一道高考題的解法與拓展

張露梅 何拓程(特級教師)

(1.中央民族大學(xué)附屬中學(xué) 2.北京理工大學(xué)附屬中學(xué))

高考題是命題專家精心命制的,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想,具有很高的信度和效度.挖掘高考試題的數(shù)學(xué)教育價值,并提出具有探究性的問題,引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動,使學(xué)生在掌握知識的同時學(xué)會研究,提高其發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,以達(dá)到進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的目的.本文以2020年高考數(shù)學(xué)北京卷第20題為例,進(jìn)行一些探討.

1 原題再現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)B(－4,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,NA分別交直線x＝－4于點(diǎn)P,Q,求的值.

2 解法探究

分析 第(1)問,根據(jù)條件列出a,b,c的關(guān)系式,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.第(2)問,要求的值,等價于求,因此需要由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo).

(2)如圖1 所示,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(－4,yP),Q(－4,yQ),MB的斜率為k,則直線l的方程為y＝k(x＋4),MA的方程為

圖1

令x＝－4,可得

如果充分研究幾何條件并將其代數(shù)化(坐標(biāo)化),同樣得到這樣的結(jié)論.過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線m與直線l相交于點(diǎn)T(如圖2),利用三角形相似可將豎直方向的比值轉(zhuǎn)化為水平方向的比值.

圖2

設(shè)T(－2,yT),則

可得

由于出現(xiàn)了4x2＋2x1,4x1＋2x2,即x1,x2的系數(shù)不均衡的情況,無法直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系,解題出現(xiàn)了困境,如何突破難點(diǎn)?

探究1 “湊”根與系數(shù)的關(guān)系,分而治之

由題可知直線l的斜率必存在,設(shè)斜率為k,則直線l的方程為y＝k(x＋4),與橢圓方程聯(lián)立,可得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0,由

基于消元思想,利用根與系數(shù)的關(guān)系,將這個比值轉(zhuǎn)化為只含一個根和斜率k的式子,這種方法雖然計算量較大,但是思維量較小,是必須掌握的通性通法.

探究2 “用”根與系數(shù)的關(guān)系,整體代換

同探究1,可得

消去k2可得

探究3 “審”原題條件,特值引路

顯然yPyQ＜0,取MN斜率為零的特殊情況,可以求出比值為1,即,因此轉(zhuǎn)化為證明yP＋yQ＝0,即可直接利用根與系數(shù)的關(guān)系.

同探究1,可得

其中

從而yP＋yQ＝0,所以.這里要求學(xué)生有很強(qiáng)的審題意識,充分挖掘題目內(nèi)在的聯(lián)系,同時對學(xué)生的思維能力也有較高的要求.

3 還有話說

3.1 變換題設(shè)條件與結(jié)論

將上述高考題中第(2)問變成:過點(diǎn)B(m,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,NA分別交直線x＝m于點(diǎn)P,Q,若,求m的值.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由探究3,先用特值引路,取MN斜率為零的特殊情況,因?yàn)?/p>

解出m＝－4.

一般地,設(shè)直線MN的斜率為k,則直線MN的方程為y＝k(x－m),與橢圓方程聯(lián)立可得

當(dāng)Δ＝(－8mk2)2－4(4k2＋1)(4m2k2－8)＞0時,可得k2(m2－8)－2＜0,此時方程有兩個不相等的實(shí)根,則

又直線MA的方程為

令x＝m,則

同理,有

所以yP＋yQ＝(m＋4)[－4k(m＋2)＋4]＝0恒成立,故m＝－4.

3.2 拓展題目的結(jié)論

再將上述高考題中第(2)問變成:過點(diǎn)B(m,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,NA分別交直線x＝m于點(diǎn)P,Q,若,探求m與λ的關(guān)系.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),先用特值引路,取MN斜率為零的特殊情況,因?yàn)?/p>

所以

顯然,當(dāng)λ＝1時,即為3.1中的問題.

另外,由上式知λ≠(2＋1)2,感興趣的讀者可以嘗試思考一下,當(dāng)λ＝(2＋1)2時是什么樣的情形.

4 我的思考

4.1 理解數(shù)學(xué),突出本質(zhì)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是從變化的數(shù)學(xué)對象中探求不變的性質(zhì),理解數(shù)學(xué)要從理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)開始.本題第(2)問不落俗套地選擇不能直接運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系來考查學(xué)生探究能力,很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和把握.學(xué)生在高考中不能順利完成問題求解,究其原因,其實(shí)是沒有真正理解這類問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),如果教師在教學(xué)過程中也能對所做的題目進(jìn)行一些類似的變形和拓展研究,相信一定能更深刻地理解數(shù)學(xué).因此,認(rèn)真探究這類題的不同解法以及拓展是很有必要的.

4.2 理解學(xué)生,突破難點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生,要以學(xué)生發(fā)展為本,立德樹人,提升素質(zhì),實(shí)現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.不同學(xué)生可以選擇不同的解題方法,本題中探究1起點(diǎn)低,容易入手,難點(diǎn)是運(yùn)算,若運(yùn)算能力不強(qiáng),可研究探究2和探究3.事實(shí)上,從筆者所教的學(xué)生高考情況來看,由于學(xué)生基礎(chǔ)差別很大,同樣的講解,得分差別卻非常大,可見,理解學(xué)生,實(shí)際上是要了解他們的需求,根據(jù)不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供不同的指導(dǎo)方案.當(dāng)然,探究2也不是無本之木,如2015年北京卷文科第20題.

題目 已知橢圓C:x2＋3y2＝3,過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),直線AE與直線x＝3交于點(diǎn)M.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;

(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由.

分析 第(3)問要證DE//BM,如圖3所示,可利用幾何性質(zhì)

圖3

類似于探究2.

4.3 理解教學(xué),使學(xué)生會思考

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是在教師的幫助下,學(xué)生通過學(xué)習(xí),揭示數(shù)學(xué)規(guī)律,總結(jié)數(shù)學(xué)方法,形成良好的數(shù)學(xué)思維的過程.因此,教學(xué)是一種不斷變換角度的過程,只有不斷地調(diào)整教師的已有的觀點(diǎn)來適應(yīng)不同學(xué)生,才能做到真正地理解教學(xué).這道高考壓軸試題難度高,一般學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)解題突破口,我們可以把它作為一個資源進(jìn)行再開發(fā),引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目中圖形的幾何特征,理順曲線與直線之間的位置關(guān)系,理解運(yùn)算對象,由易到難設(shè)計啟發(fā)性問題,讓學(xué)生主動探究,分析出合理的轉(zhuǎn)化方向,在運(yùn)算的過程中積累數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn).如此,教師就能真正地理解數(shù)學(xué)教學(xué),也能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考,從而構(gòu)建真正意義上的理解教學(xué).

(完)