一元二次函數、方程和不等式問題的易錯點探究

閻慧敏

(山東省淄博市周村區實驗中學)

一元二次函數、方程和不等式是數學中常見的基礎知識,在解決實際問題和數學推理中起著重要的作用.然而,由于其復雜性和一些特殊情況的存在,求解問題時容易出現錯誤.常見的易錯點包括忽略基本條件、忽略系數符號、忽略隱含條件以及忽略取值范圍等問題.因此,深入探究這些易錯點,找出其發生的原因,并加以規避和糾正,對于學生正確理解和靈活應用一元二次函數、方程和不等式具有重要的指導意義.

1 忽略基本條件

例1 若x＜0,則( ).

A.有最小值,且最小值為2

B.有最大值,且最大值為2

C.有最小值,且最小值為－2

D.有最大值,且最大值為－2

在使用基本不等式時,要牢記“一正、二定、三相等”的基本條件,本題常見的錯解為忽視基本不等式“一正”的使用條件,即

2 忽略系數符號

例2 解不等式ax2－(a＋1)x＋1＞0.

由題意得(ax－1)(x－1)＞0.當a＝0時,－(x－1)＞0,解得x＜1,即不等式的解集為{x|x＜1}.

當a＜0時,解不等式得,故不等式的解集為

在本題中,a＜0,在化簡－6ax2－ax＋a＜0時,很容易直接將a約去,而忽略了“變號”的問題,從而出現失誤.

3 忽略隱含條件

該題考查隱含條件a＜0,且b＝－a,則b＞0,在解得當時,等號成立后,可判斷b的取值滿足條件.該題的設定比較簡單,并未出現較大的陷阱,即使在解題過程中未能解得等號成立的條件,也能判斷該題正確,但結合例5來看,忽略隱含條件可能會造成嚴重的錯誤.

例5 已知ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2,3),判斷:若有解,則m的取值范圍是m＜－1或m＞2.

4 忽略取值范圍

例6 已知關于x的不等式ax2＋ax＋2＞0的解集為R,記實數a的所有取值構成的集合為M.

(1)求M;

(2)若t＞0,對任意的a∈M,有t2＋3t－2,求t的最小值.

(1)當a＝0 時,不等式顯然成立,當a≠0時,要使原式恒成立,只需即可,解得0＜a＜8,故M＝{a|0≤a＜8}.

本題第(1)問較為簡單,對于第(2)問,在求解出t的取值范圍后,需要根據題干要求“t＞0”將另一側的解集舍去,忽略取值范圍是解二次函數問題常見的錯誤類型,需特別注意.

例7 已知二次函數f(x)＝2mx2－4x＋1－m.

(2)若m＝1,設函數f(x)在x∈[t,t＋1]上的最小值為h(t),求h(t)的表達式.

本題第(1)問中容易忽略“二次函數”這個條件,需要明確m≠0,如果忽略對該取值范圍的討論,由2m＝0,得m＝0,此時f(x)＝－4x＋1,A＝R,故[0,＋∞)?A成立,則“畫蛇添足”.在第(2)問中,可將原式化簡,在對給定區間上函數的最值進行討論時,應該對t進行分類討論,以免漏解.

(完)