一種改進的密度過濾拓撲優化方法

周健松，李海艷

（廣東工業大學機電工程學院，廣州 510006）

0 引言

任何具有一定使用功能的構件都是由滿足要求的材料所制造的，在設計階段，就需要對該構件在可能的外力作用下的內部狀態進行分析[1]。拓撲優化作為結構優化的一種數學設計工具，是在給定的荷載條件約束和性能指標下，對材料在給定區域內的分布進行優化的一種方法。近年來，它在航空航天、機械、建筑、醫療和其他領域發展迅速，并取得了一定的研究成果[2-8]。目前，關于有限元的連續體結構拓撲優化被廣泛應用于各種行業軟件中，有限元的優化問題，往往存在棋盤格和網格依賴性以及模糊區域的非0-1解的情況[9]，增大了實際結構設計的難度。

為了防止棋盤格圖案和中間設計變量，國內外有許多研究者提出各種可行方案。最早被提出的是用具有啟發式的平滑卷積濾波方法來解決去除棋盤格問題[10-11]，該過濾一開始只是應用有限元網格目標函數的靈敏度上，Sigmund 在此基礎上提出密度過濾方法，并將這兩種理論總結在MATLAB 上只有99 行和88 行代碼的拓撲優化應用。但這種簡單的卷積過濾會產生大量灰色模糊區域，因此很多學者嘗試在基礎上采用一些后處理算法抑制中間值的設計變量，如Guest[12]采用的Heaviside 階躍函數和Sigmund利用圖像處理技術[13]，盡可能讓中間值的設計變量趨向0或1。為此需要不斷調整額外函數的參數確保收斂，增加迭代次數，這樣可能會增加拓撲優化求解時間。

從過濾器的角度分析，拓撲優化希望能在棋盤格區域內進行平滑處理，而在特征邊緣之間弱化平滑作用。本文基于圖像處理的方法，結合局部鄰域內有限元之間的距離以及局部密度變化作為權重，將傳統的各向同性過濾轉為一種新的各向異性過濾密度方法。一般情況下，實體之間的過濾擴散效果幾乎不變，但是特征邊界處的過濾效果會因為空白單元與實體單元之間不連續，平滑擴散作用大幅度降低，導致邊界單元只會傾向于{0，1}的設計變量解，有效減少灰色區域的可能性。本文介紹拓撲優化的SIMP數學模型，以及基礎求解方法；提出各向異性的密度過濾方法比與經典密度過濾方法進行對比；通過常用的拓撲優化案例進行分析，驗證該方法的可行性；并通過目標柔度、灰度指標以及求解時間展示其優勢。

1 拓撲優化模型

有限元拓撲優化需要將材料域離散化成有限元網格，通過有限元分析尋找最優材料分布。目前最常用的有限元網格拓撲優化數學模型是基于SIMP（Solid Isotropic Microstructure with Penalization） 模型基礎上進行的[14]，本文利用最小化柔度作為例進行拓撲優化。假設單元中設計變量是處于0～1之間，對應于設計域內材料分布為空隙或者實體的程度，材料的物理屬性與相對密度之間存在非線性的關系。利用懲罰系數p，使得0～1中間相對密度剛度降低，從而抑制設計變量趨向中間密度值。在一定的材料數量約束下，在設計域中尋求特定邊界約束和負載下，最小化柔度（最大剛度）的材料分配情況如式（1）所示。

式中：ρ為有限單元網格的相對密度；C（ρ）為目標結構柔度；U為整體變形位移；K為整體剛度矩陣；F為負載；V為單元體積；Vvol為體積約束值。由于整體剛度矩陣由各單元組裝而成，目標函數也可以寫成：

式中：E為材料彈性變形的彈性模量；k0為單元剛度矩陣；ui為第i個單元變形位移；N為設計域離散劃分的單元數量。由于SIMP懲罰系數的作用，通常設置非常小的彈性模量Emin= 10-9E0，防止當單元相對密度ρi=0，導致剛度矩陣發生奇異。一般情況下，懲罰系數p=3。

