強非局域介質中余弦高斯光束的動力學行為

臧 峰，劉利鋒

（1.山西大同大學固體物理研究所，山西大同 037009；2.山西大同大學微結構電磁功能材料山西省重點實驗室，山西大同 037009）

近年來，非局域介質因其在全光開關以及全光信號處理[1]等領域具有廣闊的應用前景而受到科研人員青睞。其中，光束在非局域非線性介質（Nonlocal nonlinear medium）中的傳輸問題更是引起了人們極大的興趣。事實上，非局域介質是指光場在某一位置所誘導的折射率變化不僅與該點的光場有關，同時還與一定范圍內的其他點的光場有關。根據介質響應函數的寬度與入射光束寬度的大小關系，可以將其分為局域、弱非局域、一般非局域和強非局域[2]。光束在非局域介質中的傳輸可以由非局域非線性薛定諤方程[3]來描述，尤其是在強非局域介質中（響應函數的寬度遠大于入射光束寬度），非局域非線性薛定諤方程可以簡化為著名的Snyder-Mitchell線性模型[3-4]。基于這一線性模型，一些特殊光束的傳輸特性被廣泛地研究，例如橢圓-高斯光束[5]、拉蓋爾-高斯光束[6]、旋轉拋物線柱面光束[7]、艾利-高斯光束[8]、厄米-正弦-高斯（HSG）光束[9-12]等。

另一方面，余弦高斯（Cos-Gaussian）光束由于其特殊的屬性同樣也引起了科研人員的關注[13-14]，相關研究結果已被報道。2011 年，Chen 等研究了正余弦高斯光束在Kerr 介質中的傳輸特性[15-16]，研究結果表明當初始功率較低時，正弦-高斯光束在克爾介質中傳輸時將演化為雙曲正弦-高斯型光束。文獻[17]數值研究了余弦高斯光束在偏置光折變晶體中的傳輸和相互作用。結果表明，當自聚焦非線性效應較小時，單個余弦高斯光束可以演化為Y 型呼吸孤子。文獻[18]利用解析方法研究了余弦高斯光束在強非局域非線性介質中的傳輸特性，并且得到了光束寬度變化的解析結果和光束寬度不變時所需的臨界功率。

文章基于強非局域非線性薛定諤方程的簡化形式，采用分步傅里葉算法，對余弦高斯光束在強非局域非線性介質中的動力學演化特性進行了數值研究，討論了不同參數對余弦高斯光束傳輸動力學的影響。

1 理論模型

光束在強非局域非線性介質中沿z軸傳輸的動力學過程可以由非局域非線性薛定諤方程來描述[8]，即

其中：k=ωn00是介質的線性折射率）是波數；ψ(x,z)是光束的復振幅包絡；x和z分別是光場的橫向和傳播方向；η是與介質有關的常數；R(x)是非局域介質的響應函數。對于強非局域非線性介質，即當響應函數的特征寬度比光束的特征寬度大得多時，通過引進無量綱變換，方程（1）可以化簡為如下形式[8,20]：

方程（2）是具有拋物勢阱的線性薛定諤方程，也就是量子力學中的一維諧振子方程。無量綱后橫向和傳播方向分別用ρ0和來度量，ρ0是任意長度。α代表拋物勢阱深度，在光學中對應介質的折射率變化率。

2 數值結果

在數值模擬過程中，選擇的初始余弦高斯光束具有如下的函數形式：

其中：A是光束的振幅；b是余弦函數的調制參數。以方程（3）作為初始入射光束，通過數值模擬，可以得到余弦高斯光束的動力學演化行為。從公式（2）和公式（3）中能夠看出，參數α和b是影響其動力學特性的主要因素。因此將分別討論拋物勢阱深度α和余弦調制參數b對余弦高斯光束動力學行為的影響。

2.1 調制參數對余弦高斯光束傳輸特性的影響

圖1 顯示的是在參量b不同的情況下余弦高斯光束的演化情況（圖a、c、b 分別為1.5、2.5、3.5），其中α=0.6。從圖中可以看出余弦高斯光束在強非局域介質中會呈現出周期性呼吸行為，且隨著b的增大，光束呼吸的波腹也會逐漸變寬，當b增大到一定程度時，在波腹處光束完全分裂成兩束。事實上，余弦高斯光束可以看成兩個具有相反拖尾的類艾利光的疊加，且b越大它們的拖尾越就越明顯，這樣它們的自加速效應越強，分裂現象越明顯。

圖1 余弦高斯光束在不同參數b下的演化行為

為了進一步研究這種分裂行為，圖2（a）給出的是與圖對應的三種情況下的波腹處的光場強度分布。從圖中可以看出，隨著調制參數b的增大，x=0 處的強度會變小，當b增加到一定程度，x=0 處的強度幾乎為0，這意味著光束已經完全分裂成兩束。圖2（b）顯示的是圖1 三種情況下軸x=0 上的光場強度隨z的演化情況，從圖可以清楚地看到光場表現出周期性的演化行為，光場結構經過一定的傳輸距離得到恢復。進一步的研究發現軸上光場強度最小值Imin出現在波腹處，且b越大光場強度最小值Imin越小，當b增加到一定程度，Imin幾乎等于0，這與圖2（a）得到的數值結果是吻合的。圖2（c）是在α=0.3、0.6、0.9 時，軸上光強最小值Imin對參量b的依賴關系。從圖中可以看出，隨著b的增大Imin逐漸減小，當b≥3.5，Imin幾乎為0。

圖2 調制參數對余弦高斯光束傳輸特性的影響

2.2 勢阱深度對余弦高斯光束傳輸特性的影響

這一節，研究參數α對光束傳輸動力學的影響。當b=2.5時，數值模擬了不同α下余弦高斯光束的動力學行為，相應的結果顯示在圖3中。在圖3中，從上向下α的取值分別為0.3、0.6、0.9。從圖可以明顯地看到α越大傳輸周期越小，同時光束在橫向上的范圍也會越小。

圖3 余弦高斯光束在不同參數α下的演化行為

為了進一步研究這種現象，數值給出了傳輸周期對拋物勢阱深度α的依賴的關系，如圖4，從圖可以看出，周期隨α的增加而減少，這與文獻[18]中的解析結果T=2π是完全一致的。α越大意味著折射率的變化率就越大，這樣對光的約束也就越強，因此光束在橫向上被局限在一個較小的范圍內。

圖4 余弦高斯光束的演化周期對勢阱深度α的依賴關系

3 結語

采用數值方法研究了余弦高斯光束在強非局域非線性介質中的動力學行為，討論了拋物勢阱深度和余弦調制參數對余弦高斯光束動力學行為的影響。研究結果表明：光束傳輸周期只與拋物勢阱深度有關，勢阱深度越大光束傳輸周期越小，光束振蕩振幅越小。此外，余弦調制參數對光束演化行為的影響也被詳細地考慮，結果顯示：余弦調制參數會影響光束的分裂行為，調制參數越大在波腹處光束的分裂行為就越顯著。這些研究結果有可能在余弦高斯光束的操控方面有著潛在的應用價值。