方式上是一致的，保持了概念定義的統一性。如圖3 所示的曲線是某質點的運動軌跡，若質點在一段時間內從A 點運動到B 點，則質點的位移是由A 點指向B點的有向線段，由此定義這段時間內的平均速度。當時間極短趨于0，即B 點無限靠近A 點時，平均速度的極限值就是在A 點的瞬時速度大小，方向沿A 點的切線方向。圓周運動是一種特殊的曲線運動，如圖1 所示，物體位移的大小為的弦長，方向由A 點指向B 點，于是先定義平均速度，再將平均速度取極限，同時得到線速度的大小和方向。

圖3 沿曲線運動的質點

縱觀大學物理教材在描述圓周運動的快慢時都沒有提出“線速度”概念，而是直接沿用一般曲線運動的“速度”概念，甚至用矢量定義的“速度”概念不再區分機械運動的具體形式，實現了概念上的連貫性，顯示出科學概念的偉大之處在于解釋和統一各種自然現象的能力。盡管如此，由于圓周運動具有空間和時間的周期性，運動軌跡會重復，位置的變化被局限在圓周上，位移的大小不超過圓的直徑，所以用這種定義方法來描述圓周運動的快慢是沒有意義的，不能形象地反映圓周運動的特點，不能直觀地描述圓周運動的快慢。而且其中用到了極限的概念，求解瞬時速度時需要用到導數的相關知識，這對數學基礎的要求較高。為降低學習難度，各版本高中物理教材都采用第一種定義方法，更加符合學生的認知水平，實際教學中可以視學情而定。

3 “平均線速度”的意義

人教版2010 版教材在引入線速度概念之后指出“線速度也有平均值與瞬時值之分”，但后文只解釋了“瞬時線速度”就是直線運動中的瞬時速度，這不禁讓人產生追問：“平均線速度”是什么？是平均速度嗎？平均線速度的意義是什么？按照該教材的定義，用一段時間內的“弧長與時間之比”，定義的不是“平均速度”，而是通常所說的“平均速率”。后來該教材在2019 版中作了修訂，刪去了線速度有平均值和瞬時值的區分，避免學生陷入認知誤區和產生學習障礙［7］。

事實上，“平均速率”這個概念的使用也存在一定的混亂，教學中為了區別初中的“速度”概念，強行將其改為“平均速率”并灌輸給學生。人教版教材在描述質點的運動時并沒有引入“平均速率”，后續出現的這個概念是用來描述微觀粒子的運動，例如“大量自由電荷定向運動的平均速率”“分子無規則熱運動的平均速率”。查閱大學物理教材，程守洙和江之永主編的《普通物理學（第六版）》在“質點運動的描述”中提及“平均速率”［8］，但從第七版開始卻取消了這個概念，其他常見的大學教材也都沒有用“平均速率”描述質點的運動。在《物理學名詞》［1］中查到了“平均速率（mean speed）”這個專業術語，的確分類在“統計物理學”領域中，說明“平均速率”并不是描述質點運動的專屬概念。教學中最好不要將同一概念多次定義，出現多重含義。

機械運動是指抽象的“位置變化”，位移與具體的運動路徑無關，平均速度只能粗略地描述運動的快慢，這是平均速度的局限性。然而，瞬時速度的建立必須以平均速度為前提，引入平均速度的價值和意義在于過渡到瞬時速度。對一個過程取極限，就能實現從平均值過渡到瞬時值。

人教版2019 版教材在直線運動中定義速度概念時，沒有對時間的長短提出要求，但在圓周運動中定義線速度概念時，重點強調了“Δt 非常非常小”，顯然從出發點就沒有定義“平均線速度”的意圖，即線速度概念本身具有瞬時性，線速度屬于瞬時速度的下位概念。隨后教材又明確指出：當時間Δt 足夠小時，圓弧AB 與線段AB 幾乎沒有差別，此時弧長Δs 就等于弦長（位移Δl的大小），平均線速度的極限就是瞬時線速度。用數學語言表述，當Δt→0 時，有Δs=|Δl|，那么由兩種不同方法定義的“線速度”，在極限情況下的瞬時值歸于統一。

4 從邏輯上定義“線速度”

圓周運動雖然是質點運動模型，不是剛體轉動模型，但運動范圍限制在圓周軌道上，它的更本質特征是繞圓心轉動，因此圓周運動是一種既“動”又“轉”的運動，不僅具備曲線運動的性質，還具有剛體轉動的特點。剛體繞固定軸轉動時，其中每個質點都做圓周運動，并且只有一個自由度（獨立變量），歐拉提出用“角度”來確定剛體的位置，因此可以用“角量”來描述圓周運動，與“線量”具有完全相同的地位，而且從“角量”過渡到“線量”更加符合邏輯結構［9］。

另一方面，如果在直角坐標系中用分解的方法研究圓周運動，得到的分運動是用三角函數表達的簡諧運動，不像研究拋體運動那樣起到“化曲為直”的作用，因此研究圓周運動時一般不采用直角坐標系中的分解方法。勻速圓周運動是在有心力作用下，并且運動軌跡是已知的，通常選擇極坐標系或自然坐標系更為方便，這兩類坐標系在圓周運動時恰巧存在基矢關聯：徑向與法向相反，橫向與切向重合。由于勻速圓周運動的速度方向總是沿軌跡切線，所以徑向和法向均無速度。

在極坐標系中，徑向坐標r 為常量，只剩下角量θ 為變量，橫向速度產生角位移Δθ，從而定義角速度大小在自然坐標系中，弧長s 作為質點位置坐標的唯一變量，切向速度大小由弧長與角位移的關系Δs=rΔθ，兩邊同時除以時間Δt 并取極限得，即v=rω。由此可見，角速度ω 和線速度v 來源于不同的坐標系，從本源上不是一對共軛物理量。由于圓周運動的特殊性，若以圓心為極坐標系原點，則極坐標表示與自然坐標表示具有天然等價性［10］。從邏輯上講，應該先在極坐標系中定義角速度，然后通過換算關系得出線速度。