在單一的設計變量的情況下，會選擇優化準則算法作為求解算法[15]。

式中：λ為拉格朗日約束非負系數，控制結構體積不大于預設值。

2 密度過濾

一般低階單元的拓撲優化存在棋盤格問題，如圖1所示，該案例是經典的MBB梁結構，長寬比3∶1，左側邊界對橫向約束，右下角垂直向上固定，受左上角垂直向下的單位力。若采用四節點單元，其有限元求解得到只是節點處位移變形，根據節點之間位移與剛度的關系，其連續性只適用于節點處，無法保證單元之間邊界具有連續性。

圖1 無過濾的MBB拓撲優化結果

2.1 經典各向同性過濾器

Sigmund 提出的過濾器的概念，在原有設計變量ρ的基礎上額外增加了實際密度變量ρ，并提出密度過濾方法[16]。利用圖像去噪的卷積算法，對其平滑化處理。

式中：Ω為單元的過濾范圍所有單元集合，{Ω:≤rmin}；H為關于各單元之間距離的函數。

與密度相關材料屬性也會隨之變化。

利用Sigmund提出88行密度過濾的拓撲優化代碼[16]，得到過濾后的拓撲優化結果，往往存在大量灰色區域（設計變量不為0 或1，可參考圖3（a））。在實際應用中，這種拓撲優化結果難以判斷其結構邊界。

2.2 新各向異性過濾器

經典卷積過濾算法的結果存在灰色邊界最大的原因在于，在邊界處空白單元（相對密度為0）和黑色單元（相對密度為1）具有相似的距離，兩者權重相當，因此經過密度過濾后產生大量灰色區域。若過濾器本身具有識別邊界特征能夠有效減少灰色區域的分布，雙邊濾波平滑器在去噪過程中，通過非線性組合附近的圖像值，根據相似度修正權重因子，從而保留邊緣[17]。本文結合圖像去噪的雙邊去噪技術，在將原有距離作為權重的基礎上，添加不同單元之間密度差作為權重，形成各向異性的過濾器。

式中：σr與過濾距離的參數相關，σr=rmin∕3；σm與單元相對密度值相關，一般可取1∕3。比較式（6）和（9），此時，權重包括兩個成分——空間和密度。第一個權值是關于中心單元[x，y]與局部區域單元[x+i，y+j]之間的幾何距離。由于σr與過濾距離的參數相關，可視作空間距離的一個標準，該部分與原本的卷積過濾算法區別不大，一般情況取值為3～8，也可根據實際制造加工的最小物理參數進行適當調整。因此，過濾半徑可作為結構最小特征值，隨著網格數量的增減而變動，解決拓撲優化的網格依賴性問題。第二個權值是基于中心樣本[x，y]與[x+i，y+j]的設計變量差異，不同單元之間密度差并不固定，因此過濾區域內所有單元權重并不相同，其目的是改善邊界處的過濾效果，使得最終結果更傾向黑白解。不難看出σm的取值會影響拓撲優化灰度的情況，σm越小，灰色模糊區域就越少；相反，當σm越大趨近于無窮時，則該方法的結果接近與傳統卷積過濾的結果。

以拓撲優化結果邊界為例，假設邊界處單元設計變量密度值接近1，邊界附近代表實體的單元權重更大。反之，若邊界處的單元設計變量密度值接近0，對于孔隙的單元權重更大。其平滑擴散因子會隨著迭代過程不斷改進，最終在邊界方向上得到收斂，使得設計變量更容易趨向于0或1，有效避免灰色區域的邊界。而存在棋盤格問題區域是交錯分布的黑白格，仍然能發揮過濾器的平滑作用，在迭代過程逐漸消除灰色區域，最終形成保留無棋盤格的黑白解結果。

3 案例分析

以上述經典的MBB 梁作為案例，將其拓展測試該方法的可行性，采用不同數量的網格進行對比分析，同時分析該方法網格依賴性問題。除了目標柔度之外，Sigmund還提出一個測量拓撲優化結果灰色區域情況的指標Mnd[13]：

顯然，當ρ越接近0.5時，Mnd越接近1。相反地，當ρ越接近0 或者1 時，Mnd越接近0。因此該指標能夠代表整體拓撲優化結果的灰色區域情況。在下面案例比較中，會把目標柔度、灰度指標以及求解速度展示出來。

3.1 MBB梁以及網格依賴性

以經典MBB 梁作為案例，按比例選擇以下4 種不同網格數量為例子，進行拓撲優化。

除了圖2（a），其他的測試過濾過濾半徑與網格數量成比例。這是因為圖2（a）的網格數量太少，等比例選擇的過濾半徑太小會導致過濾效果不明顯（當rmin取值太小，過濾器失去本身的價值），因此適當增大過濾半徑，但整體拓撲優化結構仍然具有高度相似性。因此可知，該方法具有一定的網格獨立性，其拓撲優化結構不會隨有限元網格數量影響而發生明顯差異。不同網格數量MBB 優化結果數據如表1 所示。由表可知，網格數量較小的情況下能夠更快速求解，這是因為過濾半徑和網格數量增大使得有限元矩陣行列數增加，在過濾器運行時間也相應增加。但是由于該方法得到的拓撲優化解很少出現非0-1 解，因此作為緩沖的灰色網格區域較小，適當增加有限元網格數量有利于得到視覺上較平滑的拓撲優化結構，同時防止過濾半徑較小導致棋盤格現象。

圖2 不同數量網格下MBB梁的拓撲優化結果

表1 不同網格數量MBB優化結果數據

3.2 懸臂梁

第二個案例選擇懸臂梁，假設懸臂梁長寬比4∶1，左側邊界單元的全部固定約束，同時只有右下角有一個垂直向下的單位負載力。在本文中，選用200×50的網格數量進行拓撲優化。

將新過濾方法與最常見的密度過濾方法[16]和 帶Heaviside階躍函數過濾[12]的結果作比較，結果如圖3 所示。由圖可知，相比于其他兩種密度過濾方法，新的各向異性過濾方法明顯不存在灰色模糊區域，得到一個清晰邊界結果，其結構更加細致、明確。不同過濾方法的MBB 結果數據如表2 所示。由表可知，在相同的情況下，新的各向異性過濾能在很短時間和迭代次數內得到滿足收斂條件的結果，同時灰度測量值Mnd遠小于其他兩個方法的結果，而目標柔度與帶Heaviside 階躍函數密度過濾結果相差不大。與傳統密度過濾方法相比，只用15%的時間得到目標柔度降低10%的拓撲優化結果。

圖3 不同過濾器的懸臂梁的拓撲優化結果

表2 不同過濾方法的MBB結果數據

4 結束語

本文以有限元拓撲優化作為研究對象，考慮過濾器對優化結果的影響，提出一個新的各向異性的過濾器。針對拓撲結構在有限元網格之間存在一定的不連續性，所提方法可修正過濾區域之間的權重?；诟飨虍愋缘奶攸c，新方法能夠穩定快速求解，使得邊界平滑過濾得到修正，有效解決拓撲優化中低階網格的棋盤格和網格依賴性問題。同時，在拓撲優化過程中收斂成一個穩定的黑白解，減少模糊灰度區域。與傳統的密度過濾方法相比，本文所提方法求解時間、目標柔度以及灰度指標都得到大幅度的改善。與帶階躍函數的密度過濾器相比，在得到差距不大的目標函數的拓撲結果情況下，本文所提方法的求解效率明顯更高。

為了進一步研究該方法對實際拓撲優化的影響，接下來將建立三維空間的拓撲優化模型，并且優化過濾器權重計算方式，進一步提高計算效率。